книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

Все постоянные при этом собираются в один множитель, который мы, следуя традиции, обозначим через 1/cft:

Если теперь мы просто запомним, что все наши уравнения должны выписываться для величин, измеряемых в новых единицах, то все штрихи можно опустить. Тогда уравнения для потока примут вид

И

f l - Vx v

с условиями

v= Q

ДЛЯ

и

Vx= 1 , vy = vz= Q

для

Хг+у°+2*^> 1.

Что все это значит? Если, например, мы решили задачу для потока с одной скоростью Vi и некоторого цилиндра диаметром

Dj, а затем интересуемся обтеканием цилиндра другого диаметра D j другой жидкостью, то поток будет одним и тем же при такой скорости Vt , которая отвечает тому же самому числу Рейнольд­

са, т. е. когда

В любых случаях, когда числа Рейнольдса одинаковы, по­ ток при выборе надлежащего масштаба х', у', г' и f будет «вы­

глядеть» одинаково. Это очень важное утверждение, ибо оно оз­ начает, что мы можем определить поведение потока воздуха при обтекании крыла самолета, не строя самого самолета и не испы­ тывая его. Вместо этого мы можем сделать модель и провести из­ мерения, используя скорость, которая дает то же самое число Рейнольдса. Именно этот принцип позволяет нам применять ре­ зультаты измерений над маленькой моделью самолета в аэродина­ мической трубе или результаты, полученные с моделью корабля, к настоящим объектам. Напомню, однако, что это можно делать только при условии, что сжимаемостью жидкости можно прене­ бречь. В противном случае войдет новая величина — скорость звука. При этом различные модели будут действительно соответ­ ствовать друг другу только тогда, когда отношение V к скорости

звука тоже приблизительно одинаково. Отношение скорости V к скорости звука называется числом Маха. Таким образом, для

261

скоростей, близких к скорости звука или больших, поток в двух задачах будет выглядеть одинаково, если и число Маха и число Рейнольдса в обеих ситуациях одинаковы.

§ 4. Обтекание кругового цилиндра

Вернемся теперь обратно к задаче об обтекании цилиндра мед­ ленным (почти несжимаемым) потоком. Я дам вам качественное описание потока реальной жидкости. О таком потоке нам необ­ ходимо знать множество вещей. Например, какая увлекающая сила действует на цилиндр? Сила, увлекающая цилиндр, пока­ зана на фиг. 41.4 как функция величины 31, которая пропорцио­ нальна скорости V, если все остальное фиксировано. Фактически на рисунке отложен коэффициент увлечения Са— безразмерное число, равное отношению силы к 1/2рУЮ1 (D — диаметр, I —

длина цилиндра, а р — плотность жидкости):

Коэффициент увлечения изменяется довольно сложным обра­ зом, как бы намекая нам на то, что в потоке происходит нечто интересное и сложное. Свойства потока полезно описывать для различных областей изменения числа Рейнольдса. Прежде всего, когда число Рейнольдса очень мало, поток вполне стационарен, скорость в любой точке потока постоянна и он плавно обтекает

262

Фиг. 41. 5. Вязкий поток вблизи цилиндра (малая вязкость).

цилиндр. Однако распределение линий потока не похоже на их распределение в потенциальном потоке. Они описывают решение несколько другого уравнения. Когда скорость очень мала или, что эквивалентно, вязкость очень велика, так что вещество по своей консистенции напоминает мед, можно отбросить инерцион­ ные члены и описать поток уравнением

V *Q =0.

Эго уравнение впервые было решено Стоксом. Он также решил задачу для сферы. Когда маленькая сфера движется при малых числах Рейнольдса, то к ней приложена сила, равная 6 лт|aV, где а — радиус сферы, а V — ее скорость.

Это очень полезная формула: она говорит нам о скорости, с которой мельчайшие частички, которые приближенно можно считать шариками, движутся в жидкости под действием данной силы, как, например, в центрифуге, или при осаждении, или, наконец, в процессе диффузии. В области малых чисел Рейнольд­ са, т. е. при oR<l, линии v вокруг цилиндра имеют такой вид,

как на фиг. 41.5.

Если теперь мы увеличим скорость потока, так что число Рейнольдса станет несколько больше единицы, то увидим, что поток изменится. Как показано на фиг. 41.6, б, за сферой воз­

никнут вихри. До сих пор неясно, существовали ли вихри и при малых числах Рейнольдса или же они возникли неожиданно при некотором определенном числе? Обычно считали, что циркуля­ ция нарастает постепенно. Однако.теперь думают, что скорее она проявляется неожиданно и возрастает с увеличением сЯ. Во всяком случае, поток в районе от «R=10 до cR=30 меняет свой характер. За цилиндром образуется пара вихрей.

Когда число Рейнольдса проходит через значения в районе 40, поток снова меняется. Характер движения претерпевает неожи­ данное и резкое изменение. Один из вихрей за цилиндром ста­ новится настолько длинным, что он отрывается и плывет вниз по течению вместе с жидкостью. При этом жидкость за цилинд­ ром снова закручивается и возникает новый вихрь. Эти вихри поочередно отслаиваются то с одной, то с другой стороны, так что в какой-то момент поток выглядит приблизительно так, как

263

Фиг. 41.6. Поток, обтекающий цилиндр, при различны» числах Рейнольдса.

показано на фиг. 41.6, в. Такой поток вихрей называется вихре­

вой цепочкой Кармана. Она всегда появляется для чисел Рей­ нольдса сЯ>40. Фотография такого потока показана на фиг. 41.7.

Разница в режиме между двумя потоками, изображенными на фиг. 41.6, а, б или в, очень велика. На фиг. 41.6, а и б скорость

постоянна, тогда как на фиг. 41,6 а скорость в любой точке изме­ няется со временем. Выше 5i= 40 стационарное решение отсут­ ствует; граница перехода отмечена на фиг. 41.4 пунктирной ли­

нией. Для таких более высоких чисел поток изменяется со вре­ менем некоторым регулярным периодическим образом. Создаются

вихри.

264

Кроме того, происходят еще коренные изменения в силе увле­ чения — она, как видно из фиг. 41.4, сильно падает. При таких скоростях увлекающая сила с возрастанием скорости действи­ тельно уменьшается. По-видимому, здесь проявляется некоторое

стремление к периодичности.

А что происходит при еще больших числах Рейнольдса? С дальнейшим увеличением скорости размер области турбулент­ ности снова увеличивается и сила сопротивления возрастает. Последние эксперименты, которые дошли до области 3 1 = 107 или несколько больше, показывают, что в турбулентной области по­ является новая периодичность, быть может, потому, что вся область колеблется вперед и назад в общем движении, а может быть, из-за нового сорта вихрей, которые появляются вместе с не­ регулярным «шумовым» движением. Детали его полностью еще не ясны, и они до сих пор изучаются экспериментально.

§ 5. Предел нулевой вязкости

Мне бы хотелось подчеркнуть, что ни один из описанных нами потоков ни в каком отношении не похож на решение уравнения потенциального потока, о котором говорилось в предыдущей главе. На первый взгляд это очень удивительно. Ведь 31 в конце концов пропорционально 1/ц. Так что предел т^->0 эквивалентен пределу 31-м». И если мы перейдем к пределу больших 31 в (41.23), то избавимся от правой части и получим как раз уравне­ ния из предыдущей главы. Но все же трудно поверить, что сильно турбулентный поток с 31= Ю7 хоть в какой-то степени прибли­ жается к гладкому потоку, вычисленному из уравнений «сухой» воды. Как может случиться, что при 31 =оо поток, описываемый уравнением (41.23), дает решение, полностью отличное от реше­ ния, полученного при TJ= 0 , с которого мы начали? Ответ очень

интересен. Обратите внимание, что в правой части (41.23) стоит произведение 1/31 на вторую производную. Это наиболее высокая

степень производной в уравнении: слева только первые произ­ водные. Получается так, что, хотя коэффициент 1/31 становится малым, Q в пространстве вблизи поверхности претерпевает очень быстрые изменения. Эти резкие изменения компенсируют малость коэффициента, и произведение с увеличением 31 не стремится к нулю. Поэтому, хотя коэффициент при V?Q стремится к нулю, ре­

шения не приближаются к предельному случаю.

Вас может удивить: «Что же такое мелкомасштабная турбу­ лентность и как она может поддерживать сама себя? Как за­ вихренность, которая создается где-то на краях цилиндра, при­ водит к такому шуму позади него?». Ответ снова очень интересен. Завихренность имеет тенденцию к самоусилению. Если мы на минуту забудем о диффузии завихренности, которая обусловли­ вает потери, то законы потока говорят (как мы уже видели), что

see

линии вихря переносятся вместе с жидкостью со скоростью v. Представьте себе некоторое количество линий Q, которые возму­ щаются и скручиваются очень сложной картиной скоростей по­ тока v. Прежде простые линии спутаются и сожмутся. Величина завихренности будет возрастать, равно как и ее нерегулярно­ сти (положительные и отрицательные), которые, вообще говоря, тоже будут увеличиваться. Таким образом, завихренность в трех измерениях по мере перемешивания жидкости будет воз­ растать.

Вы можете также спросить: «Когда же в конце концов спра­ ведлива теория потенциального потока?» Прежде всего она удов­ летворительна вне турбулентной области, куда проникновение завихренности из-за диффузии незначительно. Изготовляя спе­ циальные обтекаемые тела, мы стараемся сделать область тур­ булентности как можно меньше. Поток, обтекающий крылья самолета, которые имеют специальную рассчитанную форму,— почти настоящий потенциальный поток.

§ 6. Поток Куеттэ

Можно показать, что сложный и изменчивый характер потока мимо цилиндра не исключение и что такое разнообразие возмож­ ностей получается и в общем случае. В § 1 мы нашли решение для вязкой жидкости между двумя цилиндрами и можем сравнить эти результаты с тем, что получается на самом деле. Если мы возьмем два концентрических цилиндра и заполним пространство между ними маслом с добавленной в него мелкой алюминиевой пудрой, то поток можно легко наблюдать. Если начнем медленно вращать внешний цилиндр, то ничего неожиданного не произой­ дет (фиг. 41.8, а). Можно медленно вращать и внутренний ци­ линдр, все равно ничего потрясающего не будет. А вот если мы начнем очень быстро вращать внутренний цилиндр — случится нечто удивительное. Жидкость разобьется на горизонтальные полосы (фиг. 41.8, б). Если с подобной же скоростью мы будем вращать внешний цилиндр, а внутренний оставим в покое, то никакого похожего эффекта не возникает. Как же получается, что не все равно, какой цилиндр вращать — внутренний или внеш­ ний. Ведь в конце концов вид потока, который мы нашли в § 1, зависел только от (о6—соа. Ответ можно получить, взглянув на сечение цилиндра, изображенного на фиг. 41.9. Когда внутренние слои жидкости движутся быстрее, чем внешние, они стремятся двигаться наружу: центробежная сила становится больше удер­ живающего давления. Но весь слой целиком не может двигаться равномерно, так как на его пути стоят внешние слои. Поэтому они разбиваются на клетки и циркулируют, как показано на фиг. 41.9, б. Это напоминает конвекционные токи в комнате, где

на уровне пола имеется слон теплого воздуха. Когда внутренний

267

Фиг. 41.9. Вот почему поток разбивается на полосы.

же самые эффекты каждый из вас видел в столбике табачного ды­ ма, струящегося от сигареты, когда воздух спокоен. Сначала этот столбик гладкий, затем он как-то скручивается, поток дыма на­ чинает разрушаться, и, наконец, все заканчивается беспорядоч­ ными клубами.

Основное, что вам следует вынести из всего сказанного, за­ ключается в том, что в одном простом наборе уравнений (41.23) скрывается огромное разнообразие поведений. Все это решения одного и того же уравнения при различных значениях «Л. У нас нет причин думать, что в этом уравнении мы потеряли какие-то слагаемые. Единственная трудность заключается в том, что нам сегодня не хватает математических знаний, чтобы проанализи­ ровать уравнение, за исключением очень малых чисел Рейнольдса, т. е. в случае очень вязкой жидкости. Написав уравнение, мы не отняли у потока жидкости его ни чарующей прелести, ни его та­ инственности, ни его поразительности.

Что ожидает нас в более сложных уравнениях, если даже в таком простом уравнении с одним-единственным параметром мы видим такое разнообразие возможностей! Вполне возможно, что основное уравнение, которое описывает завихрение туман­ ностей, или образование вращений, или взрыв звезд и галактик, будет всего-навсего простым уравнением гидродинамики почти чистого водорода. Часто люди в каком-то неоправданном страхе перед физикой говорят, что невозможно написать уравнение жизни. А может быть, и можно. Очень возможно, что на самом деле мы уже располагаем достаточно хорошим приближением, когда пишем уравнение квантовой механики

Яф = — A i t

idt *

Только что мы видели, как явления во всей их сложности легко и поразительно получаются из простых уравнений, которые описывают их. Не подозревая о возможностях простых уравнений, люди часто заключают, что для объяснения всей сложности мира требуется нечто данное от бога, а не просто уравнения.

269