книги / Теоретические основы переработки полимеров

одной координаты — у. Теоретическое рассмотрение, подобное использовавшемуся в Задаче 6.7, позволяет свести уравнение состояния к следующим двум выражениям:

в данном случае имеется два связанных через у дифференциальных уравнения. Однако можно упростить решение, положив д&!ду = 0. В этом случае распределение скоро­ стей окажется таким же, как полученное в разд. 10.5. Более того, очевидно, что давление на поверхность валка будет отличаться от давления, полученного в более простой модели, на величину — ф2У2*Поскольку ф2< 0, существование нормальных напряжений вызывает некоторое увеличение давления у поверхности валка, которое следует учитывать при определении опорных усилий. Возможно, это увеличение давления пренебрежимо мало.

Все предшествующее рассмотрение основывалось на смазочной аппроксимации. Иначе говоря, изменения скорости вдоль оси х

считались пренебрежимо малыми. Если опустить это предположе­ ние, то задача сразу же становится двумерной и приходится рассмат­ ривать течение, в котором существует две компоненты вектора ско­ рости: vx (х, у) и vy (х, у). Ясно, что такое течение уже нельзя счи­

тать вискозиметрическим (простой сдвиг), и уравнение КЭФ оказы­ вается в этом случае неприменимо.

Уайт [13] попытался оценить влияние нормальных напряжений в этой более реалистической ситуации. Уравнения движения в этом случае принимают вид:

Дифференцируя первое по у , а второе по х , получим:

Можно оценить порядок величин всех членов, входящих в урав­ нение (16.2-10), для поверхности валка:

где //„ — величина зазора; Я — радиус валка.

Поскольку R > Н0, второй член пренебрежимо мал; третьим

членом, который учитывает первую разность нормальных напря­ жений, также можно пренебречь, если справедливо условие:

наблюдается на поверхности валка. Минимальные температуры лежат в центральной плоскости. Профиль температур меняет свою форму по мере углубления в зазор; минимальная температура в центре зазора постепенно повышается, а распределение температур у поверхности валка становится более сложным. Следует иметь в виду, что описанное распределение температур не относится к об­ ласти циркуляционного течения на входе в зазор.

Влачопулос исследовал температурное поле численными мето­ дами, использовав для этого метод конечных элементов и метод ко­ нечных разностей [20, 21 ]. При таком подходе метод конечных эле­ ментов применяется для определения поля скоростей, которое в даль­ нейшем используется для интегрирования методом конечных раз­ ностей дифференциального уравнения теплового баланса и для рас­ чета поля температур. Некоторые из полученных этим методом ре­ зультатов будут изложены ниже (разд. 16.4).

Приведенный обзор показывает, что строгий теоретический ана­ лиз, учитывающий все важные для практики эффекты, представ­ ляет собой достаточно сложную задачу.

Метод конечных элементов (МКЭ) выделяется из всех остальных подходов наибольшей гибкостью при анализе реальных процессов, позволяя учитывать фактическую геометрию, использовать реалис­ тические уравнения состояния и определять распределение темпе­ ратур в каландруемом материале. Этот метод может прекрасно со­ четаться с методом конечных элементов, используемым в строитель­ ной механике для определения профиля поверхности нагружен­ ного распорными усилиями валка, и методами конечных разностей, применяемыми для интегрирования уравнений теплопроводности.

Основные особенности метода МКЭ будут рассмотрены в следую­ щем разделе. Такое внимание к методу МКЭ оправдано также тем, что он с успехом применяется -при математическом описании других методов формования [2 2 ] (например, для описания течения в го­ ловках экструдеров и литьевых формах).

16.3. Метод конечных элементов

Метод МКЭ уже давно используется в строительной механике. Сравнительно недавно его начали применять в гидродинамике,

ион сразу привлек к себе большое внимание. Это особенно понятно

вотношении теории переработки полимеров, так как МКЭ является наиболее подходящим математическим методом описания течения неньютоновских жидкостей в каналах со сложной геометрией. Применение МКЭ к задачам теории переработки полимеров под­ робно рассмотрено Таннером [22].

Врамках настоящей книги практически невозможно дать исчер­ пывающее описание метода МКЭ; интересующиеся могут найти его

вмонографиях [23—26]. Здесь будут лишь кратко описаны неко­

рорможностях,

Рис. 16.5. Двухмерная область, представлен­ ная как сумма треугольных элементов.

Метод МКЭ представляет собой разновидность способов приближен­ ного численного интегрирования диф­ ференциальных уравнений движе­ ния сплошной среды, позволяющих определить вид непрерывных функ­

ции, описывающих поле некоторых скалярных или векторных величин (давлений, скоростей). При использовании этого метода непрерывная область или тело подразделяется на конечное число подобластей (рис. 16.5). Каждый элемент может иметь свой соб­ ственный размер и свою форму, которые выбирают так, чтобы они наилучшим образом соответствовали форме и размерам тела. Этот метод МКЭ отличается от метода конечных разностей, при ко­ тором используется сетка с ячейками одинакового размера, описы­ ваемыми теми же координатами, что и тело. Точки пересечения кри­ вых, ограничивающих соседние элементы, называются узлами. Значения переменных, вычисленные в узлах, дают искомое решение. Обычно конечные элементы в двухмерных задачах имеют треуголь­ ную, прямоугольную или четырехугольную форму (см. рис. 16.5); при решении трехмерных задач используют элементы, имеющие форму прямоугольных призм и тетраэдров. Внутри каждого элемента подбирается интерполяционная функция, описывающая измене­ ние определяемого параметра. Выбранные аппроксимирующие функ­ ции называются пробными функциями или пространственными из­ меняемыми моделями.

Обычнов качестве такихфункций используют усеченные полиномы. Число членов (коэффициентов) в таком полиноме должно быть по крайней мере равно числу степеней свободы, присущих каждому отдельному элементу. Например, в случае простейшего одномерного течения (рис. 16.6, а) для переменной Р (х) в элементе Е сущест­ вуют две степени свободы: P t и Pj. Для большого числа членов необ­

ходимы дополнительные условия (например, значения производных

Рис. 16.6. Схема расчета распределения давлений методом конечных элементов:

т

необходимо продифференцировать/ по всем Pi и приравнять полученные результаты нулю, получив при этом Л1 уравнении. Поэтому, дифференцируя уравнение (1 6 .3 -1 1 )

Здесь индексы а и b у параметра Нл/ju указывают на то, что речь идет о локальных значениях этого параметра. Складывая выражения (16.3-20) и (16.3-21) и приравнивая

Поскольку т относится к любому внутреннему узлу, уравнение (16.3-22) пред­ ставляет собой по существу семейство, состоящее из М — 2 алгебраических уравне­ ний, решение которых и описывает искомый профиль давлений.

В качестве примера рассмотрим линейно -сужающийся канал, разделенный на четыре участка одинаковой длины. Расстояние

Нъ — 0,5 см. Давление на входе равно 1 МПа. Давление на выходе

равно нулю. Подстановка этих значений в уравнение (16.3-22) при

Точное аналитическое решение, полученное в результате интегри­ рования уравнения (16.3-2), дает Р 2 = 0,8980, Р» = 0,7407 и Я4 =

=0,480 МПа. Эти результаты находятся в очень хорошем согласии

срезультатами, полученными методом МКЭ при использовании только четырех элементов.

Уравнение (16.3-22) можно также получить, используя метод «контролируемого расхода». Для этого рассмотрим элемент а, со­

держащий узел т (заштрихованная площадка на рис. 16.6, б).

При тех же предположениях для несжимаемой жидкости можно

Ясно, что уравнение (16.3-23) полностью идентично уравнению (16.3-22). Оно является основой для применения Метода сеток [29],

разработанного для решения задач двухмерного установившегося или квазиустановившегося течения, наблюдаемого при заполнении литьевых форм и в головках экструдеров. При анализе двухмерных течений распределение давлений получают, разделив область те­ чения равномерной сеткой на квадратные элементы (рис. 16.6, Ь).

В центре каждого элемента располагается узел. Узлы соседних элементов соединяются звеньями. Таким образом, поле суммарного потока описывается сетью узлов и звеньев. Жидкость вытекает из каждого узла через звенья в соседние узлы сетки.

Этот подход к описанию двухмерного потока идентичен концеп­ ции, которая развивается в методах классического анализа, из­ вестных как «метод сеток», или «метод дискретных элементов». Физически МКЭ отличается от метода сеток только тем, что в нем элементы представляют собой двухили трехмерные фигуры [30]. Метод сеток является простейшим методом, который был модифи­ цирован для описания течения неньютоновских жидкостей заменой постоянной ньютоновской вязкости на «эквивалентную ньютоновс­ кую вязкость» [31 ], однозначно связанную с локальным значением напряжений сдвига на стенке, в свою очередь зависящим от локаль­ ной величины градиента давлений. И то, и другое можно определить повторным решением системы алгебраических уравнений относи­ тельно Р и}, причем при каждой итерации пересчитываются зна­

чения вязкостей. Этот метод применялся для описания двухмерного течения при заполнении литьевых форм и в экструзионных головках.

16.4. Анализ процесса каландрования методом МКЭ

Как отмечалось выше, процесс каландрования анализировался Влачопулосом методом МКЭ [17, 20, 21]. Область течения разби­ валась на треугольные или прямоугольные элементы (рис. 16.7 и 16.8), а численное интегрирование системы исходных дифферен­ циальных уравнений проводилось методом взвешенных невязок (разновидность метода Галеркина). Оба подхода привели к одина-