6.2.Кодирование циклических кодов (БЧХ-кодов)

6.2.1.Кодирование при помощи порождающего полинома £(дс)

6.2.1.1.Общие принципы кодирования

Полином циклического кода можно представить в виде

к - \

где сукоэффициенты полинома избыточной части r(x) = Y,cj xJ i м/ ~ ко-

7 = 0

/11-1 эффициенты исходного полинома информационной части м(х) = £ uix '

i=0

Полином информационной части и(х) сдвинут в сторону старших разрядов на к символов, что эквивалентно умножению информационного полинома на хк. Представим полином циклического кода в виде

Поскольку полиномы циклических кодов делятся на порождающий полином g(x) без остатка, то выражение можно записать в виде

где g(x) - порождающий полином; q{x) - частное от деления полинома и(х)-хк на порождающий полином g(x); ф:) - остаток от деления полинома и(х) хкна порождающий полином g(x).

Таким образом, для определения избыточной части г(х) полинома циклического систематического кода У{х) необходимо определить остаток от деления полинома и(х)'Хк на порождающий полином g(x). Указанный способ достаточно прост и эффективно алгоритмизируется, поэтому нашел наибольшее применение на практике.

Пример 6.8. Для циклического кода (7,4,3), заданного порождаю­ щим полиномом g(*) = 1 Ф х2 0 х3, и информационного полинома u(x) = 1 рассчитать избыточные символы.

Определим остаток от деления полинома и(х)-хк= 1-хъ = х3 на порож­ дающий полином g(x) = 1 0 JC2 Ф JC3

Jt3 Ф х2 0 1

Рассчитанную избыточную часть представим в виде полинома г(дг) = \Фх2 Полином У(х) может быть представлен в виде У(х) = 1Фх2Фх3 Вектор V может быть представлен в виде V - (1011000).

Кодирование при помощи порождающего полинома g(jc) для кодов с четным минимальным кодовым расстоянием проводится по указанному алгоритму, за исключением одного нюанса. Он связан с видом порождаю­ щего полинома, который, как известно, получается путем умножения по­ рождающего полинома g(x) кода с нечетным минимальным кодовым рас­ стоянием на полином (1Фх). Все остальные вычисления с применением полученного порождающего полинома проводятся аналогично.

Пример 6.9. Для циклического кода (7,3,4), заданного порождаю­ щим полиномом g(x) =1 Ф х2 Ф х3, и информационного полинома и(х) = 1 рассчитать избыточные символы.

Построим порождающий полином для заданного кода

g(x) = ( 1 Фд:2 ® *3)-(1 ©х) = 1 © * 2 © х 3 © д: ф д:3 © д;4 = 1 Ф д:®*2® *4

Определим остаток от деления полинома u(x) xk= I-х4 = х4 на порож­ дающий полином g(jt) = 1 Ф х Ф х2 Ф х4:

х 4 Ф х2 Ф х Ф \

Рассчитанную избыточную часть представим в виде полинома г(х) = = 1 Ф х Ф х2. Полином У(х) может быть представлен как У(х) = 1 Ф х Ф х2 Ф Ф х4. Вектор У может быть представлен в виде ^=(1110100).

Кодирование при помощи порождающего полинома g(x) для укоро­ ченных циклических кодов не имеет принципиальных отличий. Это объяс­ няется тем, что количество избыточных символов для неукороченного и полученного от него укороченного циклического кода, как известно, сов­ падает. Укорочению подвергается информационная часть, что не влияет на алгоритм кодирования.