Числовые значения коэффициента а 2 для различных величин даны в табл. 1. Можно видеть, что для р/ > 2,5 максимальный изгибающий момент для стержня конечной длины практически имеет такое же значение, что и в случае бесконечно длинного стержня. В проведенных лабораторных экспе риментах 21 = 609,6 см и р = 0,007874 \/см. Здесь напряженное состояние около точки приложения нагрузки практически было то же, что и для слу чая бесконечно длинного стержня.
Используя формулу (1), |
получа |
ем значение |
максимального |
изгиба |
ющего момента |
|
|
|
м п _ |
Р |
* / |
4EI |
(7а) |
|
4 |
V |
к |
|
и, обозначая через S момент сопротив ления изгибу поперечного сечения рельса, находим максимальное из гибающее напряжение
Фтах —
Рис. 4. Распределение подлине балки из гибающего момента, вызываемого четырь мя одинаковыми нагрузками от колес (здесь за единицу принят момент, созда ваемый одной изолированной нагрузкой).
Поскольку член, находящийся в правой части формулы (8), остается постоянным для геометрически подобного поперечного сечения рельса при условии, что Elk остается постоянным, а Р изменяется пропорционально квадрату линейных размеров поперечного сечения, можно сделать вывод, что величина отах остается неизменной, если вес рельса, отнесенный к еди нице длины, возрастает в той же пропорции, что и сила Р. Подобный вывод в некоторой мере оправдывает увеличение веса рельса в той же пропорции, что и осевая нагрузка от подвижного состава, который движется по нему. Тогда приближенное значение максимального давления на шпалу Ятах мож но получить умножением максимального прогиба, найденного по формуле (4), на расстояние между шпалами а и на модуль основания:
Кшах — 2к 2 V 4EI * 1 '
Отсюда видно, что давление на шпалы зависит в основном от расстояния a между шпалами. Давление уменьшается с уменьшением а и k и с увеличением изгибной жесткости рельса EL
Зная решение для вертикального прогиба, вызываемого отдельной си лой Р и используя принцип наложения, можно легко получить кривую про гибов и распределение изгибающего момента по длине рельса для любой системы вертикальных сил.
Для того чтобы |
проиллюстрировать метод расчета, рассмотрим рельс |
с погонным весом 59 |
кг и с / = 1830 сл*4, k = 105 кг1см1, Тогда из формулы |
(1) получим р = 0,00909 1 /см. Возьмем систему четырех равных сил (рис. 4), расположенных на расстоянии в 168 см друг от друга, и, поместив начало координат в точку контакта первого колеса с рельсом, получим значения рх для четырех колес:
Число колес |
1 2 |
3 |
4 |
Р* |
0 |
1,52 3,05 |
4,57 |
Используя график, представленный на рис. 3, и суммируя долю вкла да всех нагрузок, действующих на рельс, найдем изгибающий момент,
возникающий в рельсе под первым колесом:
М1 = - ~ ( 1 — 0,207 — 0,051 + 0,008) = 0,75 |
, |
т. е. изгибающий момент на 25% меньше, чем момент, вызываемый только одной нагрузкой Р. Аналогично можно найти, что под вторым колесом из гибающий момент будет
М2 = -^ -(1 — 2 •0,207 — 0,051) = 0,535 |
. |
Отсюда видно, что, благодаря действию соседних колес, происходит значи тельное снижение изгибающего момента под вторым и третьим колесами.
Рис. 5. Располо |
Рис. 6. Эксцентричное приложе |
жение рельсо |
ние вертикальной силы. |
вых накладок. |
|
Таким же способом можно вычислить изгибающий момент для любой другой точки. Например, в точке А, лежащей посередине между вторым и третьим колесами, изгибающий момент равен 0,22 Р/4|5, и рельс изгибается выпуклостью вверх. Отсюда видно, что при движении такой системы нагруз ки, как это показано на рис. 4, напряжения изменяют не только свою вели чину, но и свой знак. При действии таких циклов напряжений в рельсах могут появиться усталостные трещины. Многие реальные случаи разру шений в рельсах имеют характерные признаки наличия усталостных трещин. Такого же рода разрушения появляются и в рельсовых накладках (рис. 5). Трещины обычно начинаются в наиболее удаленных от нейтральной оси пп точках mm. Одновременно трещины развиваются в отверстиях и во вхо дящих углах, где имеет место высокая концентрация напряжения.
Используя метод наложений и кривую, изображенную на рис. 2, также легко можно подсчитать прогиб, вызываемый системой вертикальных сил.
Обратная задача, т. е. определение вертикальных нагрузок, произ водимых колесами локомотива на рельс, при условии, что из эксперимента определены прогибы или напряжения в рельсе под колесами, также может быть решена без каких-либо затруднений. Применение такого рода расчетов в экспериментах всегда показывало хорошее соответствие между суммой полученных нагрузок и действительным весом локомотива. Все это дает не которое подтверждение предположению, что рельс можно рассматривать как стержень, лежащий на сплошном упругом основании.
Эксцентрично приложенная вертикальная сила. Если вертикальная сила Р приложена с эксцентриситетом е (рис. 6, а), то ее можно заменить центрально приложенной силой Р и моментом Ре (рис. 6, б). Центрально приложенная сила вызывает вертикальный изгиб рельса, обсуждавшийся в предыдущем разделе, а момент вызывает кручение рельса.
Если рельс со свободными концами подвергнуть действию двух равных и противоположно направленных крутящих моментов Mt, то угол закручи вания можно грубо определить по известной приближенной формуле Сен-
Венана, а именно из выражения |
|
|
ср = М,//С, |
(10) |
где I — длина рельса; |
С = F*G/40IP\ F — площадь поперечного |
сечения; |
G — модуль упругости; |
/ р — полярный момент инерции. |
|
Чтобы получить более точное значение крутильной жесткости С, не обходимо непосредственное проведение испытания на кручение. Подобные
Рис., 7. Кручение рельса.
испытания показывают, что действительная величина жесткости на круче ние несколько меньше, чем та, которая дается формулой Сен-Венана.
Если концы рельса жестко защемлены, а крутящий момент, равный 2Mt, приложен посередине (рис. 7), то кручение рельса сопровождается из гибом головки и подошвы рельса. В произвольном поперечном сечении, находящемся на расстоянии х от середины, момент Мг передается частично
в виде чистого |
кручения и частично в виде изгиба |
|
р |
|
головки |
и подошвы рельса. |
Пусть Мг и /И2 пред |
|
|
ставляют собою |
соответственно |
первую и вторую' |
|
|
составляющие. |
Обозначим |
через ср угол закручи |
|
|
вания, |
как это |
показано на рис. 8. Тогда |
|
|
|
|
Мг = — С dcpdx |
( И ) |
т |
|
Составляющая М2 представлена на рис. 8 па |
-Л------- У |
|
рой QA, |
где Q — поперечная сила, возникающая |
|
|
|
вследствие изгиба головки и подошвы рельса; h — |
Рис. 8. |
К определению |
расстояние между центрами |
тяжести поперечных |
центра кручения попереч |
сечений головки и подошвы. |
|
|
ного сечения рельса. |
|
|
рельса, положение |
центра |
1 |
О |
Пренебрегая изгибом шейки |
кручения1* |
можно определить так:
г |
hi |
/z2 — |
hi, |
/*i = |
|
/i + /v |
где /j и / 2 — соответственно |
моменты |
инерции поперечных сечений |
ки и подошвы относительно оси симметрии поперечного сечения Поперечная сила Q определяется из выражения
Q = Eli |
d3y |
= Elih1 |
d3cp |
dx3 |
dx3 |
1 Дальнейшее обсуждение, связанное с определением центра кручения, |
можно найти |
в работе С. П. Тимошенко. T i m o s h e n k o S. Р. Strength of materials, pt |
1. N. Y.— Ld., |
Van Nostrand, 1930, 368 p.; см. стр. 191— 195; 3-rd edition: N. Y.— Toronto — Ld., Van Nostrand, 1955, 442 p.; см. стр. 235— 244. [Перевод на русский язык: Т и м о ш е н к о С. П. Сопротивление материалов, том 1. М., «Наука», 1965, 363 стр.; см. стр. 200— 207].
|
|
(13) |
Обозначая |
,£У,2 - = D, найдем дифференциальное уравнение |
кручения |
|
*1 + '2 |
|
|
Mt = M1 + M2 = - C ^ r + D h ^ ^ ~ . |
(14) |
Решение этого уравнения для длинного рельса будет |
|
где |
- ^ = - - ^ 4 1 - ^ * ) . |
(15) |
______ |
(16) |
|
у = VC/Dh*. |
Можно заметить, что с увеличением расстояния х от срединного попе речного сечения рельса второй член, стоящий в правой части выражения (15) в круглых скобках, уменьшается, и это выражение начинает совпадать с зависимостью (11), соответствующей чистому кручению. Изгиб головки и подошвы рельса вносит при кручении рельса только локальный эффект. Результаты проведенных экспериментов 1 хорошо согласуются с выраже нием (15).
Представим теперь, что рельс, показанный на рис. 7, связан по всей дли не со сплошным упругим основанием, которое сопротивляется повороту по перечных сечений рельса при кручении. Допустим, что реактивный момент сопротивления основания кручению, приходящийся на единицу длины рель са, в произвольном поперечном сечении пропорционален соответствующей этому сечению величине угла закручивания ср. Обозначая коэффициент про порциональности через kx и дифференцируя уравнение (14), находим
dMt |
= |
— /г2ср = — С |
d2ср |
+ Dh2 |
d4cp |
dx |
dx2 |
~dtf |
Теперь уравнение для определения угла закручивания будет иметь вид
Dh2 |
d4cp |
С |
d2ср |
= 0. |
(17) |
|
dx2 |
Из решения уравнения (17) видно, что кручение рельса, связанного с упругим основанием, можно представить волнистой линией и что амплитуда этой линии уменьшается с увеличением расстояния от нагруженного се чения.
Боковая нагрузка. Сосредоточенная-боковая сила Я, приложенная к рельсу, вызывает боковой прогиб и кручение в рельсе. Введем опять допу щение о том, что рельс непрерывно по всей длине опирается на упругое ос нование, которое оказывает сопротивление боковому прогибу и кручению рельса. Пусть kx будет модулем основания, соответствующим кручению, а k2— модулем основания, соответствующим боковому прогибу. Обозначая через у боковое смещение центра кручения рельса и через ср угол закручива ния, получаем, что прогиб подошвы рельса (рис. 9) будет равен у — grp, а соответствующая этому прогибу боковая реакция подошвы рельса, отне сенная к единице длины, будет
____________________ |
q = |
k2(y — gq>). |
(18) |
1 T i m o s h e n k o S . |
Р. Method |
analysis of statical and dynamical |
stresses in rail. |
Proceeding of the second International Congress for Applied Mechanics, Zurich, September, 12— 17, 1926, Zurich, Leipzig, O. Fussli, 1927, p. 407—418. Extract: 12p.
Реактивный крутящий момент, отнесенный к единице длины, имеет вид m = k1ср. (19)
Тогда дифференциальное уравнение бокового изгиба рельса будет
Е h - 0 - = — Ь2(У —£ Ф ). |
(20) |
где Е1г — изгибная жесткость рельса в горизонтальной плоскости.
Рис. 9. Действие боковой на |
Рис. 10. Общий случай действия нагрузки на |
грузки на рельс. |
рельс. |
При рассмотрении кручения рельса из условий статики было найдено, что скорость изменения крутящего момента определяется уравнением
Из соотношений (14), (18) и (19) получаем
Система двух уравнений (20) и (21) определяет боковой изгиб и кручение рельса при действии силы Н. При интегрировании этих уравнений необхо димо удовлетворить следующим условиям в нагруженном поперечном се чении:
(2 2 )
Остальные константы интегрирования должны быть выбраны из ус ловия, что изгиб и кручение рельса обращаются в ноль на бесконечности.
Применение этой общей теории в частных случаях 1 показывает, что боковой изгиб и кручение носят локальный характер. Следовательно, если на рельс действуют несколько боковых сил, например боковое давление, вызываемое колесами локомотива, то на максимальное напряжение, вызы ваемое в головке рельса одной из этих сил, не обязательно оказывают замет ное влияние другие силы.
Экспериментальное определение боковых сил, вертикальных сил и эксцентриситета приложения вертикальных сил. В самом общем случае дей ствие силы на рельс может быть представлено в виде вертикальной силы Р,
1 См. сноску на стр. 324.
du |
du |
d12u |
d2u о |
~дГ |
dx |
dt2 “ |
v2. |
dx2 |
а уравнение (23) можно переписать в форме
U? |
d2y |
, |
№ 9 d2a |
g |
dt2 |
+ <**/ = — — U-- d*2 |
Если форма пологой впадины и скорость и известны, то, выразив пра вую часть уравнения (24) как функцию от времени, получим известное урав нение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы. Решение такого уравнения может быть легко найдено в каждом частном случае. Возьмем, например, пологую впадину, форма которой задана выражением
|
и = -g- ^ 1 — cos |
|
|
i |
|
(25) |
где (см. рис. 14) I — длина пологой впадины; б — глубина впадины посере |
дине ее длины. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда правая часть уравнения (24) примет вид |
|
|
|
W |
о 6 |
4л2 |
|
2ях |
|
|
|
--------V2 |
2 |
|
COS |
Т |
“ ‘ |
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
Отсчитывая время от момента, |
когда точка контакта колеса совпадает |
с началом пологой впадины (см. рис. 14), получаем х = |
vt, и уравнение (24) |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W_ d2y . |
|
|
W |
2 |
6 |
|
2nvt |
(26) |
|
dt2 |
|
T |
7 |
<' 7 |
|
|
l |
|
|
g J L + * » |
|
|
|
|
|
|
Обозначая |
через T период |
колебаний |
колеса |
на рельсе \ 7\ = |
= l/v — время |
прохождения колеса через пологую впадину и удовлетво |
ряя начальным |
условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*/)<=» =(-ар),..,,=°*
находим решение уравнения (26) в следующей форме:
Ь |
1 / 2Ш |
___ |
2nt |
(27) |
у = — |
COS- |
■COS- |
|
|
|
|
|
- |
№ |
|
|
|
Из (27) видно, что дополнительный динамический прогиб пропорцио нален глубине впадины б и зависит от величины отношения TJT и места положения колеса. Изменение этого прогиба за период движения колеса по впадине, т. е. в интервале 0 < t < Т, для различных отношений Т±/Т показано на рис. 15, где обозначено: б — высота плоского участка смятия рельса; I — длина плоского участка на рельсе; Т — период свободных коле баний колеса на рельсе; 7\ — время, за которое колесо проходит плоский участок. Сначала величина у равна нулю, а затем становится отрицательной. Это означает, что, как только колесо достигает края пологой впадины, дав ление на рельс и прогиб начинают уменьшаться, поскольку колесо, попадая
1 Масса рельса здесь не учитывается; |
W/a. — статический прогиб рельса |
под действи |
ем колеса весом W, при этом формула для Т совпадает с обычной формулой для |
периода соб |
ственных колебаний. См. T i m o s h e n k o |
S. Р. Vibration problems in engineering. N. Y., |
Van Nostrand, 1928, 351 p.; см. стр. 17. [Перевод на русский язык: Т и м о ш е н к о С. П. Теория колебаний в инженерном деле. М.— Л ., Гостехиздат, 1932, 344 стр.; см. стр. 23].
на пологую впадину, приобретает ускорение, направленное вниз. Когда колесо перемещается дальше вдоль впадины, движение, направленное вниз, начинает замедляться и вместе с тем увеличиваются давление и прогиб, как это видно из рисунка. Величины отношений максимального прогиба утах и глубины пологой впадины, подсчитанные по формуле (27) для различ ных отношений Тг1Т, приведены ниже:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TJT |
2 |
3/2 |
1 |
4/5 |
2/3 |
3/5 |
1/2 |
|
|
У т а х / б |
0,33 |
0,65 |
1,21 |
1,41 |
1,47 |
1,45 |
1,33 |
|
Максимальный дополнительный прогиб, равный 1,476, появляется при |
|
скорости, |
соответствующей |
отношению |
Тг/Т = |
2/3, т. е. когда время, за |
|
которое |
колесо |
проходит |
впадину, |
|
|
|
|
|
равнялось двум третим периода соб |
|
|
|
|
|
ственных колебаний колеса на рель |
|
|
|
|
|
се. Можно заключить, что дополни |
|
|
|
|
|
тельное динамическое давление, возни |
|
|
|
|
|
кающее из-за пологих впадин, прибли |
|
|
|
|
|
зительно |
равно нагрузке, |
вызываю |
|
|
|
|
|
щей статический прогиб, равный 1,56. |
|
|
|
|
|
Таким образом, сравнительно неболь |
|
|
|
|
|
шая пологая впадина вызывает при |
|
|
|
|
|
определенных |
скоростях |
|
значитель |
|
|
|
|
|
ный динамический |
эффект, |
который |
Рис. |
15. |
Дополнительный (динамический) |
|
должен быть учтен при вычислении |
|
прогиб, вызванный плоским участком на |
|
прогиба из формулы (4), справедливой |
колесе или пологой |
впадиной на рельсе. |
для статических условий. Аналогичные результаты могут быть получены для пологих впадин различного про-
филя. В общем случае уравнение (26) приобретает вид
|
w_ |
d*2y |
+.ay = |
F (t), |
|
|
е |
~dP |
|
|
|
а его общее решение |
будет 1 |
|
|
|
|
У = |
w i £ r W |
)sin |
2JT (tx — t) dt |
(28) |
T |
Расчеты, проведенные2 для пологих впадин различных профилей, показали, что отношение г/тах/6 существенно не зависит от вида профиля пологой впадины при условии, что он представляет собою непрерывную кри вую. Отсюда можно утверждать, что максимум дополнительного динамиче ского давления на рельс, вызванного наличием пологой впадины, примерно на 50% больше, чем нагрузка, которая способствует возникновению стати ческого прогиба, равного глубине 6 пологой впадины.
Расчет, проведенный для случая пологой впадины, может быть при менен также в случае плоского участка на ободе колеса, поскольку такой плоский участок вызывает точно такое же вертикальное движение колеса, как и пологая впадина той же формы на рельсе.
|
|
|
|
T i m o s h e n k o |
S. Р. Vibration problems in engineering. N. Y., |
Van Nostrand, |
1928, 351 p., см. стр. 20. [Перевод на русский язык: Т и м о ш е н к о С. П. |
Теория колеба |
ний в инженерном деле. М.— Л., Гостехиздат, 1932, 344 стр., см. стр. 25]. |
|
2 Т и м о ш е н к о |
С. П. О динамических |
напряжениях в рельсах. Вестник инжене |
ров, 1915, том 1, № 4, стр. 143— 152; отд. оттиск: |
Петроград, тип. «Строитель», 1915,30 стр. |
Вопрос о динамическом влиянии зазора между рельсом и шпалой и о динамическом влиянии рельсовых стыков может быть рассмотрен аналогич
ным образом.
При рассмотрении дополнительного давления со стороны локомотива вследствие влияния центробежной силы Q от противовеса можно использо вать теорию вынужденных колебаний. При расчете этого давления умно жим величину центробежной силы на коэффициент усиления 1. Тогда до
полнительное давление на рельс будет Q jzi^r/TY2J где ^ — период колеба
ния колеса на рельсе; Т2— время одного оборота колеса.
В подобных расчетах масса рельса не учитывается, что вполне допус тимо, так как время Т2 обычно велико по сравнению с периодом собствен
ных колебаний рельса.
Чтобы определить период низшего тона колебаний, заметим, что этот тип колебаний представляет собою колебания рельса в вертикальном на правлении как абсолютно жесткого тела. Пусть q — погонный вес рельса; k — модуль основания; q/k — статический прогиб рельса, вызванный соб
ственным весом, |
а период Т3 основного тона |
колебаний |
будет составлять |
Т3 = 2п Vq/kg. Возьмем для примера рельс, |
погонный вес которого ра |
вен 59 кг и k = |
105 кг/см2. Тогда Т3 = 2п j / " •981 |
1Q2 = 0,0157 сек. |
Эту величину можно рассматривать как малую по сравнению со временем 7*2 одного оборота колеса; коэффициент усиления незначительно отличает ся от единицы.
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В РЕЛЬСАХ
Введение. Выше рельс рассматривался как балка на упругом основа нии; было показано, что обычная теория изгиба может быть применена к рельсу как целому. Однако в точках, лежащих около места приложения нагрузки, напряжение значительно отличается от тех, которые могут быть подсчитаны по обычной теории изгиба. В этой части будут обсуждаться местные напряжения в окрестности точки приложения нагрузки и будут приведены результаты некоторых испытаний.
Испытания, о которых пойдет речь, были проведены частично на реаль ной рельсовой колее, частично в лабораторных условиях. Аппаратура, использованная для таких статических испытаний на реальной рельсовой колее, показана на рис. 16. Нагруженная платформа опирается на точки, вынесенные за пределы конструкции железнодорожного полотна. Для соз дания вертикальных нагрузок гидравлические домкраты крепились снизу под платформой прямо над рельсами. Боковые нагрузки создавались дру гим гидравлическим домкратом, действующим таким образом, чтобы каждый рельс был нагружен порознь. Величины нагрузок определялись с помощью гидравлического манометра, помещенного со стороны высокого давления масленой магистрали домкратов, прогибы — измерителем с циферблатом, помещенным с внешней стороны рельсовой колеи, а напряжения — тензо метром Гугенбергера.
В лаборатории рельс длиной 6,096 м опирался на консольные пружины,
1 T i m o s h e n k o S. Р. Vibration problems in engineering. N. Y., Van Nostrand, 1928, 351 p., см. стр. 18. [Перевод на русский язык: Т и м о ш е н к о С. П. Теория коле баний в инженерном деле. М.— Л., Гостехиздат, 1932, 344 стр.; см. стр. 23].
