книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте задачу оценивания в рамках байесовского под­ хода. Поясните, чем отличается оптимальная в среднеквадрати­ ческом смысле байесовская оценка от оптимальной линейной и небайесовской оценок. К чему сводится правило нахождения оптимальной в среднеквадратическом смысле байесовской оценки?

2.Перечислите и поясните основные свойства оптимальной в среднеквадратическом смысле байесовской оценки.

3.Перечислите и поясните условия, обеспечивающие гауссовский характер апостериорной плотности в задаче оценивания векто­ ра х по измерениям (2 .1 .2 1 ), сформулированной в рамках байе­ совской постановки.

4.Почему при решении нелинейной задачи оценивания вводят условную и безусловную апостериорные матрицы ковариаций? В чем их отличие? Почему при использовании линейных алго­ ритмов условная и безусловная апостериорные матрицы кова­ риаций совпадают?

5.Как характеризируется потенциально достижимая точность оценивания при рассмотрении задачи в рамках байесовского подхода, в чем ее отличие от потенциальной точности?

6 . Запишите алгоритм нахождения оптимальной в средиеквадратическом смысле оценки в линейной гауссовской задаче. Пояс­ ните, как получить этот алгоритм. Какова связь этого алгоритма с алгоритмом МФП и различными вариантами алгоритмов МНК?

7.Опишите идею использования метода сеток при решении зада­ чи синтеза алгоритма в рамках байесовского подхода. Может ли этот алгоритм быть использован при решении линейной за­ дачи?

8 . Поясните, в чем заключается проблема адекватности вырабаты­ ваемой в алгоритме расчетной характеристики точности.

9.Почему вырабатываемая в линейном оптимальном алгоритме расчетная матрица ковариаций адекватна действительному зна­ чению матрицы ковариаций?

10. Поясните методику, используемую при анализе эффективности разрабатываемых субоптимальных алгоритмов.

11.Приведите пример задачи, в которой точность оценивания при использовании нелинейных алгоритмов выше точности, дости­ гаемой с помощью линейных алгоритмов. Поясните причины такого отличия.

^.Проанализируйте основные отличительные особенности байе­ совского и небайесовского подходов.

2.6.Реализация алгоритмов комплексной обработки избыточных измерений

При решении прикладных задач могут быть использованы раз­ личные схемы построения процедур обработки избыточных изме­ рений, реализующие рассмотренные в предыдущих разделах алго­ ритмы оценивания. Обсудим в этом разделе некоторые из таких схем.

2.6.1. Инвариантная схема обработки

При наличии данных от двух и более измерителей нередко ис­ пользуется схема обработки, суть которой заключается в форми­ ровании разностных измерений, не содержащих искомого вектора, и последующем решении задачи оценивания ошибок одного изме­ рителя на фоне ошибок другого измерителя, результаты которой используются для уточнения показаний одного из измерителей (рис. 2 .6 .1 ).

Априорная информация об ошибках измерения

Рис. 2.6.1. Инвариантная схема построения алгоритма комплексной обработки

Проиллюстрируем применение этой схемы и проанализируем свойства получающихся при этом оценок на примере рассмотрен­ ной в разделе 2 . 1 задачи комплексной обработки данных от двух измерителей, представленных в виде (2.1.33). При этом будем по­ лагать, что ошибки измерения v ,, v2 - некоррелированные между собой центрированные векторы с известными матрицами ковариа­ ций Rj > 0 , j - 1,2 .

Сформируем разностные измерения

из которых исключается отыскиваемый вектор JC, и используем их для оценивания ошибок одного измерителя на фоне ошибок друго­ го измерителя. Для определенности будем считать, что в качестве оцениваемого вектора выступает v ,, а в качестве ошибок измере­

ния - вектор v2.

Наличие информации о математических ожиданиях и матрицах ковариаций v ,, v2 позволяет получить для V] оптимальную в среднеквадратическом смысле линейную оценку и соответствую­ щую ей матрицу ковариаций по измерениям Ду, которые, как не­ трудно показать, могут быть определены как:

Оценку искомого вектора х сформируем в виде

X = У\ ~ V, = xX + vV,. -V, = (V + R ? У [(V + л ;1)у, - я;'(у, - у ,)]. (2.6.4)

Очевидно, что ошибка оценки е = х - х = v —v не содержит

в правой части слагаемых, зависящих от оцениваемого вектора, и таким образом обладает свойством инвариантности. Именно это и определило название инвариантная для такой схемы обработки. Соответствующие алгоритмы получили наименование инвари­ антных алгоритмов обработки. Иногда говорят об инвариантном характере оценок. В англоязычной литературе для алгоритмов та­ кого типа используется термин complementary filter. Матрица ко­ вариаций для полученной таким образом ошибки оценки х будет совпадать с матрицей (2.6.3) для ошибок оценки Vj

Любопытно отметить, что сопоставление полученных выраже­ ний с выражениями (2.2.42), (2.2.43), соответствующими решению рассматриваемой задачи с помощью ОМНК, показывает их полное совпадение. Такое совпадение не случайно. Приведенный выше алгоритм в точности совпадает с алгоритмом ОМНК, в котором вместо исходного составного вектора измерений, включающего у\

и у 2, используется составной вектор Ду, и у 2 (задача 2.6.1). Не­ трудно заметить, что этот вектор может быть сформирован из ис-

V, = {R ; 1 + H TR ; lH Y H TR ; l { y 2 - H y J ,

P Vi = ( v + Н лЯ ^ н У

Вычитая полученное значение оценки ошибки первого измери­

Нетрудно убедиться (задача 2.6.2) в том, что и в этом случае полученная таким образом оценка и соответствующая ей матрица ковариаций будут соответствовать оценкам ОМНК или МФП, если предположить гауссовский характер ошибок измерений.

Важно подчеркнуть, что для построения инвариантной схемы среди используемых измерений можно было бы выделить хотя бы одно измерение типа у = х + v , обеспечивающее непосредственное измерение искомого вектора х .

2.6.2. Неинвариантная схема обработки

Следует обратить внимание на тот факт, что описанная в 2.6.1 инвариантная схема обеспечивает нахождение оптимальных в среднеквадратическом смысле байесовских оценок по разностным измерениям Ду лишь для ошибок измерений, а не для искомых параметров. Для получения оптимальной байесовской оценки ис­ комого вектора х требуется вводить предположение о его случай­ ном характере. Поскольку ошибка оптимальной байесовской оценки х —х(у) = ( Е - КН)(х - x ) +Kv зависит не только от ошибок измерения, но и от самого оцениваемого параметра, алго­ ритм, с помощью которого отыскивается эта оценка, называют иногда неинвариантным алгоритмом. Соответствующая этому алгоритму блок-схема приведена на рис. 2.6.2. Здесь в отличие от предыдущего случая оба измерения равноправно используются в алгоритме, в котором привлекается априорная информация, как об ошибках измерения, так и о самом оцениваемом векторе.

Заметим, что инвариантная схема также может быть представ­ лена в виде блок-схемы, в которой каждое измерение используется равноправно, если под алгоритмом понимать часть, выделенную пунктиром (см. рис. 2 .6 .1 ).

При получении оптимальной оценки по всему имеющемуся на­ бору измерений могут быть использованы две схемы обработки. Одна из них получила название централизованной схемы обра­ ботки (рис. 2.6.3). Такое название объясняется тем, что выполне­ ние всех вычислений предполагается осуществлять централизо­ ванно в одном алгоритме.

Рис. 2.6.3. Централизованная схема вычисления оптимальной оценки

Вместе с тем при вычислении искомой оценки может быть ис­ пользована и другая схема. Для ее получения справедливо нера­ венство

означающее, что априорной информацией о векторе х можно пре­ небречь. Введем частные оптимальные оценки