книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

В блоке 1 осуществляется моделирование используемых в (2.5.33), (2.5.34) реализаций оцениваемого параметра и вектора измерений. Это делается на основании имеющейся априорной ин­ формации (блок 2) в виде совместной ф.п.р.в. / (х, v) и соотноше­

ний (2.1.21) с помощью соответствующего датчика случайных чи­

у{ - s(xy ) + v/ , / = 1 .in , j =1 .L. Далее каждый набор измерений

Ytl , y' = l.I, поступает в блоки 3 и 4, соответствующие субопти­

мальному и оптимальному алгоритмам. В этих блоках отыскива­ ются оценки (Yj:) и диагональные элементы расчетных матриц

ковариаций P^(YJ ). С использованием оценок вычисляются их

m

ошибки £^(Yj) —xJ —x^(Yj) , которые затем совместно с

P^(YJ ) поступают в блоки 5 и б для проведения осреднения со­ гласно соотношениям (2.5.33), (2.5.34). В результате на выходе

получаем Gsub[/c,A:], Gopl[/c,/c] и Р^\к,к\, \\ =opt,sub Иногда при

анализе эффективности алгоритмов используют нижнюю границу точности, которая вычисляется в блоке 7 , так как это описано в следующем подразделе. В зависимости от вида исследуемого ал­ горитма некоторые блоки могут быть не задействованы. Так, к примеру, для линейного оптимального и линеаризованного алго­ ритмов достаточно один раз вычислить расчетную дисперсию, по­ скольку их характеристика точности от измерений не зависит, т. е. рпш (уу ) _ рлин (;м) , = что является следствием

линейной зависимости этих оценок от измерений.

♦ П р и м е р 2.5.3. Проведем согласно описанной методике сопос­ тавление рассмотренных ранее различных алгоритмов применительно к

задаче оценивания частоты по измерениям: ^ =sin(jc^) + v/ , z=l . m,

при тех же предположениях о свойствах ошибок измерения и неизвест­ ной частоты ш = х , что и в примере 2.5.2.

Конкретизацию алгоритмов калмановского типа легко провести, если учесть, что s(x) = (sin(AT1),...,sin(xf„,))T, R = r 2Em, Рх =а^ . При полу­

чении линеаризованного и итерационного алгоритмов в соотношениях (2.5.24), (2.5.25) следует учесть, что

(я *1)1 = [cos(**V1),...,c o s (*% I )]r

т

г2 + aj) jT co s2 *^- /=1

При этом в линеаризованном алгоритме |i = лин необходимо принять

хЛ1Ш= х , а в итерационном - для каждой у-й итерации Xм = х ^ , у = 0,1,2,... £(0) = х Величины (2.4.23)-(2.4.25), необходимые для реа­

лизации линейного оптимального алгоритма, с учетом равномерного ха­ рактера распределения х могут быть вычислены в этом примере анали­ тически. В частности, для компонент у будем иметь

жения и для остальных величин.

При проведении расчетов реализации xJ е [-vmin,-cmax] моделирова­ лись в соответствии с равномерным законом распределения, а ошибки измерения, как гауссовские, т. е. vj e N ( v t ;0, г 2). Компоненты вектора

вычислялись для всех алгоритмов.

В табл. 2.5.1 и на рис. 2.5.5 приведены результаты вычисления безус­ ловных среднеквадратических действительных и расчетных ошибок оце­

с шагом 0,2 с ( пг = 25 ), /-1 рад/с. Число итераций у в итерационном ал­

горитме равнялось 4. Величина L, определяющая число моделируемых реализаций, принималась равной 1000-3000.

Значения безусловных средиеквадратических действительных

(числитель) и расчетных и G,u ( знаменатель) ошибок оценивания в задаче определения частоты

Значения а "к'(/и) = o 0pt (ш), вычисляемые с помощью метода МонтеКарло, рассматривались как величины, характеризующие потенциальную

точность оценивания. Заметим, что результаты расчетов а Л1К(т) показа­

ли также ее совпадение с с лк(т), т. е. <з‘ик(т) = о'"к(т), что служит до­

полнительным обоснованием возможности использования <г’/А(м) в ка­ честве характеристики потенциальной точности.

Расчеты проводились при разных значениях а0: 0,1, 0,3, 1,0 рад/с. Из представленных результатов следует, что в рассматриваемом примере для принятых исходных данных все алгоритмы калмановского типа эф­ фективно работают при <т0 < 0,1 рад/с. При этом вырабатываемая в них расчетная характеристика точности практически адекватна действитель­ ным значениям среднеквадратических ошибок, т. е. <ту(ш) = стм(/«) =

с7opl (м), ц = лин, iter, lin . При увеличении уровня априорной неопределен­

ности до с 0 = 0,3 рад/с эффективность линеаризованного алгоритма за­

метно снижается, в то время как итерационный алгоритм все еще обеспе­ чивает точность, близкую к потенциальной. При дальнейшем увеличении

оказываются неработоспособными - соответствующие им действитель­ ные среднеквадратические ошибки при увеличении числа измерений увеличиваются. При этом расчетные значения среднеквадратических ошибок уменьшаются почти на порядок и отличаются от действительных (рис. 2.5.5, а). В таких случаях говорят, что алгоритмы расходятся.

Факт неудовлетворительной работы линеаризованного и итерацион­

ного алгоритмов при а 0 > (ОД - 0,3) рад/с является следствием многоэкс­

тремального характера апостериорной плотности. По сути, эти алгорит­ мы направлены на поиск экстремума апостериорной плотности. При этом найденный экстремум может быть локальным, что и приводит в резуль­ тате к большим ошибкам.

Что касается линейного оптимального алгоритма, то и он при увели­ чении уровня априорной неопределенности а0 > (0,1 - 0,3) рад/с заметно

проигрывает но точности оптимальному алгоритму (рис. 2.5.4, б). Более того, при а0 = 0,3 рад/с он проигрывает по точности и итерационному

алгоритму. Однако в нем в отличие от линеаризованного и итерационно­

го алгоритмов, как и следовало ожидать, a lin (т) - c lin(/и) вне зависимо­

сти от величины а 0 , т. е. расчетная и действительная среднеквадратиче­

ские ошибки между собой согласованы.

Рис. 2.5.5. Действительные и расчетные среднеквадратические ошибки оценок для линеаризованного и итерационного алгоритмов (а) и оптимального

и линейного оптимального алгоритмов (б)

Увеличение ошибки оценивания при использовании линейного опти­ мального алгоритма по сравнению с нелинейным обусловлено, вопервых, заменой нелинейной функции линейной, а во-вторых - появле­ нием дополнительной ошибки измерения, обусловленной такой заменой. На рис. 2.5.6 представлены примеры графиков нелинейной функции sin (7 л;) и соответствующих линейных аппроксимаций у(Т) + Н(Т)(х-х) для двух различных моментов времени проведения измерения Т. Здесь же указаны среднеквадратические значения дополнительной ошибки изме-

Рис. 2.5.6. Нелинейная функция (7) и ее линейное представление (2) при разных значениях Т

Из этих графиков следует, что возможны случаи, при которых значе­ ние Н(Т) становится равным нулю, что в принципе делает невозможным уточнение при использовании такого рода линейных измерений.

П р и м е р 2.5.4. Проанализируем эффективности использования ал­ горитмов калмановского типа применительно к навигационной задаче определения координат по точечным ориентирам. Постановка и различ­ ные варианты решения этой задачи уже обсуждались в подразделах 2.1.5-2.1.8, 2.2.5, 2.2.6 и 2.3.4. Ранее при ее формулировке при введении измерений (2.1.16) предполагалось наличие в общем случае m ориенти­ ров, причем считалось, что до каждого из них проводится по одному из­ мерению. Здесь будем полагать, что ориентиров всего два, а величина m

определяет число пар измерений до этих ориентиров. При сделанных предположениях для измерений удобно ввести следующие обозначения:

Уис= Sik( * ) + Vik= Ах\ ~Х\] +{2~xl f + Vik.

где i = l.m, x f , x f - координаты точечных ориентиров; к = 1,2, х 15х 2 -

неизвестные координаты объекта.

Будем полагать, что х - центрированный гауссовский вектор с мат­

расчетов предполагалось, что объект находится в окрестности начала координат, а координаты точечных ориентиров определены как:

xl = [p50]г , л*2 = [о, p]r , при этом величина p принималось равной 3000 м, а г = 30м (0,01 р).

Конкретизацию линеаризованного и итерационного алгоритмов легко провести, если учесть выражения (2.1.28)-(2.1.31) и соотношения из примера 2.2.9. Число итераций в итерационном алгоритме равнялось 5-10. Величины (2.4.23)-(2.4.25), необходимые для реализации линейно­ го оптимального алгоритма, вычислялись с использованием метода Мон­ те-Карло с числом реализаций L UK= 3000. Оптимальная оценка (2.5.2)

также отыскивалась методом Монте-Карло, при этом LytK=106 Число реализаций, используемых для осреднения при получении диагональных элементов безусловных расчетных и действительных матриц ковариаций, равно 500-100. При сопоставлении алгоритмов вычислялись диагональ­ ные элементы расчетных и действительных матриц ковариаций в соот­ ветствии с описанной выше процедурой. При синтезе алгоритма в той или иной задаче всегда оказывается полезным анализировать возможное поведение апостериорной плотности. В рассматриваемом случае эта плотность конкретизируется к виду

д х / ут} = е*р{Л*Л,)Я-У)} ; | ехр{/(х, Y„, )f(x)}dx

На рис. 2.5.7 приведены графики апостериорной плотности для раз­ ных уровней априорной неопределенности 500 и 1400 м в предположе­ нии, что проведено одно измерение. Из представленных рисунков следу­ ет, что в зависимости от уровня априорной неопределенности задача оп­ ределения координат по точечным ориентирам может быть отнесена либо

к задачам с несущественными нелинейностями (при а 0 = 500 м апостери­

орная плотность одноэкстремальна), либо к задачам с существенными

нелинейностями (при с 0 =14000 м апостериорная плотность имеет два

экстремума).

На рис. 2.5.8 и в табл. 2.5.2 приведены результаты расчета безуслов­

ных среднеквадратических действительных а м(л;) и расчетных 5*1(ш)

ошибок оценивания, соответствующих оптимальному, линейному опти­ мальному, линеаризованному и итерационному алгоритмам, при различ­ ных значениях числа измерений для одной из компонент оцениваемого

компоненты они имеют аналогичный вид.

Рис. 2.5.8. Действительные и расчетные срсднеквадратические ошибки оценок при сг0 = 500 м для линеаризованного и итерационного алгоритмов (я)

и для оптимального и линейного оптимального алгоритмов (б)

♦

Результаты, полученные в рассмотренных примерах, позволяют сделать следующие выводы.

Алгоритмы калмановского типа, основанные на использовании того или иного линейного представления нелинейной функции могут быть эффективными лишь при решении задач с несущест­ венными нелинейностями, т. е. в тех случаях, когда апостериорная плотность одноэкстремальна. При этом наибольшую точность, близкую к потенциальной, обеспечивает, как правило, итерацион­ ный алгоритм. Его недостаток заключается в том, что вырабаты­ ваемая в таком алгоритме расчетная характеристика точности не всегда совпадет с действительной точностью. От этого недостатка свободен линейный оптимальный алгоритм, который, однако, по точности может уступать итерационному алгоритму. Отмеченные особенности создают предпосылки построения эффективных алго­ ритмов, основанных на комбинированном использовании линей­ ного оптимального и итерационного алгоритмов. Обсуждение возможных вариантов построения таких алгоритмов и анализ их эффективности выходит за рамки настоящей книга.

В задачах с существенными нелинейностями, т. е. при много­ экстремальном характере апостериорной плотности, порожденным

сложным нелинейным характером функции s(x) , алгоритмы калмановского типа значительно проигрывают в точности оптималь­ ному алгоритму, что вполне логично, поскольку эти алгоритмы основаны на замене этой нелинейной функции с помощью того или иного ее линейного представления.

При сопоставлении алгоритмов, как уже отмечалось, важным является объем вычислений, необходимый при их реализации. Цель этой книги - ознакомить с основными подходами к построе­ нию алгоритмов оценивания, и подробное обсуждение вопросов вычислительной сложности не предполагается. Тем не менее сле­ дует заметить, что с точки зрения объема вычислений при реали­ зации алгоритмов в порядке его возрастания можно следующим образом расставить алгоритмы: линейный, итерационный, опти­ мальный линейный, метод Монте-Карло, метод сеток.

В заключение еще раз отметим, что принципиальным моментом при решении задач оценивания в рамках байесовского подхода является тот факт, что при разработке алгоритмов появляется воз­ можность указать и определить «систему отсчета» для анализа их эффективности, в качестве которой выступает безусловная матри­ ца ковариаций, соответствующая оптимальной оценке и характе­ ризующая потенциальную точность. Это обстоятельство в полной мере проявилось и при рассмотрении приведенных выше приме­ ров.

2.5.7. Приближенные методы анализа потенциальной точности при решении нелинейных задач

Для сопоставления алгоритмов и решения задачи анализа по­ тенциальной точности требуется умение вычислять безусловную матрицу ковариаций (2.5.5), соответствующую оптимальной оцен­ ке. Непосредственное вычисление этой матрицы на основе метода статистических испытаний с использованием соотношения (2 .5 .3 3 ) представляет собой достаточно трудоемкую операцию, требую­ щую большого объема вычислений. В связи с этим в нелинейной задаче весьма важной оказывается возможность проводить при­ ближенный анализ точности с использованием более простых процедур. Одна из них основана на вычислении матрицы, характе­ ризующей нижнюю границу точности. Уместно заметить, что при