книги / Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1

рам заданных плоскостей

1 = {3; 3;1} и

2 = {2; − 3; − 2}, в ка-

N

N

честве его можно взять векторное произведение векторов

1

N

i

j

k

и

2 :

=

1 ×

=

3

3

1

N

S

N

N2

= −3i

+ 8 j −15k .

2

− 3

− 2

Таким

образом,

l = −3,

m = 8,

n = −15. За

точку

M0 (x0 ; y0 ; z0 ),

через которую проходит искомая прямая,

можно

3x + 3y − 1 = 0,

7

16

= 0,

отсюда получаем x0 =

, y0

= −

.

5

15

2x − 3y − 6

x −

7

y +

16

z − 0

x −

7

y +

16

z − 0

5

=

15

=

или

5

=

15

=

.

− 3

− 8

8

− 15

3

15

Задача 5.

Найти

острый

угол

между

прямыми

x − 1

=

y + 5

=

z − 7

и

x − 4

=

y + 5

=

z − 6

.

2

− 6

3

1

2

− 2

Решение.

По формуле (6) получаем

cos ϕ =

2 1+ (− 6) 2 + 3 (− 2)

(− 2)2 =

16

,

22 +

(− 6)2 + 32

12 + 22 +

21

x − 3 = y + 4 = z − 5 , x + 1 = y − 3 = z − 2 .

− 2

− 1

3

4

6

− 5

x + 7

=

y

=

z − 9

.

(10)

l

m

n

Из условия ее перпендикулярности к данным прямым

имеем

− 2l − m + 3n = 0,

4l + 6m − 5n = 0,

откуда m = −

n

;

l =

13n

.

4

8

Подставляя

найденные

значения в

(10), получим:

x + 7

=

y

=

z − 9

или

x + 7

=

y

=

z − 9

.

13n

−

n

n

13

− 2

8

8

4

i

j

k

= {− 13; 2; − 8} или

= {13; − 2; 8}.

=

×

=

− 2

− 1

3

S

S1

S2

S

4

6

− 5

Таким образом, имеем

x + 7

=

y

=

z − 9

– канонические

13

− 2

уравнения искомой прямой.

8

§ 5. Прямая и плоскость

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

1. Острый

угол

между

прямой Углом ϕ между прямой

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

и плоскостью

и плоскостью будем на-

l

m

n

зывать

любой

из двух

Ax + By + Cz + D = 0 определяется по

смежных углов, образо-

формуле

ванных прямой и ее про-

sin ϕ =

екцией

на

плоскость

Al + Bm + Cn

(рис. 1).

=

. (1)

Замечание.

A2 + B2 + C2

l2 + m2 + n2

Угол α находим из ска-

лярного

произведения

нормального вектора

N

плоскости и направляю-

щего вектора

прямой.

S

Поскольку

α + ϕ = π ,

2

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

2. Условие

параллельности

прямой

Замечание.

и плоскости (рис. 2)

Прямая и плоскость па-

Al + Bm + Cn = 0.

(2)

раллельны, если скаляр-

ное произведение

на-

правляющего вектора

S

прямой

и

нормального

вектора

плоскости

N

равно нулю.

Рис. 2

3. Условие перпендикулярности пря-

Замечание.

мой и плоскости (рис. 3)

Прямая и плоскость пер-

A

=

B

=

C

.

(3)

пендикулярны, если на-

правляющий вектор

l m n

S

прямой

и

нормальный

вектор

плоскости

N

коллинеарны.

Рис. 3

4. Условие

принадлежности

прямой

плоскости (рис. 4):

Al + Bm + Cn = 0,

(4)

+ By0 + Cz0 + D =

Ax0

0.

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

Рис. 4

5. Точка пресечения прямой с плоско- Замечание.

стью (рис. 1)

Чтобы решить систему

x − x0

y − y0

z − z0

(5), нужно от канониче-

=

=

,

ских уравнений прямой

l

m

n

O :

(5)

+ Cz + D

= 0.

перейти

к параметриче-

Ax + By

ским уравнениям:

x

= x0 + lt,

= y0 + mt,

(6)

y

= z0 + nt.

z

Подставляя эти выраже-

ния для x, y, z в уравне-

ние плоскости, опреде-

ляем параметр t:

t = −

Ax0

+ By0

+ Cz0

+ D

.

Al + Bm + Cn

Подставляя

найденное

значение

t в

уравнение

(6), получаем координа-

ты искомой точки пере-

сечения прямой и плос-

кости.

Задачи

Задача 1. Найти угол между прямой

x = 9 + t,

y = 5 − 2t,

z = −1− t

и плоскостью 4x − 2y + 2z + 7 = 0.

Решение.

Запишем уравнения данной прямой в виде

x − 9

=

y − 5

=

1

− 2

=

z + 1

.

Теперь, используя

формулу (1)

при

A = 4,

B = −2,

− 1

C = 2, l = 1, m = −2, n = −1,

получим

4 1 + (− 2) (− 2)+ 2 (− 1)

6

1

sin ϕ =

42 + (− 2)2 + 22

12 + (− 2)2 + (− 1)2 =

24

6

= 2 .

Задача 2. Составить параметрические уравнения прямой,

проходящей через точку

A(− 7; − 3; 2)

и перпендикулярной

плоскости x − 4y − 5z + 8 = 0.

Найти точку M прямой, соответст-

вующую значению параметра t = 2.

Решение.

= {1; − 4; − 5} данной

Поскольку нормальный вектор

N

При t = 2

находим x = −5,

y = −11,

z = −8,

т.е. получаем

точку M (− 5; − 11; − 8).

Задача 3. Убедиться в том, что прямая

x − 2

=

y + 4

=

z − 1

− 2

4

3

параллельна плоскости 5x − 2y + 7z + 3 = 0.

Решение.

На основании условия (2), где l = 4,

m = 3,

n = −2,

A = 5,

B = −2, C = 7, имеем 4 5 + 3 (− 2)+ (− 2) 7 = 0.

Задача 4. Найти точку пересечения прямой

x + 1

=

y − 2

=

2

1

=

z −1

с плоскостью 3x − 2y + z − 3 = 0.

− 1

Решение.

Запишем

уравнение прямой в параметрическом

виде:

x = −1+ 2t, y = 2 + t, z = 1− t.

Подставляя значения x,

y, z

в уравнение

плоскости,

имеем

3 (− 1+ 2t)− 2 (2 + t)+

+ (1− t)− 3 = 0 , откуда t = 3.

Задача 6. Дана прямая

x − 1

=

y

=

z + 1

и вне ее точка

2

3

− 1

виде: x = 1+ 2t,

y = 3t,

z = −1− t.

Подставляя

x, y,

z в уравнение

плоскости, получим:

2 (1+ 2t)+ 3 (3t)− (−1− t)− 4 = 0, 14t −1 = 0, t =

1

.

14

8

3

15

Точка Q имеет координаты

Q

;

; −

.

Тогда коорди-

7

14

14

середины отрезка, т.е.

=

xM + xN

;

=

yM + yN

;

=

zM + zN

;

x

y

z

2

2

2

8

=

1+ xN

;

3

=

1+ yN

; −

15

=

1+ zN

.

7

2

14

2

14

2

Откуда

xN

=

9

;

yN = −

4

;

zN

= −

22

.

Следовательно,

7

7

7

9

4

22

N

; −

; −

.

7

7

7

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

1.

Эллипс есть

геометриче-

ское место точек, сумма

расстояний

которых

до

двух

данных

точек

F1

и F2 , называемых фокуса-

ми эллипса, есть величина

постоянная (большая, чем

Рис. 1

расстояние

между

фоку-

сами).

Замечание.

фокусы

через

Обозначим

F1 и F2 , расстояние между

ними через 2c, а сумму

расстояний

от

произволь-

ной точки эллипса до фо-

кусов – через 2a (рис. 1).

По

определению 2a > 2c,

т.е.

a > c.

2. Каноническое уравнение эллипса

Уравнение (1) содержит

x

x

2

+

y

2

=1.

и y только в четных степе-

(1)

a2

b2

нях,

следовательно,

эллипс

симметричен относительно

осей OX и OY ,

а также от-

носительно точки O(0; 0),

которая называется

цент-

ром эллипса.

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

Точки A1, A2 , B1 , B2 назы-

ваются вершинами эллипса;

a – большая полуось эл-

липса, b – малая полуось

эллипса (a > b);

F1, F2 OX (рис. 2).

Рис. 2

3.

a2 − c2 = b2.

(2)

Величины a, b, c связа-

ны соотношением (2),

где

2c – расстояние между

фокусами.

4. Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситет эллипса –

c

это отношение расстояния

ε =

.

(3)

между фокусами

к боль-

a

шой оси эллипса:

2c

или

2a

c

.

a

Следует

запомнить,

что

форма эллипса (мера его

сжатия)

характеризуется

эксцентриситетом ε < 1 (т.к.

0 < c < a ).