книги / Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

5.

Замечание.

Если

a < b, то

уравнение

(1)

определяет

эллипс,

большая ось которого 2b

лежит на оси OY , а малая

ось

2a

– на

оси OX

(рис. 3);

OY.

F1 и F2

Рис. 3

В этом случае

b2 − c2 = a2 ,

(4)

ε =

c

.

(5)

b

6. Каноническое уравнение окружПри b = a

эллипс

прев-

ности

ращается в

окружность

x2 + y2 = R2.

(6) (рис. 4).

Уравнение

эллипса

(1)

принимает вид (6).

Замечание.

Эксцентриситет окружно-

сти ε = 0.

Рис. 4

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

7.

Гипербола

есть геометри-

ческое место точек, раз-

ность расстояний которых

до двух данных точек F1

и F2 , называемых фокуса-

ми гиперболы, взятая по

абсолютному

значению,

есть

величина

постоянная

(не равная нулю и мень-

шая, чем расстояние меж-

ду фокусами).

Замечание.

эту

постоян-

Обозначим

ную через 2a

(a > 0),

рас-

стояние между фокусами –

через 2c (2a < 2c).

8. Каноническое

уравнение

гипер-

Уравнение (7) содержит x

болы

и y

только в четных сте-

x2

−

y2

= 1.

(7)

пенях, следовательно, ги-

a2

b2

пербола симметрична

от-

носительно

осей

OX

и OY , а также

относи-

тельно точки О(0; 0), кото-

рую называют центром ги-

перболы.

Точки A1(a; 0)

и A2 (− a; 0)

называются вершинами ги-

перболы.

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

Следует

запомнить, что

гипербола, заданная урав-

нением (7), оси OY не пе-

ресекает;

a – действительная полу-

ось гиперболы;

b – мнимая полуось ги-

перболы.

Рис. 5

F1 и F2 OX (рис. 5).

9.

b2 = c2 − a2.

(8)

Величины a, b, c связа-

ны соотношением (8), где

2c – расстояние между

фокусами.

10. Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситет

гипербо-

ε =

c

> 1 .

лы – это

отношение рас-

(9)

стояния

между

фокусами

a

к действительной оси ги-

перболы.

Замечание.

Эксцентриситет гиперболы

ε > 1, т.к. c > a.

11.

При построении гипербо-

лы (7) целесообразно сна-

чала построить

основной

прямоугольник

гиперболы

CDEH с центром в начале

координат и со сторонами,

параллельными

осям OX

и OY , соответственно рав-

Рис. 6

ными 2a и 2b.

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

Каждая из его диагоналей,

неограниченно продолжен-

ная в обе стороны, являет-

ся

асимптотой

гиперболы

(рис. 6).

12. Асимптоты гиперболы (7) –

прямые

y = ±

b

x .

(10)

a

2

x

2

Кривая, определяемая урав-

13.

y

−

= 1.

(11) нением (11),

также

есть

2

2

b

a

гипербола, действительная

ось 2b которой располо-

жена на оси OY , а мнимая

ось 2a – на оси OX .

F1 и F2 OY.

На рис. 7 она изображена

пунктиром.

Замечание.

Гиперболы

x2

−

y2

= 1

a2

Рис. 7

b2

y2

x2

и

−

= 1 имеют одни

b2

a

2

= c

2

− b

2

;

(12)

a2

ε =

c

и те же полуоси и одни

.

(13) и

те

же асимптоты,

но

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

14. Если a = b, то уравнение гиперТакая гипербола называет-

болы (7) принимает вид

ся равносторонней (рис. 8).

x2 − y2 = a2.

(14)

Рис. 8

15. Асимптоты равносторонней

Замечание 1.

гиперболы – прямые

Асимптоты равносторон-

y = ± x .

(15)

ней

гиперболы – биссек-

трисы координатных уг-

лов.

Замечание 2.

Эксцентриситет равносто-

ронней гиперболы ε =

c

=

a

=

2 .

16.

Парабола есть геометриче-

ское место точек, равно-

удаленных от данной точ-

ки F, называемой фоку-

сом

параболы, и данной

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

прямой, называемой ди-

ректрисой (рис. 9).

Замечание.

p – расстояние от фокуса

до директрисы ( p

– пара-

метр параболы).

Рис. 9

17. Каноническое уравнение

пара-

В уравнении (16) перемен-

болы

ная

y

входит в

четной

y2 = 2 px.

(16)

степени, значит, парабола

симметрична относительно

оси OX .

Ось OX

– ось симметрии

параболы.

Вершина параболы в точке

O(0; 0).

Уравнение директрисы x =

= −

p

(см. рис. 9).

2

18.

Следует

запомнить, что

при

p > 0 ветви параболы

(16)

направлены

вправо

(см. рис. 9). При

p < 0

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

ветви параболы (16) на-

правлены влево (рис. 10).

В

этом

случае

фокус

p

p

F −

; 0

и

x =

–

2

2

уравнение директрисы.

Рис. 10

19. Каноническое уравнение

пара-

В уравнении (17) перемен-

болы

ная

x

входит

в

четной

x2 = 2 py.

(17)

степени,

значит,

парабола

симметрична относительно

оси OY. Ось OY

–

ось

симметрии параболы.

Следует

запомнить,

что

при

p > 0

ветви параболы

(17)

направлены

вверх

(рис. 11). В этом случае фо-

p

p

кус

F 0;

и

y = −

–

2

2

уравнение директрисы.

Рис. 11

При

p < 0 ветви параболы

(17)

направлены

вниз

(рис. 12). Для такой пара-

p

болы

фокус

F

0; −

2

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

а)

x2

+

y2

= 1;

б)

x2

−

y2

= 1;

в)

y2

−

x2

= 1;

2

25

9

16

5

4

г) y2 = −4x;

д) x2 =

1

y.

2

Решение.

а)

x2

+

y2

= 1

– каноническое

уравнение

эллипса, a = 5,

25

9

б)

x2

−

y2

= 1 – каноническое уравнение гиперболы,

16

5

a = 4,

b =

5 (рис. 14);

Рис. 14

в)

y2

−

x2

= 1 – каноническое уравнение гиперболы

4

2

a = 2

,

b = 2 (рис. 15);