книги / Температурные напряжения и малоцикловая усталость

Примем, что ф выражается как сумма произведений функций от х на функции от у, причем функции от у известны, а функции от х неизвестны:

Так кад Р х (у), Р 2 (у), Ра (У)—известные функции от у, то продиф­ ференцировать можно точно. После подстановки уравнений (1.67) и (1.68) в уравнение (1.65) дополнительная энергия будет выра­ жена через различные комбинации ф и <р", и никаких других про­ изводных не будет. Проинтегрировать можно сначала по у, так как все выражения через у известны, при этом дополнительная энер­ гия выражается в виде интеграла от различных функций ф и их вторых производных:

(1.69)

Процесс нахождения минимального значения дополнительной энергии с помощью вариационных методов приводит к системе дифференциальных уравнений

(1.70)

причем уравнений столько, сколько имеется различных функций ф. Таким образом, вариационный процесс приводит к числу диффе­ ренциальных уравнений, равному числу неизвестных. Совместное решение этих уравнений относительно фь ф2. соответствует оптимальному выбору этих функций для принятых значений Р х (у), Р 2 (у) и т. д. Таким образом, нужно решить, сколько следует взять функций ф и какой должен быть вид функций Р (у).

1.8. МЕТОД ХЕЛДЕНФЕЛСА И РОБЕРТСА

1.8.1.Основное уравнение. Р. Хелденфелс и В. Робертс [1.14]

В первом приближении принято, что функция напряжений может быть задана единственным членом, представляющим собой произведение двух функций, одной — только от х, другой — только от у:

Тогда по уравнению (1.64)

где штрихами показано дифференцирование функций (/ или §) по соответствующим переменным (х или у).

В задаче, решенной аналитически и экспериментально Хелденфельсом и Робертсом, рассматривалась длинная плоская пластина,

вкоторой температура изменялась только по меньшему размеру у

ибыла постоянна по большему размеру х. Как уже отмечалось (см. раздел 1.6), распределение напряжений в такой балке (в дан­ ном случае в пластине) может быть легко определено по аналогии Дюамеля. Эти напряжения определяются в областях, достаточно удаленных от краев, где нормальные и касательные напряжения должны снижаться до нуля. Следовательно, только вблизи краев требуется строгое решение, основанное на использовании функции напряжений. Так как на большей части пластины напряжения из­ вестны, форма функции напряжений выбирается такой, чтобы

напряжения, полученные в этой области, совпадали с известным решением. По уравнению (1.45)

где Т = Т (у) — функция только от у.

Можно ожидать, что функция / (х) оказывается равной единице в большей части пластины (тогда сА = [§" — §") и только на краях будет отличаться от единицы. Для получения выражения для § через значения двух произвольных констант, определяемых из граничных условий вдоль длинных краев, уравнение (1.74) можно проинтегрировать дважды. Тргда

§ = §' = 0 при у = 1. Хотя выбор формы для § (у) основывается на рассмотрении длинной балки с изменением температуры только в направлении меньшего размера у, метод может быть обобщен для случая, когда температура изменяется в обоих направлениях по уравнению (1.71), если вместо Т в уравнение (1.74) подставить компонент 7 (у) уравнения (1.71). Подставив выражение для §

в уравнение для дополнительной энергии и интегрируя по у, так как все выражения через у являются явными, получаем

1.8.2. Решения уравнения. Применяя вариационные уравне­ ния (1.70) к выражению для дополнительной энергии (1.76) и.зная, что при у = ±Ь, тху — ['д' = 0, т. е. §' = 0, а также полагая Л3 = —Л4 и Лв = 0, получаем результирующее уравнение

Уравнение (1.78) — это обычное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, решение которого может быть получено в окончательном виде. Решение однородного уравнения дает

Частное решение уравнения (1.78) может быть найдено из до­ пущения, что решение будет иметь такую же форму, что и X,

для определения напряжений в плоской пластине при различных видах распределения температур в поперечном сечении. Сингер с сотрудниками распространил этот метод также на пластины с пе­ ременными по хорде толщиной и температурой, подобные крыльям самолета и лопаткам турбин. В принципе метод расчета анало­ гичен методу для плоской пластины, за исключением того, что в выражении для дополнительной энергии учитывается толщина. Дополнительные подробности приведены в работе [1.32].

1.9. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ

Одно из наиболее существенных ограничений метода Хелденфелса и Робертса заключается в том, что решение принимается в форме только произведения функций от X и от У Если необ­ ходимо включить большее количество членов, то возникает во­ прос, в какой форме следует брать § (у).

Метод, основанный на использовании ортогональных полиномов самоуравновешенных параметров, предложен Хорви, который при­ менил его при решении задач о температурных напряжениях в пря­ моугольных полосах с различным распределением температур. Описание этого метода приведено в работах [1.16, 1.19, 1.2, 1.17].

1.10.ОБОБЩЕННЫЙ ПОДХОД С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИЙ ПОЛОЖЕНИЯ

Оба рассмотренных вариационных метода имеют серьезные ограничения. Метод Хелденфелса и Робертса по существу огра­ ничен выбором функции напряжений, состоящей из произведения функций от х и от у, и тем фактом, что если температура изменяется в направлении х и у, вариация должна быть выражена как произ­ ведение функций от х и от у. Метод Хорви ограничен случаями, когда температура изменяется только в одном направлении и ши­ рина в несколько раз больше высоты. Так как встречаются случаи, когда ограничения обоих методов являются чрезмерно жесткими, необходим подход, который не связан с этими ограничениями. Единственный недостаток описываемого ниже метода заключается в том, что он связан со значительным объемом вычислений, за­ висящим от требуемой точности. Поскольку, однако, большинству организаций, решающих подобные задачи, доступны быстродей­ ствующие вычислительные машины, это ограничение несуще­ ственно.

Основы этого подхода подробно описаны в разделе 1.6, где функции положения применительно к методу коллокации опре­ делены в более общем виде. Здесь можно указать только, что используются функции напряжений в форме уравнения (1.66), где коэффициенты Р (у), Р 2 (у). . имеют форму полинома. Подстав­ ляя выражение (1.66) для ср в уравнение (1.65) для дополнительной энергии и затем применяя условия минимизации (1.70), получают систему совместных дифференциальных уравнений для срх (х), Ф2 (х) ит. д., при этом может быть использовано любое количество функций ф„ (х), хотя для многих задач достаточно двух или трех функций. Уравнения могут быть проинтегрированы классиче­ скими методами, однако может также быть использован метод коллокации, значительно облегчающий труд. В этом случае диф­ ференциальные уравнения удовлетворяются только при некоторых значениях х, а не при всех его значениях (см. раздел 1.16).

На рис. 1.14 представлены результаты некоторых расчетов пла­

напряжений удовлетворительно согласуются с решениями дру­ гими методами. Двенадцать общих точек (три на четыре) приво­ дят к результатам, почти аналогичным полученным методом Хорви, который в данном случае является очень точным.

Хотя для этой частной задачи хорошие результаты получены всеми методами расчета, можно полагать, что в ряде случаев различие окажется существенным. Например, если температура изменяется в обоих направлениях, то метод Хорви применим, а метод Хелденфелса — Робертса может быть использован только

тогда, когда температура может быть представлена в виде произ­ ведения функции от х и функции от у. В более общем случае изме­ нения температуры может оказаться пригодным только метод функции положения.

1.12ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ

Д.Гудьер [1.91 применил теорему взаимности Бетти к выводу некоторых формул в задачах термоупругости. Этим способом в ряде случаев можно непосредственно получить конечный результат, который было бы сложно получить при детальном анализе напря­ жений и деформаций.

Теорема взаимности дает соотношение между перемещениями и силами двух независимых, действующих на тело систем внешних нагрузок, и формулируется следующим образом:

«Работа, произведенная силами первой системы на соответ­ ствующих перемещениях второй системы, равна работе, произ­ веденной силами второй системы на перемещениях первой».

Одна из выбранных систем сил обычно предельно проста, так что перемещения легко могут быть определены из предваритель­ ного анализа. В этом случае из теоремы вытекает соотношение между силами и перемещениями второй системы. Хотя это соот­ ношение является по существу следствием обычных уравнений теории упругости и граничных условий, оно часто получается в фор­ ме, позволяющей получить результат в конечном виде.

Возможность рассмотрения системы температурных напряже­ ний как эквивалентной системы объемных и поверхностных сил уже отмечалась. Теорема о взаимности перемещений может быть использована при рассмотрении этой системы сил в сочетании с не­ которой простой системой, для которой перемещения известны. Эффективность решения зависит от изобретательности исследова­ теля в выборе второй системы.

Гудьер получил некоторые результаты, представляющие не только академический интерес, но имеющие, практическое зна­

Этот интеграл представляет собой изменение объема тела только за счет теплового расширения без учета температурных напряже­ ний, которые не оказывают влияния на изменение объема. Этот результат качественно очевиден, так как система температурных напряжений — это полностью внутренне уравновешенная система и в условиях упругости можно ожидать, что изменения объема от температурных напряжений компенсируются.

Этим методом можно также показать, что удлинение стержня постоянного сечения

где А — площадь поперечного сечения (сплошного стержня).

Изменение угла между двумя сечениями стержня (поворот при изгибе)

х — расстояние от центра в направлении прогиба; I — длина стержня; з — расстояние от заделки.

1.13.РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Дифференциальные уравнения равновесия и совместности обеспечивают соотношения между напряжениями и деформациями в точках, бесконечно близких друг к другу. Если эти уравнения разрешимы, то решение, естественно, дает точные значения ве­ личин. В большинстве случаев, однако, невозможно получить точное решение, поэтому необходимо прибегать к приближенным методам. Одним из таких подходов, который часто оказывается весьма плодотворным, является метод конечных разностей. Диф­ ференциальные уравнения заменяют системой таких конечно-раз­ ностных уравнений, которые связывают напряжения, деформации или другие величины, например, функции напряжений в точках, удаленных друг от друга на конечные расстояния. Эти уравнения, хотя и не точные, дают решения, которые близки к точным и удов­ летворяют инженерным целям. Решение таких уравнений обычно состоит из ряда последовательных расчетов, в которых значения определяемых функций получаются из известных значений функ­ ций на соседних участках. Обычно этот процесс дает численное решение задачи, так как решения в общем виде приводят к гро­ моздким формулам.

Уравнения в конечных разностях могут быть получены одним из двух способов:

1) на основе той же методики, которая используется при вы­ воде дифференциальных уравнений, уравнение в конечных раз­ ностях выводится относительно напряжений или деформаций при конечных расстояниях между точками. При составлении диф­ ференциального уравнения вначале рассматривают точки, удален­ ные друг от друга на конечные расстояния, а затем расстояния между точками устремляются к нулю. При составлении разност­ ных уравнений этот этап опускается;