книги / Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов

2.13гороП закон термодинамики {неравенство Клаузиуса — Дк>гс-

ш )

3, Инвариантность к выбору инерциальной системы отсчета (за­ мена в первом и втором законах термодинамики скоростей у; на скоросш + V*, где У0 — постоянный оектор, не должна приводить к их нарушению)

2. Основные термодинамические законы и их следствия в теории Грина и Надхи

Приводимы №в этом разделе пыпод определяющих уравнении иоо производит выкладки, впервые осуществленные в работах [23, 27, 23], со следующими отличиями: 1) промежуточные преобразования п конечные результаты сформулированы кс н актуально!!, а в отсчетно!! коифигурации; 2) выражение свободной энергии эописит от главных удлинений деформируемого компонента (а не от градиен­ та радиуса-вектора перемещений). 13торо(1 момент не существенен, ко лучше его учесть сразу. Рассмотрим основные посылки теории к следствия из инх. $>го позволит перейти в дальнейшем к анализу свойств пластифицироианных эластомеров и явлений массообмсна.

2 ,1 . И спользуемы е обозначения

Опишем поведение среды, представляющей собой смесь дефор­ мируемого компонента (все величины, характеризующие его, имеют номер ноль) н ДОжидких компонент (все величины, относящиеся к ним, соответственно нумеруются от единицы до ДО).

Фиксируем символами 10 11,1* начальный, текущиИ и отсчеты II (произвольно выбранный между ними) моменты времени:

Термин "отсчетный" применительно к моменту используется в связи с тем, что все определяющие уравнения ниже будут сформу­ лированы в координатах г,, которые имели точки деформируемою компонента среды в момент Описание поведения смеси в коорди­ натах г* необходимо для построении эффективных алгоритмов реше­ ния практических задач (в частности для использования в расчетах модифициропанного метода Лагранжа [2]). Величинами г0 и г обо­ значим радиусы-векторы точек деформируемого компонента среды о пространстве соответственно и начальный (0 и текущий 2 моменты времени.

Безусловно, для анализа механического поведения среды необхо­ димо знать особенности протекания массообменных. процессов. Дня этого точки жидких континуумов нужно фиксировать и наблюдать

их дальнейшее движение. С этой келью используем далее понятие радвуса-пехтора г-, фиксирующего положения точек жидкого ком­ понента смеем с номером г и момент I. .

При их вычислении вектор г и первом равенстве рассматривается как функция аргументов С,г0. Но втором и третьем равенствах ве­ личины г0,1' представлены функциями аргументов <,1%.

Нам потребуютел в дальнейшем единичный тензор

Б - с,с*

Ноператоры градиента места, имеющие вид

►д

V .** “ е* дх\

где г = я'с,*; г. =: **сч; с,- — базисные вехторы прямоугольной Дека|)Т0П0П системы координат.

В математических выражениях символы тензоров с верхними ин­ дексами - I и Т соответственно обозначают обратные и транспони­ рованные тензоры. Точка между тензорными или векторными вы­ ражениями применяется для обозначения операции свертки между ними. Нижний индекс, заключенный между символами < > около закрывающейся круглой скобки

( )<»> .

говорит об отсутствии суммировании по нему о выделенных скобках. В противном случае, если специально не указам знак суммирования

с границами изменения индекса

то суммирование должно производиться от единицы до трех. Индекс г у вертикально!! черты при взятии частной производной

по времени указывает на то, что стоящее п операторе

выражение представлено функцией аргументов {,г. 13 спою очередь отсутствие пертнкалыгоЛ черты с индексом при частной производной

подразумевает, что выражение (от которого берется частная произ­ водная) является функцией аргументов С,г*. По аналогии с этим индекс * и номер г у вертикальной черты указывают на то, что сто­ ящее о операторе

выражение представлено функцией аргументов |,г*.

Цель приводимых ниже оыкладок — формулировка всех требуе­ мых для решения задач уравнении а координатах 14 и практическое использование полученных выражений.

2.2.ПервыН захоп термодинамики и ого следствия

Перейдем к формулировке исходных выражении н анализу сле­ дующих из них оьшодоь. Рассматриваем среду как смесь взапмолропикающих деформируемого и N жидких континуумов.

Запишем первый закон термодинамики (закон сохранения виерпш) о виде

Д ля осуществления дальнейших преобразовании требуется ис­ пользование третьегоииварианта тензора С$пт - Обоэпатим его символом /3 :

П = Ш я Т <Ы

С помощью раьснстп

справедливых для произвольного векторного поля Ь и скалярного поля перепишем зависимость (4) в виде

При записи радиуса-вектор а г, в виде функция аргументов 2, г око преобразуется в связь

Используя физичсекиИ смысл скорости уо (3) и обозначение (2), получаем окончательную зависимость

н доказано утверждение (9).

Такнм образом, скорость у? представляет собой скорость движе­ ния 1-го континуума в пространстве координат г*. По координаты 14 нанесены на точки деформируемого компонента смеси и двигают­ ся вместе с инн. Величина V,* фиксирует относительную скорость движения жидкости через деформируемый континуум и показыва­ ет» насколько быстро она протекает или диффундирует сквозь него. Так как все величины и уравнения записываются о координатах, нанесенных па точки деформируемого компонента смеси, то и ско­ рость относительного движения жидкого континуума формулирует­ ся о них. Естественно, что физический смысл величины у} сохра­ няется и для значения индекса 1, равного нулю. В соответствии с формулой (7)

У1 = о .

Точки деформируемого континуума относительно нанесенных на не­ го координат двигаться не могут.

Учтем следующее утверждение. Первый закон термодинамики должен выполняться и любой инерциальной системе отсчета. При этом равномерное поступательное движеп ио начала координат ника­ ким образом не должно отражаться га значениях плотностей масс 04, плотностей внутренней энергии 64, тензоров напряжений Т*, ко­ личественной характеристики степени деформирования материала

()д п значениях теплового потока с|. Данное утверждение можно сформулировать иначе. Добавление равномерного поступательного движении всем точкам материала не должно приводить к наруше­ нию мод записи первого закона термодинамики и изменять значе­ ния перечисленных характеристик состояния среды. Это естествен­ ное требование иле чет за собой лажные следствия. Рассмотрим их. Но вначале дадим точную математическую формулвфовку выска­ занного требования.

Добавим веем точкам среды равномерное поступательное движе­ ние со скоростью у$. Учтем тот факт, что скорости у} при этом измениться не могут. Пмражение (8) примет вид

Считаем, что оно выполняется для любого произвольно заданно­ гозначения векторлоИ постоянной у0. Это наша отправная гипотеза. Преобразуем связь. Сгруппируем слагаемые в равенстве (12) отиоенгельпо степеней вектора уф: