книги / Статические и динамические проблемы теории упругости
..pdfПринимая во внимание тот факт, что выражение (41) представляет собой удовлетворительное приближение для динамического прогиба, данного выра жением (35), можно сделать вывод, что максимальный динамический прогиб при условии резонанса, т. е. когда условие (40) удовлетворяется, примерно на 50% больше максимального статического прогиба, равного PP/48EI. Интересно отметить, что максимальный динамический прогиб возникает тогда, когда сила покидает балку. В этот момент прогиб под действием силы Р равен нулю, следовательно, полная работа, совершенная этой силой, прошедшей точно длину балки, равна нулю. Для того чтобы объяснить источник энергии, накопленной в колеблющейся балке за время прохожде ния силы Я, необходимо допустить, что трения нет, а балка вызывает реак цию R в направлении нормали (рис. 5). В этом случае из условия равновесия следует, что должна существовать горизонтальная сила, равная Pdy/dx. Работа, совершаемая этой силой за время прохождения вдоль балки, будет равна
1 / V
о
Подставляя сюда выражение (41) для у, получаем
|
yFnvP2g |
1 / V |
nvt |
nvt |
|
nvi |
nvt |
|
W = — |
2 j (sin |
cos- |
||||||
"T~ |
~ r |
~T~ |
COS ■ |
или, принимая во внимание зависимости (40) и (19), получаем величину рабо
ты, равную W = ^ 4 •Это количество работы приближенно равно 1
величине потенциальной энергии изгиба балки в момент t = l/v. Так как время, необходимое для того, чтобы пересечь мост, обычно велико по сравнению с периодом основного тона колебаний, величина а2, определяемая
формулой (19), мала. Тогда, сохраняя только первые члены каждого ряда зависимости (35) и допуская, что в самом неблагоприятном случае амплиту ды вынужденных и свободных колебаний непосредственно складываются, получаем для максимального прогиба выражение
_ |
2gPP |
( |
1 |
|
vl__________1 |
\ = |
||
1/max |
y f n 2 |
\ |
я 2д2 — |
и2/2 |
ап |
п2а2 — и2/2 |
/ |
|
|
2Я/з |
|
1+ а |
_ |
2PI3 |
1 |
(43) |
|
“ |
Eln4 |
1 — а 2 |
“ |
Eln4 |
1 — а1 |
|||
|
1 Потенциальная энергия балки, изгибаемой приложенной в середине пролета силой Р, равна V = Р2/3/96 E l, a W/V = 2,43. Это отношение очень близко к квадрату отношения мак симального прогиба для динамического и статического условия, которое равно (48/я3)2 = «= 2,38. Различие может быть объяснено наличием высоких гармоник линии прогиба.
Если величина р известна, то это уравнение может быть решено без какихлибо затруднений. Для определения этой величины обычно используется
уравнение энергии. |
|
Если во время приложения подвижной нагрузки рТ — работа, |
обу |
словленная действием нагрузки на трос, а V — увеличение потенциальной |
|
энергии троса, то |
|
V = Т. |
(4) |
Из уравнений (3) и (4) могут быть вычислены величина р и прогибы г].
Обычно уравнения (3) |
и (4) решаются методом последовательных при |
||
ближений. Полагая р равной некоторой величине, из уравнения (3) можно |
|||
вычислить |
прогибы. По известным |
проги |
|
бам может быть найдена работа 7\ и если |
|||
при этом |
уравнение (4) |
удовлетворяется, |
|
то принятое для р значение является вер |
|||
ным. В противном случае вычисления дол |
|||
жны быть повторены с новым значением |
|||
для р. |
|
|
|
Задача может быть упрощена, а р |
|||
вычислено |
непосредственно путем |
пред |
ставления линии прогиба фермы в форме следующего тригонометрического ряда:
пх , |
. 2пх . |
. Зях , |
(о) |
г\ = агsin —{— |
а2sin — ---- Ь а3sin —----- Ь |
Коэффициенты аг, а2, а3, ... могут быть вычислены в каждом частном слу чае без каких-либо затруднений на основе принципа виртуальных перемеще ний 1. Если известны эти коэффициенты как функции р, то подстановка ряда
(5) в выражение для работы Т в правую часть уравнения (4) дает уравнение для вычисления р.
Проведенные вычисления показывают, что ряд (5) очень быстро сходя щийся, а все вычисления значительно проще, чем при использовании метода последовательных приближений.
Описанный метод может быть применен без всяких затруднений и в слу чае трехпролетного моста не только для распределенных, но также и для сосредоточенных нагрузок. Он может быть использован и в случаях, когда жесткость фермы изменяется вдоль длины моста.
1 Некоторые примеры таких вычислений могут быть найдены в работе автора: Т i - m o s h e n k o S. Р. The stiffness of suspension bridges. Proceedings of the American Society of Civil Engineers, 1928, vol. 54, N 5, pt 1, p. 1464— 1478. [Перепечатка: T i m o s h e n ko S. P. Transactions of the American Society of Civil Engineers, 1930, vol. 94, paper N 1732, p. 377—391].
причинами, такими, как подвижная нагрузка или изменение температуры, должно быть сделано предположение, что не только постоянная нагрузка, но и дополнительная нагрузка может рассматриваться как равномерно распределенная вдоль пролета. Таким способом устанавливается уравнение, из которого методом последовательных приближений может быть вычислено дополнительное натяжение троса. Предположение о равномерном распреде лении нагрузки достаточно точно выполняется, если пролет загружен пол ностью или почти полностью, но могут возникать значительные ошибки 1 в случае, когда нагружена только часть конструкции.
В настоящей работе развивается метод, с помощью которого: 1) прини мается во внимание действительное распределение подвижной нагрузки; 2) непосредственно могут быть вычислены дополнительные натяжения троса, вызванные или такой же нагрузкой, или изменением температуры. При ис пользовании этого метода линия прогиба пролетной ф°рмы представляется в форме тригонометрического ряда, коэффициенты которого легко вычисля ются при рассмотрении энергии системы.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ ПРОГИБА ПРОЛЕТНОЙ ФЕРМЫ
Рассмотрим сначала случай2, показанный на рис. 1. Предположим, что начальная кривая троса есть парабола и что вся постоянная нагрузка воспринимается тросом и не вызывает напряжений в подкрепляющих фермах. Напряжения в ферме возникают только от действия подвижной нагрузки и
изменения температуры по сравнению |
L |
1 |
|
с нормальной. |
|
||
со |
2 |
2 |
|
Пусть Hw — горизонтальная |
|
|
|
ставляющая натяжения троса, |
вы |
|
|
званная постоянной нагрузкой и сред |
|
z w |
|
ней температурой; Н — дополнитель |
|
||
ная горизонтальная составляющая на |
|
||
тяжения троса, вызванная различны |
|
|
|
ми причинами, такими, как подвижная |
|
|
|
нагрузка или изменение температуры; |
|
7ч |
|
Р = H!HW\т]— прогиб фермы и тро |
|
|
|
са в некоторой произвольной точке, |
|
Рис. 1. |
|
отсчитываемый от первоначального по |
|
ложения и вызванный натяжением Н и произвольной заданной подвижной нагрузкой (влиянием растяжения
подвесных тяг пренебрегается); w — постоянная нагрузка, приходящаяся на единицу длины, равная нагрузке на трос, включая его собственный вес; р — подвижная нагрузка на единицу длины, распространенная на весь про лет фермы или часть его; EI — изгибная жесткость пролетной фермы, которая
предполагается постоянной вдоль пролета; |
q — дополнительная |
нагрузка |
|||
на трос, вызванная подвижной нагрузкой |
или изменением |
температуры; |
|||
f — стрела провисания троса; |
/ — длина пролета подкрепляющей фермы. |
||||
1 См. стр. 312 части 2 работы |
J. В. Johnson, С. W. |
Bryan, F. |
Е. |
Тшпеаиге, |
|
указанной в сноске на стр. 256. |
|
|
в работе |
J. |
В. Johnson, |
2 Обозначения и исходные предположения такие же, как |
С. W. Bryan, F. Е. Turneaure, указанной в сноске на стр. 256.
Дифференциальное уравнение начальной кривой троса имеет вид
и d*v |
w. |
(а) |
п *> dx2 |
Интегрируя, получаем для прогиба известную параболическую кривую
У |
4 /* (/-* ) |
О) |
12 |
Когда на трос действует дополнительная вертикальная нагрузка qy дифференциальное уравнение прогиба троса принимает вид
(Hw+ Н) |
{у + Т1) = — (w + |
ч). |
(Ь) |
||
Из уравнений (а) и (Ь) будет найдена нагрузка q, переданная тросу, |
|||||
Я = |
Н |
(у + л) |
Нш |
, |
|
или |
|
|
|
|
|
|
9 = |
ра» - Я в (1 + |
Р ) - ^ - . |
|
(2) |
Нагрузка, переданная пролетной ферме, будет равна |
|
||||
р _ |
(7 = р _ р гг; + Яш(1 + Р ) - 0 |
-. |
(3) |
Подставляя это выражение в известное дифференциальное уравнение линии прогиба балки равномерного поперечного сечения, получаем следующее уравнение для линии прогиба пролетной фермы:
E I ^ - = p - № + Hw( l + V ) - ^ - . |
(4) |
Это — линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициента ми, которое может быть легко решено в каждом частном случае при условии, если известна нагрузка р и изменение Я горизонтальной составляющей на тяжения троса.
ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ
Предположим, что сосредоточенная сила Р приложена в середине про лета фермы (рис. 2) и что изменением Я (горизонтальной составляющей на тяжения троса) можно пренебречь по сравнению с Hw. Тогда р = 0, р = О и уравнение (4) принимает вид
Е1 |
d4r\ |
Н„ |
d2r\ |
0. |
(5) |
|
~d& |
Общее решение этого уравнения будет
Т|= Aekx+ Be~kx + Cx + D, |
(6) |
где А, В, С и D — произвольные постоянные; е — неперово основание и
k = |
(П |
Произвольные постоянные могут быть найдены из условий на концах и посредине пролета. На конце х = 1/2
(Л)*-//2 = 0, |
(с) |
где а1%а2, а3, .... — коэффициенты, которые могут быть вычислены из рас
смотрения энергии системы.
Используя для потенциальной энергии изгиба хорошо известное урав нение
о
подставляя в него г\из разложения (9) и принимая во внимание, что i
С . |
тях . |
пях |
, |
А |
|
|
I sin —— sin — — ах = |
О |
|
||||
о |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
f |
. о |
тях |
1 |
I |
|
|
S l n 2 |
_ _ |
d x = |
_ t |
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
получаем для потенциальной энергии выражение |
|
|
||||
U = -^ f-(a ? + 2 * a £ + |
3‘a !+ |
). |
(10) |
Предполагая, что малое увеличение бап дается только одному из коэф фициентов ап ряда (9), получаем, что малый дополнительный прогиб бапх
X sin п*х ■будет наложен на прогиб, даваемый выражением (9). Тогда из усло
вия равновесия может быть сделан вывод, что работа, совершаемая действую
щими на балку нагрузками, на перемещении 6ans in ^ - согласно уравнению
(10) должна быть равна увеличению потенциальной энергии. В уже рассмот ренном случае балка находилась под действием нагрузки Р, приложенной в
середине пролета, и распределенной нагрузки Hw ^ ■[см. уравнение (5)],
представляющей действие троса на балку. Работа нагрузки Р на малом перемещении 6ansin —— будет равна
РЬапs in -^ .. |
(е) |
|
Работа распределенной нагрузки Hw |
определится выражением |
|
i |
|
|
. К - ! ? - «о. sin-=51Л.
0
или, подставляя для г\ряд (9) и считая, что только член, содержащий коэф фициент an, дает отличный от нуля интеграл, получаем для этой работы следующее выражение:
|
|
|
П1Я1 |
0) |
|
|
— НшЬапап~2Г |
|
|||
Увеличение потенциальной энергии |
U, вызванное малым |
перемещением |
|||
апsin |
согласно формуле (10) будет равно |
|
|||
|
бUn |
я |
Е1я4п4 |
Л |
(g) |
|
да,- |
<4 = |
- 21,/з |
аМп- |