книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7 Физика сплошных сред

Ф и г . 40.14. Распространяющиеся вихревые кольца.

жения мы бы заключили, что

( е д ) Й , = (уВД)£2г.

Но масса будет одной и той же (Mt=M2), а площадь пропорци­

ональна ft4, так что мы снова получим просто уравнение (40.21). Утверждение Гельмгольца, которое эквивалентно формуле (III), есть просто следствие того факта, что в отсутствие вязкости мо­ мент количества движения элемента жидкости измениться не может.

Есть хороший способ продемонстрировать движущийся вихрь с помощью аппаратуры, показанной на фиг. 40.14. Это «барабан» диаметром и длиной около 60 см, состоящий из цилиндрической

коробки с натянутым на ее открытое основание толстым резино­ вым листом. Барабан стоит на боку, а в центре его твердого дна вырезано отверстие диаметром около 8 см. Если резко ударить

по резиновой диафрагме рукой, то из отверстия вылетает коль­ цевой вихрь. Хотя этот вихрь увидеть нельзя, можно смело ут­ верждать, что он существует, так как он гасит пламя свечи, стоя­ щей в 3—6 м от барабана. По запаздыванию этого эффекта вы

можете сказать, что «нечто» распространяется с конечной ско­ ростью. Лучше разглядеть то, что вылетает, можно, предвари­ тельно напустив в барабан дыму. Тогда вы увидите вихри в виде изумительно красивых колец «табачного дыма».

(т. е. в направлении, составляющем с направлением ft правый

винт), можно рассуждать так: скорость циркуляции увеличива­ ется к внутренней поверхности кольца, причем скорость внутри

кольца направлена вперед. Поскольку линии ft переносятся вместе с жидкостью, то и они движутся вперед со скоростью v. (Конечно, большая скорость на внутренней части кольца ответ­ ственна за движение вперед вихревых линий на его внешней части.)

251

В нашем приближении «сухой» воды мы отбра­ сывали последнее слагаемое, так что всеми эффектами вязкости мы пренебрегали. Кроме того, мы иногда делали еще дополнительное приближение, считая жидкость несжимаемой, и при этом получали дополнительное уравнение

V *v = 0.

Это приближение часто оказывается вполне приемлемым, особенно когда скорость потока много меньше скорости звука. Но в реальных жидкостях мы почти никогда не можем прене­ бречь внутренним трением, называемым нами

253

вязкостью; большинство интересных вещей в поведении жидкости так или иначе связано именно с этим свойством. Так, мы узнали, что циркуляция «сухой» воды никогда не изменяется: если ее не было вначале, то она никогда и не появится. Но в то же время мы повседневно сталкиваемся с циркуляцией в жидкости. Так что нашу теорию надо подправить.

Начнем с важного экспериментального факта. Когда мы за­ нимались потоком «сухой» воды, обтекающей какой-то предмет или текущей мимо него, т. е. так называемым «потенциальным потоком», у нас не было причин запретить воде иметь составляю­ щую скорости, тангенциальную к поверхности предмета; только нормальная компонента должна была быть равна нулю. Мы не принимали во внимание возможность возникновения сил сдвига между жидкостью и твердым телом. А вот оказывается, хотя это

далеко и не очевидно, что во всех случаях, где это было проверено экспериментально, скорость жидкости на поверхности твердого тела в точности равна нулю. Вы замечали, конечно, что лопасти

вентилятора собирают на себя тонкий слой пыли, и это несмотря на то, что они вращаются в воздухе. Тот же эффект можно наблю­ дать даже в больших аэродинамических трубах. Почему же пыль не сдувается воздухом? Несмотря на то что лопасти вентилятора быстро вращаются в воздухе, скорость воздуха относительно них, измеренная непосредственно на их поверхности, равна нулю, так что поток воздуха не возмущает даже мельчайших пылинок *. Мы должны модифицировать теорию так, чтобы она согласова­ лась с тем экспериментальным фактом, что во всех обычных жидкостях молекулы, находящиеся рядом с поверхностью, имеют нулевую скорость (относительно поверхности **).

Сначала мы характеризовали жидкость так, что если при­ ложить к ней напряжение сдвига, то, сколь бы мало оно ни было, жидкость «поддается» и течет. В статическом случае никаких напряжений сдвига нет. Однако, когда равновесия еще нет, в

момент, когда вы давите на жидкость, силы сдвига вполне могут быть. Вязкость как раз и описывает эти силы, возникающие в

движущейся жидкости. Чтобы измерить силы сдвига в процессе движения жидкости, рассмотрим такой эксперимент. Предполо­ жим, что имеются две плоские твердые пластины, между которы­ ми находится вода (фиг. 41.1), причем одна из пластин непод­ вижна, тогда как другая движется параллельно ей с малой ско­ ростью о0. Если вы будете измерять силу, требуемую для поддер­ жания движения верхней пластины, то найдете, что она пропор­ циональна площади пластины и отношению vjd, где d — расстоя-

*Большие частицы можно сдуть со стола, а мельчайшие — невозможно. Их верхушки ие «высовываются» в поток.

**Можно представить себе и такой случай, когда это окажется неверным. Теоретически стекло есть тоже «жидкость», однако оно вполне может скользить по стальной поверхности. Так что и такая теория где-то должна «погореть».

254

Площадь А

т•

d

v = 0

Ф и г . 41.1. Увлечение жидкости между двумя параллельными пластинами.

ние между пластинами. Таким образом, напряжение сдвига FtА

пропорционально v0/d:

F _ l)a

А ~ ^ d '

Коэффициент пропорциональности г| называется коэффициентом вязкости.

Если перед нами более сложный случай, то мы всегда можем рассмотреть в воде небольшой плоский прямоугольный объем, грани которого параллельны потоку (фиг. 41.2). Силы в этом объеме определяются выражением

Далее, dvjdy представляет скорость изменения деформаций сдви­

га, определенных нами в гл, 38, так что силы в жидкости пропор­ циональны скорости изменения деформаций сдвига.

В общем случае мы пишем

( 4 1 '3 )

При равномерном вращении жидкости производная dvjdy

равна доу/дх с обратным знаком, a Sxy будет равна нулю, как это и требуется, ибо в равномерно вращающейся жидкости

255

Ф и г . 41.3. Поток жидкости между двумя концентрическими цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями.

альными цилиндрами. Пусть радиус внутреннего цилиндра равен а, его ско­ рость будет va, а радиус

внешнего цилиндра пусть будет Ь, его скорость рав­ на vb(фиг. 41.3). Возникает

вопрос, каково распределе­ ние скоростей между ци­ линдрами? Чтобы ответить на него, начнем с получения

формулы для вязкого сдвига в жидкости на расстоянии г от оси.

Из симметрии задачи можно предположить, что поток всегда тан­ генциален и что его величина зависит только от г; v—v(r). Если

мы понаблюдаем за соринкой в воде, расположенной на расстоя­ нии г от оси, то ее координаты как функции времени будут

(Разумно думать, что величина S должна зависеть от да/дг, когда © не изменяется с г, жидкость находится в состоянии рав­

номерного вращения и напряжения в ней не возникают.) Вычисленное нами напряжение представляет собой танген­

циальный сдвиг, одинаковый повсюду вокруг цилиндра. Мы мо­ жем получить момент сил, действующий на цилиндрической по­ верхности радиусом г, путем умножения напряжения сдвига на

Поскольку движение воды стационарно и угловое ускорение отсутствует, то полный момент, действующий на цилиндрическую поверхность воды между радиусами г и r+dr, должен быть нулем;

256

иначе говоря, момент сил на расстоянии г должен уравновеши­

ваться равным ему и противоположно направленным моментом сил на расстоянии r+dr, так что т не должно зависеть от г. Дру­ гими словами, г* (da>/dr) равно некоторой постоянной, скажем А, и

Постоянные А и В должны определяться из условия, что <о=юв в точке г—а, а ©=о)6 в точке г=Ь. Тогда находим

Таким образом, со как функция г нам известна, а стало быть известно и с/=сor.

Если же нам нужно определить момент сил, то его можно

Он пропорционален относительной угловой скорости двух ци­ линдров. Имеется стандартный прибор для измерения коэффи­ циентов вязкости, который устроен следующим образом: один из цилиндров (скажем, внешний) посажен на ось, но удержива­ ется в неподвижном состоянии пружинным динамометром, кото­ рый измеряет действующий на него момент сил, а внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью. Коэффици­ ент вязкости определяется при этом из формулы (41.11).

Из определения коэффициента вязкости вы видите, что и измеряется в ньютон-сек/м*. Для воды при 20°С

И = 103 ньютон-сек/м*.

Часто удобнее бывает пользоваться удельной вязкостью, которая

равна т), деленной на плотность р. При этом величины удельных вязкостей воды и воздуха сравнимы:

Обычно вязкость очень сильно зависит от температуры. Напри­ мер, для воды непосредственно над точкой замерзания отношение tj/p в 1,8 больше, чем при 20°С.

§ 2. Вязкий поток

Перейдем теперь к общей теории вязкого потока, по крайней мере настолько общей, насколько это и известно человеку. Вы

257

уже понимаете, что компоненты сдвиговых напряжений сдвига

пропорциональны пространственным производным от различных компонент скорости, таких, как dojdg или dvy/dx. Однако в об­ щем случае сжимаемой жидкости в напряжениях есть и другой

член, который зависит от других производных скорости. Общее выражение имеет вид

(41.13)

где Xi— какая-либо из координат х, у или z; vt— какая-либо из прямоугольных составляющих скорости. (Значок Ьц обозначает символ Кронекера, который равен единице при i=j и нулю при tV=/\) Ко всем диагональным элементам Sn тензора напряжений

прибавляется дополнительный член TJ'V • v. Если жидкость несжи­ маема, то V -v = 0 и дополнительного члена не появляется, так что он действительно имеет отношение к внутренним силам при сжатии. Для описания жидкости, точно так же как и для описания однородного упругого тела, требуются две постоянные. Коэф­ фициент т) представляет «обычный» коэффициент вязкости, кото­ рый мы уже учитывали. Он называется также первым коэффициен­ том вязкости, а новый коэффициент ц' называется вторым ко­ эффициентом вязкости.

Теперь нам предстоит найти вязкую силу fB,3k, действующую на единицу объема, после чего мы сможем подставить ее в урав­ нение (41.1) и получить уравнение движения реальной жидкости. Сила, действующая на маленький кубический объем жидкости, представляет собой равнодействующую всех сил, действующих на все шесть граней. Взяв их по две сразу, мы получим разность, которая зависит от производных напряжений, и, следовательно, от вторых производных скоростей. Это приятный результат, ибо он приведет нас опять к векторному уравнению. Компонента вязкой силы, действующей на единицу объема в направлении оси Хи равна

Обычно зависимость коэффициентов вязкости от координат по­ ложения несущественна и ею можно пренебречь. Тогда вязкая сила на единицу объема содержит только вторые производные скорости. Мы видели в гл. 39, что наиболее общей формой вторых производных в векторном уравнении будет сумма лапласиана (V-V) v=V*v и градиента дивергенции (V (V*v)). Выражение (41.14) представляет как раз такую сумму с коэффициентами t] и

(T)-fV). Мы получаем

В случае несжимаемой жидкости v - v = 0 и вязкая сила в единице объема будет просто равна TJV *V . Это все, чем обычно пользу­

258

ются; однако если вам понадобится вычислить поглощение звука в жидкости, то вам потребуется и второй член.

Теперь мы можем закончить вывод уравнения движения ре­ альной жидкости. Подставляя (41.15) в (41.1), получаем

Р { |r + (v , v ) v}= — Vp— р?<р+ т]7 гУ+(т]-|-ц') V(V-v).

Уравнение получилось, конечно, сложное, но ничего не поделаешь, такова природа. Если мы введем ft= V x v , как делали эта раньше, то наше уравнение можно записать в виде

Р+ Й Х У + -i-Vn*| = — Vp— pV<p+T]Vsv - f (Т) + Т]') V(V -v).

(41.16)

Мы снова предполагаем, что единственными объемными силами являются консервативные силы типа сил тяжести. Чтобы понять смысл нового члена, давайте рассмотрим случай несжимаемой жидкости. Если мы возьмем ротор уравнения (41.16), то получим

Это напоминает (40.9) с той только разницей, что в правой части имеется еще одно слагаемое. Когда правая часть была равна нулю, то имелась теорема Гельмгольца о том, что вихри всегда движутся вместе о жидкостью. Теперь же в правой части появилось до­ вольно сложное выражение, из которого, однако, не сразу же следуют физические выводы. Если бы мы пренебрегли членом V X (flx v ), то получили бы диффузионное уравнение. Новый член

означает, что вихри диффундируют в жидкости. При большом градиенте вихри расползаются в соседние области жидкости.

Именно поэтому утолщаются кольца табачного дыма. С этим же связано красивое явление, возникающее при прохождении кольца «чистого вихря (т. е. «бездымного» кольца, созданного о помощью описанной в предыдущей главе аппаратуры) через облако дыма. Когда оно выходит из облака, к нему «прилипает» некоторое количество дыма и мы видим полую оболочку из дыма. Какое-то количество завихренности Q диффундирует в окружа­ ющий дым, продолжая свое движение вперед вместе с вихрем.

§ 3. Число Рейнольдса

Посмотрим теперь, как изменяется течение жидкости из-за нового члена с вязкостью. Рассмотрим несколько подробнее две задачи. Первая — обтекание жидкостью цилиндра; эту задачу мы пытались решить в предыдущей главе, используя теорию не­ вязкой жидкости. Оказывается, что сегодня возможно найти ре­ шение вязких уравнений только для некоторых специальных слу­ чаев. Так что кое-что из того, что я расскажу вам, основано на экспериментальных измерениях, считая, конечно, что экспери­ ментальная модель удовлетворяла уравнению (41.17).

359

Математически задача состоит в следующем: мы хотим найти решение для потока несжимаемой вязкой жидкости вблизи длин* ного цилиндра диаметром D. Поток должен определяться урав­

нением (41.17) и

с условием, что скорость на больших расстояниях равна некото­ рой постоянной V (параллельной оси х), а на поверхности цилинд­

ра равна нулю. Так что

при

D»

Это полностью определяет математическую задачу.

Если вы вглядитесь в эти выражения, то увидите, что в зада­ че есть четыре различных параметра: т), р, D и V. Можно поду­

мать, что нам придется иметь дело с целой серией решений для

разных V, разных D и т. д. Вовсе нет. Все возможные различные решения соответствуют разным значениям одного параметра.

Таково наиболее важное общее заключение, которое мы можем сделать о вязком потоке. А чтобы понять, почему это так, заметь­ те сначала, что вязкость и плотность появляются в виде отно­ шения Ti/p, т- е. удельной вязкости. Это уменьшает число неза­

висимых параметров до трех. Предположим теперь, что все рас­

При этом параметр D из (41.19) исчезает. Точно так же если бу­

дем измерять все скорости в единицах V, т. е. если мы положим o=v'V, то избавимся от V, а и' на больших расстояниях будет

просто равно единице. Поскольку мы фиксировали наши единицы длины и скорости, то единицей времени теперь должно быть D/V, так что мы должны сделать подстановку:

В наших новых переменных производные в уравнении (41.18) тоже изменятся: так, д/дх перейдет в (l/D) {didх') и т. д., так что

уравнение (41.18) превратится в

А наше основное уравнение (41.17) перейдет в

260