книги / Физические основы прогнозирования долговечности конструкционных материалов
..pdfется дифференциальное уравнение Эйнштейна—Фоккера— Планка (см. п. 1.4). 1£го получим, произведя в соотношении Смолуховского (6.5) разложение в левой части по At, а в пра вой части — разложение по I" с сохранением первой производ ной по времени и двух производных по координате:
(l + Л |
/ |
/) = |
■_ l,r |
|
J |
что окончательно для Qt{l', /) дает
(-§ f + Ч |
0 « ° . |
(6-52) |
где средняя скорость дрейфа
VI = Yl"J l"Q* (*". 01At,
а коэффициент диффузии
|
|
Д/ = £ м Э д<(Л |
0 /2 At. |
|
||
|
|
|
I" |
|
|
|
Здесь |
использована |
произвольность |
значения At |
и положено |
||
Д *-^0. |
|
возможны |
только близкие |
переходы из |
||
За |
малое время |
|||||
/ — I” в U т. е. переходы с малым значением I". |
|
|||||
Найдем |
аналог |
уравнения |
Эйнштейна—Фоккера—Планка |
|||
(6.52) |
для |
функции распределения |
времен первого достижения |
Pi\i(t). Как было указано, функции Q и Р аналогичны в смысле
замены ролей координаты и времени. Таким |
образом, |
искомый |
аналог уравнения (6.52) можно получить из |
выражения (6.28) |
|
при разложениях в левой части по координате А/ = 1 |
и в пра |
|
вой части — по t |
|
|
X />.-.,(f)exp(— £ г ) - £ г
с сохранением о хной производной по координате и двух произ водных по времени.
Полагая при интегрировании f->oo [в силу t~Mt^>Qi, см. ниже (6.55)], находим искомое уравнение
( 4 - + е /+1 — в?+, |
/ ( 0 = о . |
(6.53) |
261
Уравнения (6.52) и (6.53) аналогичны, поскольку удержи вают при разложениях одну производную по фиксированному параметру и две производные по случайной величине. Оба урав нения осуществляют переход от дискретного к непрерывному
изменению координаты I. |
|
(6.53) |
является |
распределение |
||||
Точным решением уравнения |
||||||||
Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
1 |
X |
1/2 |
|
|
. |
(6.54) |
Pi'. I (t) = ^4л J 0? d i\ |
exp |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 $ в ? Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
Будучи |
распространенным на |
всю |
область |
изменения |
/ ^ |
|||
е (0, оо) |
выражение |
(6.54) |
приводит к среднему значению |
и дисперсии
i
2 \ e U i ,
г
что совпадает с точным значением Mi (6.34), но дает диспер сию в два раза больше истинной Dt (6.35).
Распределение (6.54) следовало ожидать согласно централь ной предельной теореме теории вероятностей, утверждающей, что сумма большого числа независимых одинаково распределен ных величин асимптотически подчиняется распределению Га усса. Выражение (6.54) является асимптотикой распределения (6.45) в области
11— m0 1< т 6» 0, |
(6.55) |
т. е. в области /, близких к среднему М /= т 0 , которое |
само |
достаточно велико по сравнению со временем единичного пе рехода 0 (большие значения т).
Чтобы убедиться в этом, прологарифмируем плотность (про
изводную по времени) |
(6.45), воспользовавшись для Г (т ) при |
|
т^> 1 формулой Стирлинга: |
|
|
у ! « |
У 2яу (у/еУ для |
у > 1. |
Имеем |
|
|
In Р « т In |
+ (т --- ^ |
— 1пд/2ят©2. |
262
Используя параметр |
—1 <<1 (6.55), произведем да |
лее разложение:
Отсюда |
|
Р = (2ггm02)-'h exp [— {t — mB)2/2m02], |
(6.56) |
что совпадает с (6.54), если учесть отмеченное выше двукрат ное завышение дисперсии
j 0 - di = тв2/2.
Проведенное сопоставление позволяет выяснить характер найденного приближения для Pr, i(t) (6.45). Оно аналогично приближению Эйнштейна—Фоккера—Планка, но, не будучи связано с разложениями по времени /, справедливо во всей об
ласти его изменения |
(0, оо). |
Полученные результаты позволяют найти статистический |
критерий необратимости разрушения, моделируемого случайным марковским непрерывным во времени процессом термофлуктуационного преодоления стационарного рельефа. В самом деле, кинетика этого процесса характеризуется двумя функциями рас
пределения: |
вероятностью /V, /(/) достижения фиксированной |
|
координаты |
/ за |
случайное время t и вероятностью Qt(l\ I) |
в фиксированный |
момент наблюдения t обнаружить процесс |
|
в точке с координатой I при выходе из начального состояния V |
||
в момент времени |
0. Между ними существует связь (6.39). |
|
Мы полагаем, |
что рассматриваемый процесс теряет устой |
чивость (разрушение становится атермическим) после а шагов, так что Р г,а(т)— термофлуктуационная компонента функции распределения долговечности т. Пусть в момент /0 действие нагрузки прерывается на Д/о, а затем образец вновь нагружают вплоть до разрыва. Если процесс разрушения необратим, то не зависимо от продолжительности интервала разгрузки Д£0 веро ятность жизни образца в течение суммарного времени т дейст вия нагрузки
Верхний предел суммирования а — 1 в формуле полной ве роятности (6.57) является условием того, что к моменту раз грузки to разрушение продолжает оставаться термоакгивированным, т. е. разрыва тела еще не наступило. Дифференцируя
263
по т правую часть (6.57) с учетом (6.39) и используя уравне ние Смолуховского для определения Q (6.5), имеем
а — I |
а — l)/ea— /V. а (т). |
Z <2*о(Л f ) Q x - u ( f > o - I ) / 0 fl= QT(/', |
|
Г=/' |
|
Итак, окончательно имеем |
|
Л ', а (т) = /V, а (т). |
(6.58) |
Таким образом, вследствие необратимости процесса разру шения термофлуктуационная компонента функции распределе ния долговечности инвариантна относительно прерывания на грузки. И наоборот сохранение полной функции распределения долговечности является статистическим критерием необратимо сти разрушения. Этот вывод находится в согласии с эксперимен тальными данными [29].
6.2. Термофлуктуационная компонента разброса статической долговечности
Хороню известно, что результаты испытаний на разрыв се рии номинально идентичных образцов в идентичных условиях обнаруживают статистический разброс. Величина разброса мо жет быть различной, приводя для долговечности к коэффици енту вариации, приблизительно равному единице. В силу раз броса идентичные лабораторные образцы могут проживать под нагрузкой несколько секунд или несколько часов. При большом разбросе знания одного среднего значения характеристики прочности недостаточно для опенки материала как конструкци онного. Необходимо выяснение функции статистического распре деления. Решение этой задачи эмпирическим путем нс дости гает цели, поскольку параметры распределения сложным обра зом изменяются в зависимости от свойсгв материала и условий испытаний, н в каждом конкретном случае на практике прихо дится проводить дорогостоящие специальные статистические испытания. Таким образом, необходимо понять природу раз броса, чего можно добиться, рассматривая его как свойство физического процесса разрушения.
При феноменологическом подходе к разрушению экспери ментально наблюдаемый статистический разброс обычно при нято объяснять тем, что невозможно добиться полной иден тичности структуры и условий испытаний серии образцов. Та кого рода «статистические теории» ограничиваются наилучшим подбором функций распределения характеристик прочности. Ими являются распределения Вейбулла, лог-нормальное, Г-рас- нрсдслснпе, распределения Пирсона, Коши и др. Неясно, чем обусловлено это многообразие функций — неоднозначностью
264
статистического описания наблюдаемого распределения или многообразием различных лимитирующих факторов разброса.
Структурный подход к разрушению, выдвигающий «статисти ческую теорию дефектов» (см. гл. 7), объясняет разброс стати стической вариацией опаснейшего дефекта, ответственного за прочность образца. Этот подход, намеченный в работе [43], развит в работах [120, 254]. Вообще библиография но стати стической теории прочности обширна: имеется множество публи каций тождественных по физическому смыслу и отличающихся лишь деталями. Типичной является работа [48]. Предполага ется, что разрушение возникает при слиянии отдельных трещин при достижении их определенной плотности. Трещины вызыва ются перенапряжениями в отдельных элементах объема струк турно-неоднородного гетерогенного материала. Считается, что внутренние напряжения а, действующие в этих элементах, рас пределены по нормальному закону с плотностью
Р ( а ) = - Д - ехр [— (5 — о)2/2оо],
Л/2яао
где а — приложенное напряжение; 05 = Ehn; Е — модуль упру
гости; А— потенциальная энергия тела; к — характеристика не однородности материала.
Трещина образуется, если
® > <*th-
Тогда относительное количество трещин
оо
ф= J Р (о) da.
°с
Принимается, что разрыв тела наступает при достижении не которой критической меры поврежденности фс. Окончательно возникает следующее распределение прочностей а тела:
(стш-сг)/Л
* = -5— |
) е* р (— f K |
Приведенное изложение указывает на отсутствие в статисти ческих теориях прочности явного учета механизма разрушения.
Существующая интерпретация природы разброса, опираю щаяся на представление о термоактивированном характере раз рушения применительно к формуле Журкова для долговечности
т = т0 exp [(U0— уо)/кГ],
дает следующее выражение для оценки основной характери стики разброса долговечности т на опыте — ширины «колокола разброса» на его полувысоте [29]
Ве= Дт/т « Д In т = Д7 (С/0 — уо)/кР + Доу/kТ + Дуо/кГ, (6.59)
265
где Д — величина статистической вариации компонент выраже ния (UQ—уст)/кТ с весом, определяемым его дифференцирова нием.
Первое и второе слагаемые в выражении (6.59) отражают то обстоятельство, что па опыте невозможно испытать серию образ цов в абсолютно одинаковых условиях, т. е. задать для каждого образца одинаковые значения а н Г, поскольку их значения меняются в некоторых интервалах Ао и Д7\ Разброс значений о обусловлен, главным образом, вариацией сечений образцов и погрешностями их изменения. Таким образом
Да = aAsjs, |
(6.59a) |
где 5 — сечение образца; As — мера его разброса.
Третье слагаемое в (6.59) обусловлено невозможностью из готовить большую серию образцов с абсолютно одинаковой структурой. Структурная иеидентпчность приводит к изменению на некоторую величину Ау структурно-чувствительного пара метра у.
Итак, ни одна из описанных интерпретаций статистического разброса характеристик прочности не учитывает термофлуктуационной природы разрушения, а именно того, что вероятност ный характер тепловых флуктуаций превращает разрушение в статистический процесс, вследствие чего характеристики проч ности оказываются случайными величинами. Это является до полнительным (к указанным выше) фактором разброса резуль татов испытаний серии идентичных образцов в идентичных усло виях. Назовем его термофлуктуационным фактором. Для про тивопоставления ему всю совокупность причин, действующих в реальном опыте и приводящих к исидеитнчности в серии структуры образцов и условий их испытания, будем называть технологическим фактором.
Выражение для термофлуктуационной компоненты разброса долговечности получим, используя рассмотренное в н. 6.1 тсрмоактивпрованное прохождение цепочки барьеров, которое, как мы сейчас покажем, моделирует формирование укрупненной трещины (очага разрушения) при кинетически неоднородной генерации первичных трещин (см. п. 4.3). В этом случае трещипообразовсШне осуществляется путем последовательного вы мирания экстремальных мод, вследствие чего и процесс укруп нения идет последовательными (во времени, но не в простран стве) шагами. Рассмотрим отношение т времени т(0 , затрачен ного в таком процессе на формирование кластера размера г, требующего концентрации трещин С, и определяемого точным равенством (4.12) в виде
266
к продолжительности самого длительного (здесь последнего) шага
©/ = т (/) — т (/ — 1).
Имеем
_ |
т ( / ) _ |
1 — с х р ( |
Сцл/С0) |
(6.60) |
||
т ~ |
6* |
~ |
1 — с х р ( —6С |»/С 0) * |
|||
|
||||||
где 6С, — приращение |
концентрации |
начальных трещин, необ |
ходимое для увеличения кластера размером i — 1 на |
1 с учетом |
||
(4.14), |
|
|
|
b C i = C i — С, _, « |
[п (КС*). |
(6.60а) |
|
Если |
|
|
|
p = |
6C;/C0< |
1; |
(6.606) |
v = |
C|/fiC,> 1, |
(6.60в) |
то пыражснис (6.59) совпадает с (6.50). Такое совпадение яв ляется количественным свидетельством близости кинетик про цесса кластеризации и при кинетически неоднородном трещинообразовапии, и при движении по липейно-аппроксимировапиому энергетическому рельефу, описываемому выражением (6.50). Это позволяет формирование очага в кинетически неоднородном геле описывать Г-распределенпем (6.45) с параметрами 0 (6.48)
н т (6.50), где р и v описываются |
|
выражениями |
(6.606) |
и |
|
(6.60в). |
|
|
(6.606) при значениях |
||
В рассматриваемой области согласно |
|||||
i ~ 10, In ЕС* ^ 30 средний уклон |
|
(а |
фактически |
подъем) |
|
рельефа описывается выражением |
|
|
|
|
|
р > (In ЕС*)/30/2 ~ |
10“2. |
(6.60г) |
|||
Оценка (6.60г) с учетом выражения |
(4.13а) означает, |
что |
|||
при значениях со = уо/кТ^, 102 |
1 |
(см. рис. 6.5), |
и преодо |
ление длинной цепочки состояний лимитируется практически
одним переходом. При этом разброс |
времени перехода |
(6.51) |
w = т~'1’ ~ |
1 |
(6.61) |
велик, т. е. закон больших чисел «нарушается».
Эта ситуация порождена затуханием со временем накопле ния начальных трещин вследствие истощения резервуара «сла бых мест» (см. п. 4.3).
В условиях кинетически однородного трещинообразовання генерация первичных трещин осуществляется путем статистиче ски независимого (т. е. параллельного) разрушения элементов с одинаковым распределением (6.1) времен их жизни. Вероят ность формирования очага разрушения — кластера размером i — описывается распределением Вейбулла (3.17), где в данном
267
случае С = Cot/Q и соответствующая компонента и функции рас пределения долговечности
|
Р (т) = 1 - |
ехр [ ---- . |
(6.62) |
При этом коэффициент вариации |
|
||
|
ад0 |
1,8/(/ — 1) <С 1 |
(6.62а) |
вследствие |
I оказывается значительно |
меньше своего ана |
лога (6.61) при кинетически неоднородном трещшюобразованпи. В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда функция рас пределения долговечности подчиняется Г-распределению Р(т) (6.45), а ее среднее значение — формуле Журкова. Здесь необ ходимо заметить что Р(т) описывает только разброс долговеч ности, обусловленный случайным характером тепловых разру шающих флуктуаций. При этом предполагается, что параметры энергетического рельефа в статистической серии образцов сохра няются. Вообще говоря, эти параметры могуг изменяться и да вать соответствующий вклад в разброс. Не учитывающую этого фактора (названного выше технологическим) функцию Р(т) будем называть термофлуктуационной компонентой функции
распределения долговечности.
Итак, теоретический анализ приводит к выводу, что термофлуктуационный разброс долговечности — термофуктуанионная
компонента функции |
распределения |
долговечности реального |
(т. с. неоднородного) |
тела — в области выполнимости формулы |
|
Журкова приближенно описывается |
Г-распределенисм |
|
|
%/е |
|
Р (т ) = ( хт~ 1еГх dxfT (т).
о
При этом процесс разрыва тела характеризуется двумя па раметрами: временем разрушения его самого прочного элемента
©= т0 exp [(t/0 — ут)/к71
исредней долговечностью тела Мх в единицах 0
т« [ 1- ехр (—Руст/кГ)]"1,
причем согласно (6.60в) р ~ 10-2.
Отвечающие Г-распрсделению среднее значение долговечно сти Мх = /п© и дисперсия Dx = mQ2 дают коэффициент ва риации
wp — д/Dx/Мх — т~'/2.
Вообще, как указывалось выше, основной статистической ха рактеристикой на опыте является полуширина В «колокола раз броса» lgx, связанная с коэффициентом вариации ад:
В = Alg т ж 2ад/2,3 « ад. |
(6.63) |
268
Всилу (6.61) и (6.63) величина т определяет уровень термофлуктуационного разброса.
Вобщем случае следует полагать, что наблюдаемый на опыте разброс обусловлен одновременным действием тер.мо-
флуктуационного и технологического факторов. Важно оценить вклад каждого из них. (Достаточно оценить вклад одного, тогда вклад другого равен экспериментально наблюдаемой величине за вычетом первого.)
Величина термофлуктуацпониой компоненты разброса дол говечности, зачаваемая формулой (6.61), нс может быть точно определена, поскольку известен лишь порядок f> (6.606). Можно однако ожидать, что при значениях уст/кТ~102, имеющих место при ускоренных статистических испытаниях, величина /;? ~ 1, так что термофлуктуацненная компонента может быть значи тельной.
Доля технологической компоненты разброса по формуле (6.59) надежно количественно также не может быть определена, поскольку из оценки погрешностей опыта нельзя найти правиль ные значения Ду, До* и \Т. Кроме того, расчет по формуле (6.59) дает завышенную оценку величины Ве (так как все сла гаемые берутся с одним знаком) и пс указывает связанную с нею величину доверительной вероятности. На несостоятель ность подобного способа количественного вычисления ошибки функции нескольких переменных указано в работе [90]. Однако,
если для грубой оценки |
все же |
воспользоваться выражением |
(6.59) , задав в нем произвольно разумные значения |
||
Дет/о « |
АТ/Т ъ |
Ду/у - 1 °о, |
то при характерных значениях уст/к7'~102 получим величину, примерно равную (по порядку величины) экспериментально наблюдаемом Пг~ 1. Эта опенка свидетельствует о том, что вклады термофлуктуаиионного п технологического факторов могут быть соизмеримы.
Для более точной оценки мы предлагаем следующую мето дику разделения термофлуктуацнонной п технологической ком понент разброса долговечности.
Наблюдаемое на опыте (эмпирическое) распределение дол говечности £(т) представим как наложение двух распределений Р и W, обусловленных соответственно термофлуктуацнонным н технологическим факторами. Функция Р в рассмотренном при ближении чается Г-распределенисм. Функцию W выберем из следующих соображений. Вследствие наличия технологического фактора значения о, у и 7 оказываются случайными величи нами, приводя к вариации Д зависящих от них (в комбинации уа/кТ) величин О и //? в выражении для среднего значения дол говечности Мх = ш0 :
269
После учета явных выражений для 0 (6.48) и т (6.50) видно, что при вариации yojkT относительное изменение ве личины © описывается выражением
В Д (угт/кГ) I 1
и велико по сравнению с относительным изменением не слиш ком больших ш:
Ат |
= |
mр exp (—Руа/кГ) С 1. |
|
m A (yrr/kТ) |
|||
|
|
Таким образом, наиболее существенным является технологи ческий разброс величины 0 , а разбросом пг можно пренебречь. Будем полагать, что технологический разброс обусловлен дей ствием достаточно большой группы факторов, приводящих к примерно равному изменению а, у и Т в сумме (6.59), вслед ствие чего выполняются условия центральной предельной тео ремы теории вероятностей (теоремы Ляпунова). Тогда величина (U0— уа/кТ) распределена нормально (подчиняется распреде лению Гаусса 1). Это приводит к логарифмически нормальному распределению величины 0. Таким образом, технологический фактор описывается распределением с плотностью
т г О ' — v r ~ r у г г схр |
<6 И > |
где а = Л11п0, b = DlnQ соответственно среднее значение и дисперсия.
Для распределения W коэффициент вариации
|
ww = V e^ ~ 1» л/ь . |
|
(6.65) |
|||
Величина гемг характеризует относительный разброс 0 |
около |
|||||
его среднего |
значения |
0 = с*7, и с учетом |
структуры |
|
||
|
ww = |
Д0/0 « |
Л (t/0 — уо)/кТ |
(6.66) |
||
[аналогично |
(6.59) ]. |
и |
(6.66) |
позволяют |
оценить зависимость |
|
Выражения (6.65) |
||||||
Ь(у, о, Г). Поскольку |
в |
формуле для 0 |
структурно-чувстви |
|||
тельным является параметр у, будем считать, что |
|
|||||
Отсюда |
A(yo/kT)^b(U»/kT). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
Ь — х (уа/кТ)2 |
|
(6.67) |
|
|
|
|
|
|
|
х = Л In (уа/кТ)
имеет смысл относительной ошибки при задании на опыте ве личины ya/kTf являющейся в силу сказанного выше в выра жении (6.67) свободным параметром.
270