книги / Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов

области, содержащей конечное число жестких сферических частиц, случайным образом расположенных о эластомерной упругой матри­ це (как частный случай возможна и регулярная решетка). Матрица, в отличие от включений, может повреждаться при деформировании.

Встречающиеся в композите структурные элементы могут разли­ чаться толщиной матричных прослоек, размерами включений, меха­ ническими и прочностными свойствами компонент и т. д. Соответ­ ственно будет различным н их механическое поведение. Кроме того, свойства СЭ о какой-то мере должны зависеть и от расположения соседних с икм частиц. Учет этого влияния, сам ко себе являясь до­ вольно сложной задачей, значительно снижает обемвзываемость мо­ дели без существенного выигрыша в ее точности. В пользу данного утверждения свидетельствуют н результаты [18], полученные из ре­ шения плоской краевой задами о нескольких близко расположенных жестктс дисках, помещенных в бесконечную упругую матрицу. Рас­ четы показали, что в случае достаточно малого расстояния между частицами (не более одного радиуса) напряженно-деформированное состояние л матричной прослойке практически нс зависит от того, где располагаются остальные, нс образующие данный зазор вклю­ чения, хотя в целом но области картина распределения напряжений тесно взаимосвязана с ос геометрической конфигурацией. Исходя из плоской аналогии, можно предположить, что схожая ситуация будет наблюдаться и для сферических включений. Более того, в объемном случае этот эффект должен быть выражен еще сильнее, так как энергия "возмущения" от сферического включения убывает пропорционально кубу расстояния от его поверхности, тогда как в плоском случае оно пропорционально лишь квадрату удаления от частицы. Следовательно, в наполцентах системах, когда средние расстояния между частицами не превышают их характерного раз­ мера, влияние окружения на свойства рассмотрииасмою СЭ можно считать несущественным.

Известно, что в случае линейно-упругих систем наиболее под­ ходящим является использование методов аппроксимации, основан­ ных на принципе эхвивалеитиости энергии отображаемой н отобра­ жающей систем [1]. Поэтому о рамках теории малых деформаций ка­ ждый реальный структурный элемент аппроксимировался лииеПноупругим стержнем с узлами в центрах включений, механические ха-

и работе [61], посвященной изучению вязкости концентрированных: суспензий из твердых сфер, показали, что вязкая диссипация энер­ гии в таких: системах вызывается и основном течением жидкости о узких промежутках между частицами. О пределах каждою отдель­ ного зазора это течение варьируется движением дпух образующих его сфер, которое можно разложить па составляющие вдоль и попе­ рек линии, соединяющей их центры. При этом доминирующий тлен и асимптотической форме вязкой диссипации мри высоких концен­ трациях дисперсной фазы определяется только относительным дви­ жением вдоль межцентровой линии. Так клх поведение ньютонов­ ской вязкой жидкости и гуковской упругой несжимаемой среды опи­ сываются одними и темн же дифференциальными ураш1С11иямн| то можно ожидать, что подобная картина будет наблюдаться и дли на­ полненных зернистых композитов с эластомерным (несжимаемым) связующим, т. с. будет доминирующим но отношению к 5; и Тг параметром. 13 пользу данною вывода свидетельствуют и известные решения плоских краевых задач о взаимодействии близко располо­ женных дисков в бесконечной упругой матрице [31, 17]. Жесгкость на растяженне-сжатне может н несколько роз превышать изгибную и крутильцую жесткости элемента, причем это будет проявляться тем сильнее, чем ближе друг к другу расположены частицыПоэто­ му для начала можно абстрагироваться от параметров 51 и Т|, нэяо п качестве аппроксимирующего элемента ССЭ не с жесткими, а с шарнирными узлами, так как в этом случае для описания его меха­ нического поведения требуется лишь одна упругая характеристика С Такое допущение позволяет (с сохранением вполне приемлемой точности аппроксимации) вдвое снизить число неизвестных степеней свободы, приходящихся на один'узел ССЭ (с 6 до 3), и тем самым значительно упростить вычисления.

Как лндио из общей расчетной схемы, для определения Сг требу­ ется знать решение осесимметричной храепой задачи о дпух сферах й упругой бесконечной матрице, находящихся под дейстиисм сосредо­ точенных сил, приложенных к центрам включений к направленных вдоль меж центровой ЛИНИН.

Эта задача решалась с номощыо итерационно-аналитического ме­ тода с разложением искомых функций а рад по полиномам Лежан­ дра. Основная идеи и способ реализации изложены и [11, 36]. При

расчетах отношение модулей Юнга матрицы и включений (0^ к Ер соответственло) было взято ]>апньш Ет/Е р = 10'4, а кх коэффициелты Пуассона считались равными 0,5, т. с. рассматривался случай несжимаемых компонент. Па границе "матрица — включение” пыполлилось условие полно» адгезии. Тол пишу матричной прослойки между частицами 6 парьиропалн о диапазоне от 0,1 до ЗЛМ, а соот­ ношение размероп частиц, $ = Кк/К и > I бралось равным от 1 до б (Лк — радиус крупной сферы, — мелкой). Этого диапазона ф оказалось вполне достаточно для практических расчетов, так как и реальных композитах при более значительных различиях в раз­ мерах частиц становится возможным применение принципа мульти­ пликативности, когда, например, дпухфракционную структуру мож­ но уже рассматривать как монофракциопиую, состоящую только из крупных чистиц, погруженных в эффективную гомогенную среду, которая сама и свою очередь нилнетей монофракциоиноЛ компози­ цией из мелких частиц и непрерывной матрице (см. главу 2).

Проведенные исследования позволили установить, что "силы вза­ имодействия” между включениями, очень высокие ирн малых зазо­ рах, резко надают но мере их увеличении и лрн Ь —(1 -ь2)Лм стано­ вятся практически незаметными. С ростом значений ^ предельная величина зазора, при которой частицы еще ячувстиуют" Друг дру­ га, также возрастает. Для одинаковых Ь и разных ^ концентрация элергки в матричной прослойке (а соответелвснио и жесткость ССЭ)

где [V — упругая энергия, накопленная в структурном элементе при увеличении исходного межцеитрового расстояния 1 = /?ы+Л* + 5 ни величину Д/. Полученные зависимости С| от 6, ф и Ет представле­ ны на рис. 2.

Для большей наглядности (ввиду того, что ф -+ оо при 6 -* 0) во осп ординат отложена величина, обратная С?| — т. е. податливость. Эти кривые были аппроксимированы эмпирической формулой, ко­ торая и использовалась л дальнейших расчетах:

Рис. 3. Фрагмент плоско И стержнедеЛ структуриомгхпиичбской моде­ ли одионппрлолсииого (юлокинстсу- го коМ110»ППу преднггэилчеилоИ д л и

Ы Ш СА ИИН е г о С П 0Й С 1И И Т рО П С П С р -

е л л ы ю П ПЛОСКОСТИ

мл, только их упругие характеристики уже следует искал» из реше­ нии задами о взаимодействии двух близко расположенных жестких дисков в условиях плоской деформации. Фрагмент такой стерж­ невой системы (п объемном случае картина будет о принципе ана­ логичная, но менее наглядная из-за наличия третьей координаты) показан на рис. 3.

2,3. Определение сьпзи между микро- и

макроскопическим попечением .наполненного композита с помощью структурно-механической модели

Ках уже говорилось ранее, в механике композитов существуют два уровня описания их механического поведения — микро- и ма­ кроскопический. 13 первом случае рассматриваются михрострухтуриыс (исщиные в смысле механики сплошной среды) напряже­ ния и деформации, действующие в матрице и частицах напалпите­ ля и удовлетворяющие условиям непрерывности па границах раз­ делов фаз. Совершенно очевидно, что выполнять точные краевые расчеты пн этом уровне и целях описания свойств композита в це­ лом — заведомо нереальная задача, так ках и сю структуре со­ держатся, как правило, миллионы включении, Однако, если вос­ пользоваться известкой гипотезой об эквивалентной гомогенности среды [20), то можно вполне корректно к с гораздо мснышшн уси­ лиями перейти от микроструктуриых характеристик к м а к роск о п и -

где пт — число структурных элементов, п е р е с е к а ю щ и х щ-ю плос­ кость, м*"1 — перемещение Л*-П граничной точки, принадлежащеЦ гп-П грани в 1-м направлении.

Для характеристики напряженно-деформнроваиного состояния в выделенном э л е м е н т а р н о м обтлмс ДУ ( м е э о э л с м е н т е ) введем тензо­ ры эффективных напряжений и эффективных деформаций компо­ зита СГ^ И СООТЕЮТСТПеШЮ, ПА1СЮЩПС ТОТ ЖС фнЗЛЧССКПЙ СМЫСЛ,

перемещений соответствующих граней аналогично формулам Коши в классической теории упругости;

(«)

Компоненты тензора эффективных напряжений <тц определяют­ ся но следующей схеме. На каждой тп-Л грани мезоэлемента вычи­ сляются Декартовы составляющие действующей на лей силы Р™ъ Р™ и Р ”\ зная которые, можно перейти к компонентам тензора