книги / Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1
.pdf
|
Основные формулы |
|
Определения |
|
|
и замечания |
|
|
|
|
|
17. |
∆ = a11 A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n . |
(17) |
Формула (17) |
|
|
|
дает разложение |
|
|
|
определителя |
|
|
|
n-го порядка по |
|
|
|
элементам пер- |
|
|
|
вой строки. |
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
Для определите- |
|
|
|
лей любых по- |
|
|
|
рядков остаются |
|
|
|
в силе определе- |
|
|
|
ния минора и ал- |
|
|
|
гебраического |
|
|
|
дополнения дан- |
|
|
|
ного элемента |
|
|
|
(формулы (13), |
|
|
|
(14)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
Задача 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить: |
|
3 |
|
− 7 |
|
= 3 5 − 1 (− 7) = 15 + 7 = 22 . |
|
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2. Дана матрица A = |
4 |
7 |
2 . Найти M |
31, A23 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
4 |
6 |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Минор M31 , соответствующий элементу a31 , есть опреде- |
||||||||||||
литель M31 = |
|
5 |
|
− 1 |
|
. Он получается, если вычеркнуть из данно- |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21
го определителя третьего порядка третью строку и первый столбец. M31 = 17 .
По формуле (14) находим алгебраическое дополнение для элемента a23 :
A = (− 1)2+3 M = (− 1)5 |
3 |
5 |
= −27 . |
|
23 |
23 |
− 3 |
4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Задача 3. Вычислить определитель третьего порядка
3 2 −1 ∆ = − 5 4 3 :
2 1 7
1)по правилу треугольников;
2)используя разложение по элементам строки (или столбца);
3)используя разложение по элементам строки (или столбца), с предварительным образованием нулей.
Решение.
1. Вычисляем определитель по правилу треугольников, используя формулу (12):
3 2 −1 ∆ = − 5 4 3 = 3 4 7 + 2 3 2 + (− 5) 1 (− 1)−
2 1 7
−[2 4 (− 1)+ 1 3 3 + (− 5) 2 7]= 84 + 12 + 5 + 8 − 9 + 70 = 170.
2.Разложим определитель по элементам первой строки, используя формулу (15):
|
|
3 |
2 |
− 1 |
|
= 3 |
|
4 |
3 |
|
(− 1)1+1 + 2 |
|
− 5 3 |
|
(− 1)1+ 2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∆ = |
|
− 5 4 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
1 |
7 |
|
|
|
1 |
7 |
|
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (− 1) |
|
− 5 4 |
|
(−1)1+3 = 3 25 + 2 (− 41)(−1)+ (− 1)(− 13)= |
|
|
|
||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
= 75 + 82 + 13 = 170. |
22
3. Используя формулу (10), можно значительно упростить вычисление определителя, получая нули в некотором столбце или строке.
|
|
3 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
|||||
∆ = |
|
− 5 |
4 |
3 |
|
. |
|
|
2 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножая третью строку на (–4) и складывая ее со второй, и умножая третью строку на (–2) и складывая ее с первой, получим:
|
3 + 2 (− 2) |
2 + 1 (− 2) − 1+ 7(− 2) |
|
|
|
− 1 |
0 |
− 15 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∆ = |
− 5 + 2 (− 4) 4 + 1 (− 4) |
3 + 7(− 4) |
|
= |
|
− 13 0 |
− 25 |
|
. |
||
|
2 |
1 |
7 |
|
|
|
2 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим этот определитель, разлагая его по элементам второго столбца (т.к. из трех элементов – два нуля):
|
− 1 |
0 |
− 15 |
|
= 1 (− |
1)2+3 |
|
− 1 − 15 |
|
− 1 − 15 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
− 13 0 |
− 25 |
|
|
= − |
. |
|||||
|
|
|
− 13 − 25 |
− 13 − 25 |
|||||||
|
2 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно формуле (5) |
из первого столбца выносим (–1), |
аиз второго – (–5). Получаем
−(− 1)(− 5) 1 3 = −5(5 − 39)= −5(− 34)= 170 .
13 5
Задача 4. Вычислить определитель четвертого порядка
|
3 |
5 |
7 |
2 |
|
∆ = |
1 |
2 |
3 |
4 |
. |
− 2 |
− 3 |
3 |
3 |
||
|
1 |
3 |
5 |
− 4 |
|
23
Решение.
Умножая вторую строку на (–3) и складывая ее с первой, умножая вторую строку на (2) и складывая ее с третьей, умножая вторую строку на (–1) и складывая ее с четвертой, получим:
|
|
0 |
− 1 |
− 2 |
− 10 |
|
|
|
|
||||||
∆ = |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
. |
|
|
0 |
1 |
9 |
11 |
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
− 8 |
|
|
Вычислим этот определитель, разлагая его по элементам первого столбца:
∆ = 1 |
|
− 1 |
− 2 |
− 10 |
|
(− 1)3 = |
|
1 |
2 |
10 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
9 |
11 |
|
|
1 |
9 |
11 |
|
||
|
|
1 |
2 |
− 8 |
|
|
|
1 |
2 |
− 8 |
|
(выносим (–1) как общий множитель из 1-й строки (форму-
ла (5)).
Умножая первую строку на (–1) и складывая ее со второй, а затем – с третьей, получаем:
∆ = |
1 |
2 |
10 |
= 1 |
|
7 |
1 |
|
(− 1)2 . |
|
|
||||||||
0 |
7 |
1 |
|
|
|||||
|
0 |
− 18 |
|
||||||
|
0 |
0 |
− 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ∆ = −126 .
24
§3. Система двух линейных уравнений
сдвумя неизвестными
|
|
|
Основные формулы |
|
|
Определения |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
и замечания |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a11x + a12 y = b1, |
|
Система двух |
линей- |
|||||||||||||
1. |
|
|
a21x + a22 y = b2. |
(1) |
ных уравнений с дву- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мя |
неизвестными |
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует |
запомнить, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что система (1) неод- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нородная, |
если хотя |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бы один из свободных |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
членов b1 или b2 от- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
личен от нуля. |
|
|
||
2. ∆ = |
|
a11 |
a12 |
|
|
– главный опреде- |
(2) |
Определитель |
состав- |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
a21 |
a22 |
|
|
литель системы (1). |
|
лен из коэффициентов |
|||||||||||
|
|
|
|
|
при неизвестных сис- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
темы (1). |
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
= |
|
|
b1 |
a12 |
|
, |
|
Определитель ∆x по- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
a22 |
|
|
(3) |
лучается |
из главного |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
b1 |
|
|
|
определителя системы |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∆ y |
= |
|
|
. |
|
∆ , |
если в нем коэф- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
b2 |
|
|
|
фициенты a11 и a21 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
неизвестном |
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заменить свободными |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
членами b1 и b2. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определитель ∆ y по- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лучается |
из главного |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определителя системы |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ , если в нем коэф- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фициенты |
a12 |
и |
a22 |
25
|
Основные формулы |
|
Определения |
||||||||
|
|
и замечания |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при неизвестном y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заменить свободными |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
членами b1 и b2 . |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
4. Решение системы (1) определяется |
|
|
|
|
|||||||
формулами Крамера |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x = |
∆ |
x , y = |
|
∆ y |
. |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
||||
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
∆ ≠ 0 (для системы (1)). |
(5) |
Система (1) имеет |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
единственное реше- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние, определяемое |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулами (4). |
||
6. |
|
∆ = 0 , |
|
|
|
|
Система (1) решений |
||||
|
∆ x ≠ 0 или ∆ y ≠ 0 , или оба. |
(6) |
не имеет. |
запомнить, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что система, не имею- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щая решений, называ- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ется несовместной. |
||
7. |
∆ = 0 , |
∆ x = 0 , |
∆ y = 0 . |
(7) |
Система |
(1) |
имеет |
||||
|
y = |
b1 − a11x |
|
|
|
бесчисленное |
множе- |
||||
|
. |
|
(8) |
ство решений. |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a12 |
|
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задавая, |
например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произвольное |
значе- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние x, получим соот- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ветствующее |
значе- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние y по формуле (8). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
|
Основные формулы |
|
Определения |
|
|
и замечания |
|
|
|
|
|
8. |
a11x + a12 y = 0, |
(9) |
Система (9) – одно- |
|
родная. |
||
|
a21x + a22 y = 0. |
|
Следует запомнить, |
|
|
|
|
|
|
|
что однородная систе- |
|
|
|
ма (9) всегда имеет |
|
|
|
нулевое решение: |
|
|
|
x = 0, y = 0 . |
|
|
|
|
9. |
∆ ≠ 0 (для системы (9)). |
(10) |
Система имеет един- |
|
|
|
ственное решение |
|
|
|
x = 0, y = 0 . |
|
|
|
|
10. |
∆ = 0. |
(11) |
Система (9), кроме ну- |
|
|
|
левого решения, имеет |
|
|
|
бесконечно много дру- |
|
|
|
гих решений. |
Задачи
Задача 1. Решить систему |
3x − 2y = 5, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
4x + 5y = 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь ∆ = |
|
3 |
− 2 |
|
= 23, ∆ x |
= |
|
5 |
− 2 |
|
= 27, ∆ y |
= |
|
3 |
5 |
|
= −17 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
Поскольку главный определитель системы |
∆ ≠ 0, |
|
система |
имеет единственное решение, определяемое по формулам (4):
x = |
∆ |
x = |
27 |
; |
y = |
∆ y |
= |
− 17 |
. |
|
23 |
∆ |
23 |
||||||
|
∆ |
|
|
|
|
Ответ: x = 27 ; y = − 17 . 23 23
27
Задача 2. Решить систему |
|
4x − 3y = 5, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8x − 6y = 11. |
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь ∆ = |
|
4 |
− 3 |
|
|
= 0, ∆ x = |
|
5 |
− 3 |
|
= −3 |
|
5 |
1 |
|
= −3 (− 1) = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
8 |
− 6 |
|
|
|
|
11 |
− 6 |
|
|
|
11 |
2 |
|
|
Поскольку |
∆ = 0, |
∆ x ≠ 0, |
|
следовательно, |
данная система |
несовместна, т.е. не имеет решений.
Задача 3. |
Решить систему |
5x − y = 4, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= −12. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 15x + 3y |
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∆ = |
|
5 |
− 1 |
|
= 0, ∆ x |
= |
|
4 |
− 1 |
|
= 0, ∆ y = |
|
5 |
4 |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
− 15 |
3 |
|
|
|
|
− 12 |
3 |
|
|
|
|
− 15 |
− 12 |
|
|
Поскольку ∆ = 0, ∆ x |
= 0, ∆ y |
= 0, система имеет бесконечно |
много решений. Действительно, сокращая второе уравнение на (–3), видим, что система приводится к одному уравнению.
Формула общего решения: y = 5x − 4, x – любое.
Задача 4. |
Решить систему |
3x − 8y = 0, |
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4x + 5y = 0. |
Решение. |
|
|
|
|
|
|
Здесь ∆ = |
|
3 |
− 8 |
|
= 47 . |
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
5 |
|
|
|
Поскольку |
|
∆ ≠ 0 и система однородная, система имеет |
||||
единственное решение x = 0, y = 0 . |
||||||
Задача 5. |
Решить систему |
4x − 3y = 0, |
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
8x − 6y = 0. |
28
Решение. |
|
|
|
|
||
Здесь ∆ = |
|
4 |
− 3 |
|
|
= 0 . |
|
|
|||||
|
|
8 |
− 6 |
|
|
|
Поскольку |
∆ = 0, |
система имеет бесконечно много реше- |
ний. Действительно, сокращая второе уравнение на (2), видим, что система приводится к одному уравнению.
Формула общего решения: y = 4 x, x – любое.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Пусть x = 1 , тогда y = |
4 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x = 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 – частное решение системы. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
§ 4. Система трех линейных уравнений |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
с тремя неизвестными |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
|||||||||||||
|
a11x + a12 y + a13z = b1, |
|
Система трех линейных урав- |
|||||||||||||
1. |
a21x + a22 y + a23z = b2 , |
(1) |
нений с тремя |
неизвестными |
||||||||||||
|
a31x + a32 y + a33z = b3. |
|
x, y, z . |
|
|
|
||||||||||
|
|
Следует запомнить, что сис- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тема (1) неоднородная, если |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хотя бы один из свободных |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
членов bi (i = |
|
) отличен |
от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нуля. |
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
Определитель |
составлен |
из |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
∆ = |
a21 |
a22 |
a23 |
|
– |
(2) |
коэффициентов при неизвест- |
||||||||
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
ных системы (1). |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
главный определитель систе- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
мы (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
|
|
Основные формулы |
|
Определения и замечания |
||||||||||||||||||
|
∆x = |
|
|
|
b1 |
|
a12 |
a13 |
|
, |
|
|
|
Определители ∆x , ∆ y , ∆z по- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
b2 |
|
a22 |
a23 |
|
|
|
|
лучаются из главного опреде- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b3 |
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
лителя системы ∆, если в нем |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
b1 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
заменить соответственно ко- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∆ y |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эффициенты при x, y и z сво- |
|||||||
3. |
|
|
a21 |
|
|
b2 |
a23 |
|
|
, |
|
|
(3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
|
|
b3 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
бодными членами. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∆z = |
|
|
|
|
a11 |
|
|
a12 |
b1 |
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
a21 |
|
|
a22 |
b2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
|
|
a32 |
b3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|||||||||||||||||||||
4. Решение системы (1) опреде- |
|
|||||||||||||||||||||
ляется формулами Крамера: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
x = |
∆ |
x , |
y |
= |
|
∆ y |
, z = |
∆ |
z . |
(4) |
|
||||||||||
|
|
|
∆ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5. |
∆ ≠ 0 (для системы (1)). |
(5) |
Система (1) имеет единствен- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ное решение, определяемое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулами (4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система уравнений называет- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ся совместной и определен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной, когда она имеет решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и притом единственное. |
6. |
∆ = 0, |
а хотя бы один из опре- |
Система (1) решений не имеет |
|||||||||||||||||||
делителей |
∆x , ∆ y , ∆z |
|
не равен |
(т.е. несовместна). |
||||||||||||||||||
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
7. |
∆ = 0, ∆x |
= 0, ∆ y |
= 0, ∆z |
= 0. |
(7) |
Система (1) также может со- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
всем не иметь решений; но ес- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ли система (1) при этих усло- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
виях имеет хотя бы одно ре- |
30