книги / Температурные напряжения и малоцикловая усталость

Полные деформации, которые включают упругие, температур­ ные и пластические составляющие, равны, например, при плоском напряженном состоянии

(2.7)

Аналогичные выражения можно написать для случая плоской деформации.

Уравнения (2.6) представляют основной закон течения, ассо­ циированный с теорией Мизеса. Эти уравнения можно разрешить относительно напряжений через упругопластические и пластиче­ ские деформации. Например, в случае плоского напряженного состояния

В некоторых приложениях требуется определить отдельно пластическую и упругопластическую (полную) деформации, по­ этому уравнения (2.8), выражающие напряжения в функции обоих видов деформаций, становятся особенно полезными.

2.1.4.Соотношения для упругопластических деформаций. Урав

нения (2.7) удобны для определения компонентов деформации по известным компонентам напряжений. Для этого необходимо только определить о1 по составляющим напряжений, установить е1р по кривой деформирования для известной величины а ( , а затем вычислить 8Г и ее по уравнениям (2.7). Однако если известны лишь компоненты ег, ее и ег упругопластической деформации, то напряжение и компоненты пластической деформации не могут быть определены так просто. Деформации следует сначала раз­ делить на тепловое расширение, упругую и пластическую состав­ ляющие. Для этой цели можно применить метод последовательных приближений, однако метод, приведенный в работе [2.61, исклю­ чает необходимость таких операций.

Для разделения деформации на упругую и пластическую прежде всего введем понятие эквивалентной упругопластической деформации е(. по аналогии с понятием эквивалентной пластиче­

где ег, е0 и ег — теперь полные деформации упругие, темпера­ турные и пластические, которые считаются известными. После вычисления эквивалентной полной деформации можно опреде­ лить пластическую эквивалентную деформацию из легко полу­ чаемого соотношения, приведенного в работе [2.6] [аналогичный вывод использован для получения уравнения (3.35)]:

где а (. — эквивалентное напряжение, соответствующее деформа­ циям еЛ, ее, е2 или пластической деформации е/р. Поскольку

б,тс/м и г

Рнс. 2.1. Кривые для графического определения эквива­ лентной полной и пластической деформаций

зависимость между е,р и определяется кривой деформирования, то для любого заданного значения е{р можно найти сг,.. На рис. 2.1, <5 показаны зависимости между е{ и е(.р для семейства кривых на­ пряжение— деформация, представленного на рис. 2.1, а.

Как только е,- вычислена по уравнению (2.9) и определена по соответствующей кривой деформирования с использованием выражения (2.10), компоненты пластической деформации находят из соотношений

ггр~ 'з ' (2ег — ее— ег)’

ЧР = \ - ^ т ( 2Ч — Ъг — *г)\

Приведенный метод, в котором компоненты пластической де­ формации определяют по известной величине компонентов полной деформации, является очень полезным при вычислении темпера­ турных напряжений последовательными приближениями.

вцентре.

2.2.2.Примеры. Порядок действий показан в табл. 2.1 для диска, изображенного на рис. 2.2. Расчет проведен для распреде­ ления температур, показанного на рис. 2.2, а, и для материала, имеющего кривые деформирования при различных температурах,

Первый расчет в любом случае носит приближенный характер и имеет целью узнать, как при последующих приближениях сле­ дует изменять величину напряжения в центре диска. В первом приближении напряжение примято равным 78,2 кгс/мм2 и соот­ ветствует 1—2% пластической деформации при заданной темпе­ ратуре. В графе 7 приведено значение а0п, которое в центре диска равно аг. В графах 8—13 даны значения напряжений и деформаций в центре диска, которые определены по формулам,

уравнению равновесия в конечно-разностной форме. Это уравне­ ние имеет вид [2.5]

По известным радиальному и кольцевому напряжениям можно определить эквивалентное напряжение и компоненты деформации, приведённые в графах 8—12. Правильность принятой величины аг в точке г = 12,7 мм можно проверить, определив степень сходи­ мости уравнения. Используя соотношение егп = упругая дефор­

с соответствующими величинами вг и е0, приведен в графе 13. Последовательно принимают несколько значений ог до тех пор, пока остаток не становится равным нулю. Такие приближения повторяют на каждом участке. В табл. 2.1 для точек г > 12,7 мм приведены только те значения аг, которые дают остаток, близкий

кнулю.

Вконце расчета определена величина аг на ободе, соответству­ ющая принятому значению аг в центре диска. Показано, что необ­ ходимо приложить радиальное напряжение сжатия 28,9 кгс/мм2

для получения в центре напряжения аг, равного 78 кгс/мма. При соответствующем выборе радиального напряжения на

ободе можно получить любое напряжение в центре. Если факти­ ческое напряжение на ободе равно — 28,9 кгс/мма, то вызываемое в центре напряжение могло быть равно 78,2'Кгс/мм2. Однако если радиальное напряжение на ободе равно некоторой другой вели­ чине, например, нулю в случае вращающегося диска, свободного от лопаток, то в центре диска следует принять другую величину стг и повторить расчет.

При последующем приближении ог изменяют с,учетом резуль­ тата предшествующего расчета. Поскольку увеличение напряже­ ний сжатия на ободе вызывает уменьшение напряжений в центре,

то, когда обод свободен от напряжений, напряжения в центре должны быть выше 78,2 кгс/мм2. Несколько расчетов для раз­ личных значений напряжения в центре позволяют построить за­ висимость результирующего радиального напряжения на ободе от принятого напряжения в центре, пользуясь которой можно достаточно быстро получить действительное значение напряжения

требует рассмотрения натуральных или логарифмических дефор­ маций вместо обычных и учета изменений размеров тела, т. е. величины следует относить к телу в деформированном состоя­ нии, а не с начальными размерами. Если ег„ — среднее удли­ нение, включающее тепловое расширение, то натуральная де­ формация

Для кольцевой деформации выражение аналогично.

Для учета изменений размеров в случае симметричного вра­ щающегося диска точка, располагавшаяся на радиусе гп после

Пример с большими деформациями в диске рассмотрен в ра­ боте [2.9]. На рис. 2.3 дано вычисленное и экспериментальное значение остаточного приращения диаметра диска при наличии температурного перепада. Штриховой линией показано разруша­ ющее число оборотов в минуту по эксперименту. Результаты расчета и эксперимента хорошо согласуются.

2.3.РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

2.3.1.Более общий подход. Решение в конечных разностях, описанное в разделе 2.2, идеально для задач, в которых в началь­ ный момент имеется лишь одна неизвестная, например, в случае круглой плиты с радиальным симметричным распределением температур. Выбрав несколько произвольных, но разумных ве­ личин, в данном случае напряжений в центре, и выразив напря­ жение во всех других местах через принятое значение, определяют точное значение по известным граничным условиям. Однако такой метод неудобен, например, для расчета длинного сплошного ци­ линдра с неравномерным распределением температур даже тогда, когда температура изменяется только по радиусу. В случае,

когда центр используется как начальная точка, неизвестными являются две величины — осевое и кольцевое (равное радиаль­ ному) напряжения. При этом приходится задаваться значениями двух неизвестных (что увеличивает число возможных комбина­ ций), которые затем проверяют по двум граничным условиям. Объем расчета недопустимо возрастает. В этом случае, а также при двухмерном распределении температур лучше воспользоваться методом последовательных приближений. Ниже описано приме­ нение нескольких таких методов в задачах с температурными напряжениями. Решения построены на основе деформационной теории, но методы справедливы и для теории течения.

2.3.2. Основные положения. Основная трудность решения задач пластичности связана главным образом с нелинейностью кривой деформирования. Нелинейные члены, появляющиеся в уравнениях, делают строгое аналитическое решение затрудни­ тельным. Если нелинейные члены рассматривать как известные, то оставшиеся члены составляют систему линейных уравнений, более легко поддающуюся решению. Последовательность дей­ ствий такова:

1.Решают уравнения без учета нелинейных членов. Результат представляет собой упругое решение, которое обычно является исходным.

2.Используя деформации (иногда напряжения) из упругого решения и кривые деформирования, разделяют упругую и пла­ стическую составляющие.

3.Полагая, что пластические деформации определены пра­ вильно, подставляют их значения в исходные уравнения, где

имеются нелинейные члены, превращая, таким образом, все нелинейные члены в числа. Повторно решая полученные линей­ ные уравнения, получают новые значения полных деформаций.

4. Для этих значений деформаций по кривым деформирования разделяют упругую и пластическую деформации.

5. Сравнивают пластические деформации с деформациями, полученными в предыдущем приближении.