книги / Статические и динамические проблемы теории упругости

стороны трубы находится в условиях равномерно сжатой пластины с за­ щемленными продольными сторонами. Критические значения сжимающих напряжений могут быть вычислены с использованием значений, приведен­ ных на стр. 299.

Выпучивание сжатой пластины не означает разрушения конструкции. Выпученная пластина не воспринимает сжимающих напряжений при даль­ нейшем увеличении нагрузок Р, и возрастающий изгибающий момент вос­ принимается жесткими вертикальными стенками трубы. Точное решение задачи выпучивания прямоугольной пласти­ ны при таком условии может быть получено только тогда, если будет принято во внимание неравномерное распределение сжимающих на­ пряжений в пластине.

Во всех упомянутых выше случаях пред­ полагалось, что критические напряжения ни­ же предела пропорциональности материала. Для напряжений выше предела пропорцио­ нальности приведенные уравнения дают за­ вышенные значения критических напряже­ ний.

Приближенный метод, учитывающий пла­ стические деформации, может быть построен с использованием экспериментальных резуль­ татов по выпучиванию стержней при на-

\

ний. Грубое приближение для критических сжимающих напряжений в пластинах при напряжениях выше предела текучести получается в слу­ чае умножения приведенных выше теоретических результатов на коэф­ фициент Е* /Е, который равен соответствующему коэффициенту для сжатого стержня. Такое вычисление будет всегда в безопасную сторону, так как в процессе выпучивания имеет место изгибание в двух перпендикулярных направлениях, и когда в одном из этих направлений материал достигает пластического состояния, в другом направлении он может находиться еще в упругой стадии.

Лучшее соответствие с экспериментами можно ожидать, если рассмат­ ривать пластину, сжатую в одном направлении выше предела текучести, как неизотропную пластину с двумя разными модулями в двух перпендикуляр­ ных направлениях 21.

1 К а г m a n T h . Untersuchungen uber Knickfestigkeit. Mitteilungen uber Forschungsarbeiten, herausgegeben von Verein deutscher Ingenieure, 1910, Hft 81, 44 S. [Перепечатка: К а г rn a n Th. Collected works. Butterworths scientific publication, Ld., 1956, vol. 1, p. 90— 140].

2 H u b e г M. T. Einige Anwendungen der Biegungstheorie orthotroper Platten. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1926, Bd 6, Hft 3, S. 228—231.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД

В более сложных случаях выпучивания пластин получить точное ре­ шение уравнения (1) затруднительно, приближенное же решение может быть получено с помощью энергетического метода 1. Критические значения сжимающих сил 7\ и Т2 и сдвигающих сил S могут быть найдены из условия минимума интеграла

условиям, можно получить приближенные значения критических сил из уравнения (12). Точность приближенного решения может быть улучшена пу­ тем включения одного или более независимых параметров в выбранное выра­ жение для w и подбора этих параметров таким образом, чтобы силы 7\, Го и S принимали минимальные значения.

С использованием этого метода может быть решена задача выпучивания

плоскости (рис. 6). Предположим, что распределение сжимающих сил вдоль кромок х = 0 и х = а определяется выражением Тг = T\max (/ — уlab). Различные условия нагружения получаются путем изменения коэффициен­ та а. При а == V2 получаются условия чистого изгиба пластины. При а = со

1 Т и м о ш е н к о С. П. Об устойчивости упругих систем. Изв. Киевского политех­ нического института, 1910, год 10, Отдел инженерной механики, книга 4, стр. 375—560; см. стр. 524. Отд. оттиск, Киев, тип. С. В. Кульженко, 1910, 188 стр; см. стр. 150. [Перепечат­ ка: T и м о ш е н к о С. П. Сб. «Устойчивость стержней, пластин и оболочек». М., Физматгиз, 1971, стр.352]. См. также: R e i s s n e r Н. Energiekriterium der Knicksicherheit. Zei tschrift fur angewandte Matliematik und Mechanik, 1925, Bd 5, Hft, 6, S. 475— 478.

имеем равномерно распределенные сжимающие усилия. При а > 1/2. полу­ чим совместное сжатие и изгиб. В*случае а < г/2имеем изгибе растяжением.

Критическое значение (Т^тах для всех этих случаев получается из фор­ мулы (6). Значения числового коэффициента А для различных отношений сто­ рон пластины и для различных значений даны в табл. 2.

Рассматривая случай чистого изгиба ( а = 1/2), видим, что k принимает минимальное значение при alb = 2/3. Следовательно, длинная пластина при выпучивании от изгиба будет подразделяться на прямоугольники с указан­ ным выше отношением сторон. Этот результат можно использовать при изу­ чении устойчивости тонких стенок двутавровых балок, в середине пролета, где сдвигающие напряжения несущественны.

С помощью этих методов могут быть изучены более сложные случаи выпучивания пластин при неравномерном их сжатии г.

ВЫПУЧИВАНИЕ ПЛАСТИН

ИСТЕРЖНЕЙ ТРУБЧАТОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СДВИГАЮЩИХ НАПРЯЖЕНИЙ

Если прямоугольная пластина, показанная на рис. 1, подвергается действию сдвигающих напряжений, равномерно распределенных вдоль ее кромок, то критическое значение этих напряжений может быть получено пу­ тем использования уравнения (12). При этом для свободно опертых кромок критические результирующие сдвигающие усилия определяются формулой

где k — числовой коэффициент, зависящий от отношения alb. Некоторые значения этого коэффициента приведены ниже2.

Случай очень длинной прямоугольной полосы при равномерном сдвиге подробно исследован 3 и найдено, что в случае свободно опертых краев кри­ тические значения результирующих сдвигающих усилий даются формулой

усилия имеют преобладающее значение. Они могут быть также ис­

сил, равномерно распределенных вдоль краев. В случае длинной полосы, находящейся в состоянии чистого сдвига и усиленной двумя или более эк­ видистантными продольными ребрами, критические значения сдвигающих напряжений определяются формулой (13). Значения коэффициента зависят от жесткости ребер и их числа. Некоторые значения этого коэффициента при­ ведены ниже.

где b — изгибная жесткость одного ребра. Наиболее эффективное усиление происходит в случае расположения ребер перпендикулярно к волнам, ко­ торые образуются при выпучивании пластины под действием сдвига.

УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Простейшей проблемой этого класса является случай круговой цилинд­ рической оболочки, которая, выпучиваясь при равномерном осевом сжатии,

Критические напряжения, определяемые по формуле (16), ниже пре­ дела пропорциональности только для очень тонких оболочек. Для встречаю­ щихся в практике соотношений критические напряжения обычно выше пре­ дела пропорциональности. Они могут быть получены из уравнения (15),

S. 24—26. См. также работу Th. Karman, указанную в сноске на стр. 301].

Тогда критическое значение сжимающих сил становится равным 1

ткр = V 1/»(1 - V2) h2la V ЕЕ',

Если цилиндрическая оболочка сжимается на прессе, то кромки оболоч­ ки не могут расширяться в поперечном направлении и в результате этого при относительно низких напряжениях вблизи концов оболочки возникает местный изгиб. Это и объясняет, почему волны, показанные на рис. 8, на­ чинают образовываться в первую очередь на краях цилиндра 2. Сжатые цилиндрические оболочки некругового поперечного сечения могут быть ис­ следованы тем же путем 1. Эксперименты по сжатию цилиндрических оболо­ чек эллиптического поперечного сечения показали, что образование волн (рис. 8) начинается в местах наименьшей кривизны и что длина волны изменяется вокруг цилиндра как корень квадратный радиуса кривизны эллиптического поперечного сечения.

Рассматривая несимметричные формы выпучивания равномерно сжа­ тых круговых цилиндрических оболочек со свободно опертыми краями, видим 3, что, когда цилиндр имеет значительную длину, выпучивание мо­ жет произойти при сжимающих напряжениях, несколько более низких по сравнению со значениями, задаваемыми формулой (16).

Если концы цилиндрической оболочки свободно перемещаются, то критическое значение сжимающих усилий определяется формулой

(20)

Для относительно коротких цилиндров эти сжимающие усилия оказываются много меньше, чем соответствующие значения, определяемые по формуле (16).

Задача об устойчивости круговой цилиндрической оболочки при дейст­ вии равномерного поперечного сжатия полностью решена4, и вычислены таблицы для определения критического поперечного давления для оболочек с различными отношениями размеров.

Случай совместного действия поперечного и продольного равномерного внешнего давления на круговую цилиндрическую оболочку имеет практиче­ ское значение при проектировании подводных лодок.

1 G e c k e l e r J. W. Plastisches Knicken der Wandung von Hohlzylindern und einige andere Faltungserscheinungen an Schalen und Blechen. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1928, Bd 8, N 5, S. 341—352.

2 F 6 p p 1 L. Achsensymmetrisches Ausknicken zylindrischer Schalen. Sitzungsberichte der mathematischen-physikalischen Klasse der Bayerische Akademie Wissenschaften, 1926, S. 27—40.

3 S о u t h w e 1 1 R. V. On the general theory of elastic stability. Philosophical Trans­ actions of the Royal Society of London, Ser. A, 1913, vol. 213, N 501, p. 187— 244. См. также: Т и м о ш е н к о С. П. К вопросу о деформациях и устойчивости цилиндрической обо­ лочки. Вестник общества технологов, 1914, том 21, № 21, 1 ноября, стр. 785—792; Т и м о ­

ше н к о С. П. Изв. Электротехнического института, Петроград, 1914, том 11, стр. 267—

287.Отд. оттиск, Петроград, тип. А. Э. Коллинса, 1914, 23 стр. [Перепечатка: Т и м о ш е н -

Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure, 1914, Bd 58, N 19, S. 750— 755.

Эта задача также решена х.

Задача устойчивости тонких цилиндрических оболочек при кручении имеет практическое значение при проектировании самолетов. Показано 2,1 что для длинных труб критическое значение сдвигающих усилий определя­

Задача неустойчивости тонких цилиндрических труб при изгибе также обсуждалась ранее. Известно, что при изгибе тонких кривых труб имеет место сплющивание поперечного сечения и такие трубы являются более гиб­ кими, чем это следует из обычной теории кривых стержней 3. Рассматривая такое сплющивание, можно установить следующее критическое значение из­ гибающего момента для длинной тонкостенной кривой трубы 4:

Для практических целей было бы крайне важно дальнейшее исследова­ ние изгиба тонкостенных труб, а также обсуждение различных способов их подкрепления.

УСТОЙЧИВОСТЬ СФЕРИЧЕСКИХ И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК

В случае сферических оболочек, подверженных действию равномер­ ного внешнего сжатия, критическое значение сжимающего напряжения, при котором возникает выпучивание, симметричное относительно диаметра

толщина оболочки, а г — ее радиус. Если этот радикал не является нечетным числом, то должны быть взяты два близлежащих нечетных числа kx и й2, одно из которых больше, а другое меньше значения радикала. Используем обозначение

В качестве критического сжимающего напряжения выбирается меньшее из двух значений, определяемых следующими выражениями:

где

Интересный пример неустойчивости демонстрирует тонкая оболочка в фор­ ме довольно плоского эллипсоида вращения, нагруженная равномерным внутренним давлением 1 р. В такой оболочке вдоль экватора возникает тан­ генциальная сила 7\ величина которой равна

где а — радиус экватора и р — радиус кривизны меридиана на экваторе. Рассматривая элементарное кольцо, вырезанное из оболочки вдоль экватора как кольцо в упругой среде, можно показать, что выражение (16) дает значение критической силы Т с хорошей точностью. Аналогичные усло­ вия могут возникнуть также на концах цилиндрических котлов с эллипсои­

дальными крышками при равномерном давлении.

КОНСТРУКЦИИ СО СТЕНКАМИ, ИМЕЮЩИМИ НЕЗНАЧИТЕЛЬНУЮ ЖЕСТКОСТЬ

В предыдущем обсуждении были даны методы определения толщин пластин и оболочек и изгибной жесткости подкрепляющих ребер, которые не­ обходимы для исключения возможности выпучивания. Если размеры кон­ струкции таковы, что возникает выпучивание, то задача расчета напряжений и прогибов становится очень сложной. Распределение напряжений в выпу­ ченной пластине зависит от ее поперечных перемещений, которые нельзя считать малыми. Прогиб конструкции не является больше линейной функ­ цией внешних сил и не может быть вычислен элементарным путем.

Такое выпучивание тонких стенок и пластин во многих случаях не при­ водит к непосредственному разрушению конструкции 2. Иногда конструк­ ции могут выдерживать нагрузки, во много раз большие, чем нагрузки, при которых возникает выпучивание. Испытания легких металлических конструк­ ций типа используемых в самолетах показывают, что при определенных ус­ ловиях конструкции с очень тонкими стенками, которые выпучиваются при очень низких нагрузках, могут оказаться более экономичными, чем конст­ рукции с жесткими в поперечном направлении стенками.

Рассмотрим предельное условие, когда стенки и пластины настолько тонки, что не могут сопротивляться изгибу или сжатию. При этом выпучива­ ние происходит в самом начале нагружения конструкции и затем стенки рабо­ тают, по существу, на растяжение. Вычисления напряжений и прогибов кон­ струкций при таких условиях становятся очень простыми и могут быть легко применены в практическом проектировании 3.

Flugtechnik und Motorluftschiffarht, 1929, Bd 20, Hft 8, S. 200—207.

Чтобы объяснить это, рассмотрим очень тонкую гофрированную пласти­ ну (рис. 9). Такая пластина будет сопротивляться растягивающим усилиям в направлении образующих, ноне окажет практически никакого сопротивле­ ния любой растягивающей или сжимающей силе в перпендикулярных на­ правлениях или сдвигающим силам. Напряженное состояние при этом су­

щественно одномерно. Если а — растягивающее напряжение в направлении образующих и е0— единичное поперечное укорочение, обусловлен­ ное образованием волн, то относительное удли­ нение в направлении приложенных сил и по­ перечная деформация соответственно равны е = = а1ЕУег = (е0 + о/Е). Для того чтобы объяс­ нить, как такая гофрированная пластина, со­ противляющаяся только растяжению в направ­ лении образующих, может передавать усилия, рассмотрим систему, состоящую из трех абсо­ лютно жестких стоек с шарнирами в точках со­ единения (рис. 10, а).

В области abed между стойками расположе­ на очень тонкая пластина. При действии на­ грузки Р конструкция будет аналогична системе с гибкими диагоналями (рис. 10, б). При действии нагрузки диагональ db при сжатии выпучивает­ ся и только диагональ ас работает на растяже­ ние. Тонкая пластина не может выдержать сдви­ гающих напряжений; она выпучивается с обра­

зованием гофр, расположенных под углом 45°, как показано на рисунке. Из условий равновесия части nmbe видно, что растягивающее напряжение

о = 2P/dh, (а)

где d — высота ребра; h — толщина пластины. Это напряжение вдвое боль­ ше того, которое возникало бы в жесткой пластине при чистом сдвиге. Пред­ полагалось, что стержни являются абсолютно жесткими. Если имеется рав­

номерная деформация в плоскости пластины (рис. 10, в), такая, что горизон­ тальные стержни имеют относительное удлинение ех и вертикальный—отно­ сительное удлинение еуу а угол между ними изменяется на у, то угол а, опре­ деляющий направление образующих гофр, которые совпадают с максимальной главной деформацией, может быть получен из выражения

зю