книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания
.pdfгауссовском характере х и v эта матрица может быть получена достаточно просто в предположении, что функция .у(л) обеспечи вает выполнение условий регулярности. Действительно, считая для простоты JC и v независимыми, f(x) = N(x;x,Px) , а / (v) = N(x;0, R), можем записать
1п Л,у (х,у) = С ~ Г о - s(x))тR (у - s(х)) + (х - х)т(рх) \ х - х ) j ,
где С - постоянная величина, не зависящая от х и у . Отсюда следует, что
din Л,у (*.>') |
= - [ V У (* - X) - |
(у - six)) |
дх |
|
|
Подставив последнее выражение в соотношение (2.5.10) и взяв математическое ожидание сначала по плотности /( у / л ), а затем
по плотности / х(х), получим
1Б (P xr l + J |
dsTjx)^ |
ds(x) |
f(x)dx. |
dx |
dxr |
Стоящий в правой части интеграл может быть вычислен с по мощью метода Монте-Карло. Таким образом, (2.5.9) конкретизи руется как
G = М , А ( Х ~ *(у))(х - *(;0)т} ^ (iBY =
|
|
-1 |
|
(2.5.35) |
</>')-'+1 dsT(x) д _, ds(x) f(x)dx |
|
|
||
Ч |
dx |
dxT |
г |
|
|
|
|
||
Обращаем внимание на тот факт, что выражение для I |
может |
|||
быть представлено в виде |
|
|
|
|
|
/ £ = (Р т) - 1+ |/(х )/(х )Л , |
|
|
|
где /(х) - матрица, с помощью |
которой вычисляется матрица |
|||
нижней границы точности в рамках небайесовской постановки этой же задачи.
При нахождении матрицы нижней границы удобным оказыва ется прием, при котором ее отыскание сводится к вычислению расчетной матрицы ковариаций для некоторой эквивалентной с точки зрения нижней границы точности линейной гауссовской за дачи по измерениям вида [84]
y =H 3x + v3 |
|
(2.5.36) |
|
в которых матрица Н 3 и матрица ковариаций R3 центрированно |
|||
го некоррелированного с х ( / (а) = N(x;х,Рх)) |
вектора ошибок |
||
у3 выбираются так, чтобы выполнялось равенство |
|||
( # э )т (д э )_1# э = J |
Жт(х) |
1 ds(x) |
m d x . |
|
dx |
dxT |
|
В этом случае задача нахождения нижней границы сводится к
отысканию Н 3 и R3, удовлетворяющих данному равенству, и по следующему вычислению расчетной матрицы ковариаций ошибок
оценивания |
х |
по |
измерениям |
(2.5.36), |
поскольку |
(/*)"' = ( V T |
J + (я 3)т(/гэ)г1я э^ 1 |
|
|
||
Для приближенного вычисления нижней границы точности иногда используют матрицу
(/*)-' = jVAT‘ + [нэ)н3j
соответствующую матрице ковариаций ошибок оценивания по ли нейным измерениям вида (2.5.36), в которых
где Rl/2 такая, что (Л,/2)т R112 - R . Можно показать, что таким
образом найденная матрица ( /5 ) представляет собой оценку сверху для матрицы, характеризующей нижнюю границу точности для х, т. е. (/£ )_1 > ( /я )-1 [80].
Поскольку я э = f ^ |
f ( x ) d x |
= hlbImxl. где h,b = J(a2 +6abo20 + % 2о40) . |
|||||
|
J |
dxT |
|
|
|
|
|
то для |
оценки |
нижней |
границы, |
определяемой |
согласно |
||
(Z*)'1= |
+ - ^ { н 3^Н эj |
>можем записать |
|
|
|||
|
|
Ô » = ( ? • ) " = - 5 |
V |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
° Ж ) 2т + г2 |
|
|
|
На рис. 2.5.9 приведены графики изменения величин a lb(m), â lb(m), |
|||||||
характеризующих |
нижнюю |
границу |
точности, |
и |
значение |
||
аор1 (m) = ^Gopl(т) , |
характеризующее действительную |
потенциальную |
|||||
точность |
при исходных |
данных, соответствующих примеру |
2.4.3 при |
||||
п 0 = 0,5 ■ |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.5.9. Графики зависимости значений, характеризующих нижнюю границу точности (/), ее оценку (2) и с.к.о. оптимальной оценки (потенциальную точность) (3) от числа измерений
Из сопоставления этих графиков видно, |
что значения |
a/b(m)=-J(/s j~,(m) и ô ,b(m) = ( /5) ' в данном случае |
могут быть ис |
пользованы для приближенной оценки потенциальной точности. ♦
При обсуждении возможности применения для приближенной оценки потенциальной точности матрицы, характеризующей ее нижнюю границу, необходимо заметить следующее. Использова ние нижней границы вместо безусловной матрицы ковариаций, соответствующей оптимальному алгоритму, без сомнения, допус-
тимо в тех случаях, когда величина, соответствующая тому или
иному субоптимальному алгоритму, osub(m) = ^Gsub(/и) и значе
ние Glb(m) оказываются близки между собой. Ясно, что в этом
случае необходимость вычисления o0pt (m) = ^G opt (т) отпадает.
Однако, несмотря на заманчивость использования нижней грани цы точности в качестве характеристики потенциальной точности, следует помнить, что матрица, вычисляемая с помощью неравен ства Рао-Крамера, все же характеризует предельно достижимую точность, которая может отличаться от матрицы, характеризую щей потенциальную точность, достигаемую с помощью оптималь ного алгоритма. Эти две характеристики, как правило, близки в задачах с несущественными нелинейностями и отличаются в зада чах с существенными нелинейностями.
♦ П р и м е р 2.5.7. Будем полагать, что решается задача определе ния координат по точечным ориентирам так, как она сформулирована в примере 2.5.4.
Рассчитаем для этой задачи матрицу, характеризующую нижнюю гра ницу точности. Принимая во внимание результаты решения задачи 2.3.4, введенные в примере 2.5.4 обозначения и соотношение
1Б = (Р Л)-' + J/(x)/(.r)<fc, нетрудно убедиться в том, что эта матрица
будет иметь следующий вид:
|
( |
|
2 |
' ~ 1 |
|
И |
' ‘ = - L £ 2 + - L f |
£ Mk(x)f(x)cix |
|||
|
ГГГ |
Ж1‘" * . . |
|
||
|
|
тг |
к = 1 |
|
|
где М к(х) определяются как: М к(х)= |
sin 2 Пк(.т) |
0.5sin 2Пк (х) |
|||
0.5sin 2Лк(л) |
cos2 Пк(л) |
||||
|
|
|
|||
На рис. 2.5.10, а |
представлены значения а'1ег(т), |
соответствующие |
|||
итерационному алгоритму, для первой компоненты оцениваемого векто
ра Х| и соответствующая ему величина a lh(ш ), характеризующая ниж
нюю границу для случая, когда ст0=300 м. Очевидно, что эти величины
практически совпадают между собой, т. е. в этих условиях итерационный алгоритм обеспечивает получение эффективной в байесовском смысле
оценки. На рис. 2.5.10, б представлены значения о 0р1(т) и ст/6(/и) для
а 0=1400 м.
Рис. 2.5.10. Нижняя граница и действительные среднеквадратическне ошибки для итерационного (я) и для оптимального (б) алгоритмов
Как нетрудно заметить, при <т0= 1400 м значения нижней границы суще
ственно отличаются от реально достижимой потенциальной точности.
♦
2.5.8. Повышение точности оценивания при использовании нелинейных алгоритмов
Поскольку при отыскании оптимальной в среднеквадратиче ском смысле линейной оценки минимизация критерия (2.4.1) осу ществляется в ограниченном классе функций, ясно, что такая оценка в общем случае будет всегда по точности уступать опти мальной байесовской оценке. Исключение, как уже отмечалось, составляет гауссовская линейная задача, поскольку, как следует из утверждения, представленного в подразделе 2.5.3, для гауссовской линейной задачи эти оценки совпадают. Когда решается нелиней ная или линейная задачи, в которых оцениваемый вектор и ошибки измерения негауссовские, приведенное утверждение несправедли во. Иными словами, в общем случае точность оценивания, дос тигаемая при использовании нелинейного алгоритма, может быть повышена по сравнению с точностью линейного опти мального алгоритма. Этот факт применительно к задачам с нели нейными функциями уже проиллюстрирован в предыдущих под разделах. Однако оказывается, что и при решении линейных задач с негауссовским характером оцениваемого вектора за счет исполь зования нелинейных алгоритмов также можно повысить точность
оценивания. Покажем это весьма важное для практических прило жений утверждение на простом примере задачи оценивания ска лярной случайной величины х, равномерно распределенной в ин
тервале [о,ft], по измерениям у = х + v(., / = 1 т , в которых
V,-, i = 1 .т - независимые между собой и от х случайные величи ны, равномерно распределенные в интервале [0,а].
Для оптимальной линейной оценки и соответствующей ей дис персии справедливы следующие соотношения:
2 2
рНп ар'
Подставив в них значения математических ожиданий х = Ы 2,
(2.5.38)
12(а2 +Ь2т)
Важно напомнить, что эти соотношения определяют оптималь ную линейную оценку и соответствующую ей дисперсию вне за висимости от того, каков вид распределения для оцениваемой ве
личины Л' и ошибок измерения v,-,/ = l.m Существенно лишь, чтобы они имели заданные значения математических ожиданий и дисперсий, т. е. v =a l 2 , х = Ь/2 и ад = b2 /12, г 2 =а2 /1 2 . При гауссовском же их характере эти соотношения определят значения оптимальных байесовских оценок (см. задачу 2.5.2).
Получим теперь оптимальную байесовскую оценку и сопоста вим соответствующую ей дисперсию с дисперсией (2.5.34) для оп тимального линейного алгоритма.
Запишем сначала выражения для f Xiy ( x , y ) = f ( y / x ) f x ( x ) и
/г O’) • С учетом специфики рассматриваемой задачи эти функции можно представить в виде
для оптимальной байесовской оценки можем записать
|
1 |
|
|
( , |
С2 ^ |
|
|
а д = — |
| |
1 |
X ■ |
_ ( С 2 + С | ) |
|
||
Г |
x d x = — |
|
|
|
|
||
Г |
J |
Г —I |
2 |
" |
2 |
’ |
|
С2 |
—с |
с, |
" с . |
к |
С \ > |
|
|
в котором [cj,с2] - |
отрезок, представляющий собой пересечение |
||||||
априорной области [0,6] и области П , так что |
|
|
|||||
С] =тах{0,й?|}; с2 =min{6, d2}.
Важно подчеркнуть при этом, что оценка (2.5.41) нелинейным образом зависит от измерений. Выражение (2.5.41) есть следствие того факта, что апостериорная плотность в рассматриваемой зада че соответствует равномерному распределению на отрезке [с2,с{ ]
С учетом сказанного нетрудно показать, что
Р{У) = j О - x(y)Yf(x /y )dx = ^ |
^ • |
(2.5.42) |
о |
|
|
В частности, если d\ =>'max ~о и d2 =>’min |
не выходят за пре |
|
делы априорной области [0,6], то для оптимальной оценки и ус ловной дисперсии будут справедливы следующие соотношения:
л-(у) = 'Vini" +у™' |
(2.5.43) |
2 |
2 |
Р(У) =} (x-x(y))2f(x/y)dx = (У«*+а~У™У .
Из выражения (2.5.43) фактически следует, что оптимальная оценка представляет собой среднее арифметическое максимально го и минимального значений измерений, подсчитанное с учетом известного математического ожидания для ошибок измерений.
В целях сопоставления точности с помощью метода статисти ческих испытаний согласно методике, описанной в подразделе 2.5.6, были рассчитаны значения среднеквадратических ошибок
<зор1(ш) и о1ш(т), характеризующие точность оптимальных не
линейной и линейной оценок. Заметим, что здесь, как и при ис пользовании небайесовского подхода, не удается воспользоваться неравенством Рао-Крамера для вычисления нижней границы точ ности, поскольку функция fxlV(x,y) не удовлетворяет условиям
регулярности в силу ее недифференцируемости.