книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

содержательными (например, чтобы время колебаний не было слиш­ ком малым) и, кроме того, чтобы для рассматриваемой конкретной задачи неучитываемые обстоятельства в самом деле были мало­ существенными (возбуждение можно было признать практически гармоническим и т. п.). В конечном счете это выясняется на основе эксперимента, анализа следствий и аналогий.

Из сказанного следует, в частности, что в&бор адекватной модели необходимо увязывать с характером и масштабом неучитываемых факторов. Рассмотрим, например, по­

U (q) надо заменить примерно так, как показано на рис. 7 штрихо­ вой линией, т. е. при q=0 трактовать систему как находящуюся в состоянии н е у с т о й ч и в о г о равновесия.

Таким образом, неучитываемые факторы могут не только коли­ чественно, но и качественно влиять на свойства математической мо­ дели. Это относится, в частности, к проблемам устойчивости. В. И. Феодосьев [324, с. 118 и далее] специально останавливается на вопросе о правильной схематизации, исходя из следующего ра­ ционального определения устойчивости применительно к задачам сопротивления материалов: «Под устойчивостью понимается свой­ ство конструкции сохранять свое состояние при р е а л ь н о с у ­ щ е с т в у ю щ и х внешних воздействиях» (выделено нами.— Авт.). Вот его яркий пример по этому поводу: сооружение из трех поставленных друг на друга табуреток можно считать устойчивым, если сверху ставится модель в классе для рисования, но должно рассматриваться как неустойчивое, если при его помощи собираются сменить в люстре перегоревшую лампочку.

Если в рассматриваемую задачу входят параметры, то из-за размытости утверждений типа Ур в пространстве параметров появ­ ляется «зона неопределенности», также размытая, в которой нельзя однозначно охарактеризовать качественные свойства модели. Пусть, например, в условиях рис. 7 потенциал имеет вид t/=a<72—bq*+u0

(соответственно а > Д U), то в плоскости параметров а, Ь наря­ ду с областью устойчивости а > 6 VЬа и областью неустойчивости

а < 2 K ba появляется зона неопределенности 2 К ба < а < 6 Кба; границы этой зоны размыты из-за произвола в выборе количествен­ ных критериев устойчивости и неустойчивости. С ростом а область устойчивости сокращается, как это и следовало ожидать.

Устойчивость адекватных моделей относительно неучитываемых факторов является отражением устойчивости всех реально наблю­ даемых свойств. Поясним этот общий тезис на примере. Пусть рас­

сматривается состояние равновесия усеченного конуса, осевое се­ чение которого показано на рис. 8. В грубом приближении можно считать конус неусеченным, т. е. это положение является «неустой­ чивым в грубом». Но с формальной точки зрения срезание с верши­ ны как угодно малой площадки приводит к тому, что положение ста­ новится устойчивым. Таким образом, получается, что как угодно малая поправка может качественно изменить ситуацию, что противо­ речит здравому смыслу. В чем же дело?

Это недоразумение разъясняется на рациональном уровне. Дело в том, что при заданном масштабе возмущений адекватной, правиль­ ной моделью усеченного конуса с достаточно малой нижней пло­ щадкой служит неусеченный конус, стоящий на своей вершине; так как это положение неустойчиво, то можно сказать, что реально неустойчив и конус с малой площадкой. И лишь если срез достаточ­ но велик, схематизация в виде усеченного конуса окажется адекват­ ной, а рассматриваемое положение конуса следует считать устой­ чивым (хотя, быть может, с малым запасом устойчивости). Соответ­ ствующая картина в фазовой плоскости угла отклонения оси конуса от вертикали показана на рис. 9: ясно, что если внутренняя «петля» становится исчезающе малой, то начало координат естественно трактовать как неустойчивую седловую точку. Конечно, бессмыс­ ленно требовать указания точной грани, начиная с которой срез

144 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

надо учитывать *): наряду с интервалами, для которых срез надо безусловно учитывать и безусловно не учитывать, имеется промежу­ точный «интервал неопределенности»; указание его неоднозначно. Впрочем, и здесь ситуация становится более определенной, если из­ вестен масштаб возможных возмущений.

Аналогичный случай формальной неустойчивости показан на рис. 10, а соответствующая картина в фазовой плоскости — на

рис. 11, которые мы представляем читателю разобрать самостоя­ тельно. Дедуктивным аналогом проведенных рациональных рассуждений является теория опасных и безопасных участков границы зоны устойчивости в пространстве параметров.

Разобранная ситуация в какой-то мере типична. Если некоторое реально наблюдаемое свойство С (в примере рис. 8 — неустой­ чивость) формально поддается устранению с помощью как угодно малого изменения изучаемого объекта, то такого устранения на са­ мом деле не происходит, оно фиктивно **); кроме того появляется некоторая «зона неопределенности», в которой нельзя однозначно сказать, выполняется свойство С или нет.

5. Требования простоты н оптимальности. Если ориентироваться только на требование адекватности, то сложные модели предпочти­ тельнее простых. В самом деле, применяя сложную модель, можно учесть большее число факторов, которые могут так или иначе по­ влиять на изучаемые характеристики. Например, при составлении системы уравнений, описывающих исследуемый объект, с точки зре­ ния адекватности выгоднее привлечь как можно больше параметров, характеризующих этот объект; но это может привести к громоздким, порой необозримым системам уравнений, не поддающимся изуче­ нию ***).

*) Это все та же известная «проблема кучи», в которой требуется ука­ зать число зерен, йачиная с которого они составляют кучу. Аналогичный характер имеет «проблема лысины» и т. д.

**) Или то, что мы считаем свойством, т. е. каким-то стабильным качест­ венным признаком объекта, на самом деле таковым не является.

***) Как пишут Р. Акоф и М.Сасиени [3, с. 821, «...как правило, степень понимания явления обратно пропорциональна числу переменных, фигури­ рующих в его описании». К тому же, как замечает У. Прагер [266, с. 91,

Таким образом, мы приходим к требованию достаточной прос­ тоты модели по отношению к выбранной системе ее характеристик, до некоторой степени противоположному требованию адекватности. Модель является достаточно простой, если современные средства

мые уравнения». В расширенном смысле это справедливо и сейчас.) Ясно, что «в среднем», чем модель более адекватна, тем она менее проста, т. е. тем труднее ее анализ. Конечно, это только общая тен­ денция, так как усложнение модели может и ухудшить адекватность: так бывает, например, если при выписывании добавочных уравнений привлекаются параметры, известные с низкой точностью, или когда сами эти уравнения сомнительные. Последнее особенно характерно для математических моделей биологических, социальных и т. п.

явлений.

Связь между свойствами адекватности и простоты моделей можно обсуждать с помощью диаграммы (рис. 12), допустив, что степени этих качеств оцениваются числами А и П, принимающими значения от нуля до единицы. Разметка оси простоты существенно зависит от привлекаемых возможностей средств исследования — например, то, что сложно для ручного счета, может оказаться совсем простым, если применять ЭВМ. Вместе с читателем мы, конечно, понимаем сугубую условность такой диаграммы, как и любой диаграммы, свя­ зывающей размытые величины, но все же ей нельзя отказать в осо­ бой наглядности и вряд ли ее можно признать совсем бесполезной.

Свойства адекватности и простоты некоторой модели данного объекта определяются парой чисел А, П, т. е. изображающей точкой на диаграмме. Кривая (L) на рис. 12 ограничивает сверху справа «область существования» всех мыслимых для этого объекта моделей, причем практически представляют интерес лишь точки, располо­ женные в пределах заштрихованного криволинейного треугольника: точки, находящиеся левее этого треугольника, относятся к моде­

введение в модель слишком большого числа факторов (а ЭВМ порой могут дать такую возможность) может «создать ложное согласие между результата­ ми моделирования и эксперимента, которое будет ошибочно интерпретиро­ вано как подтверждение истинности модели до тех пор, пока ее использова­ ние в несколько измененных условиях не обнаружит ее неадекватность».

146 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

лям, которые неудовлетворительны из-за своей малой адекватно­ сти *), а находящиеся ниже его — к моделям, недоступным для ис­ следования (на данном уровне возможностей).

Например, возможна модель Мх — она поддается анализу и обеспечивает приемлемую адекватность. Однако при той же простоте возможна более адекватная модель М8, а при той же адекватности — более простая модель М3. Поэтому точки, расположенные на кривой (L), имеют определенные преимущества перед остальными точками типа Мь и оптимальную модель (или оптимальные модели) нужно разыскивать именно на этой Парето-оптимальной 37 кривой. Конеч­ но, для оптимизации модели следовало бы сначала сформировать единую целевую функцию и искать «наилучший из компромиссов» между адекватностью и простотой; однако эта целевая функция, как правило, весьма размыта, так что об оптимизации модели часто приходится говорить только на уровне интуиции **).

Хотя правилом является понижение адекватности модели при ее упрощении, замечательно, что имеются примеры, когда при упро­ щении модели ее адекватность повышается. Естественно, что такие примеры представляют специальный интерес.

Приведем один из таких примеров. Пусть рассматривается гар­ моническое возбуждение линейной автономной колебательной систе­ мы с одной степенью свободы и с малым трением. Пренебрегая тре­ нием и переходя к комплексным величинам, запишем уравнение ко­

где Си С2 — постоянные, определяемые начальными данными. Тем не менее обычно (иногда без мотивировок) обсуждается только часть этого решения, именно

Почему? Оказывается, что здесь дело не в искусственном упроще­ нии модели закона колебаний, которая имела вид формулы (20).

*) В связи с применениями математики к биологии и медицине Н. Бейли пишет [30, с. 83J: «...что еще хуже, математики могут с энтузиазмом принять­ ся за глубокую теоретическую разработку моделей, неадекватность которых известна заранее, только потому, что это не представляет труда (во всяком случае для них)... Биологи и врачи совершенно справедливо с подозрением относятся к любой работе (в их областях.— Авт.)\ которая представляет со­ бой лишь клубок математических абстракций». Добавим, что разработка за­ ведомо неадекватных моделей является уделом отнюдь не только одних мате­ матиков; читатель легко найдет Примеры такой деятельности среди предста­ вителей других специальностей.

**) По поводу необходимости компромисса между простотой и адекват­ ностью см. также [136, 281, 5271.

Суть в том, что в реальном осцилляторе всегда имеется трение, и по­ этому более точным по сравнению с (19) уравнением колебаний было бы следующее:

причем о параметре k обычно известно только то, что он мал по срав­ нению с V cm. Общее решение уравнения (21) имеет вид

Здесь с ростом t второе слагаемое экспоненциально затухает, т. е. по прошествии переходного периода это более точное решение ока­ зывается близким не к х { (t), а к х п (t)! Но так как обычно (например, при расчетах деталей машин на выносливость) представляет интерес движение, установившееся после относительно непродолжительного переходного периода, то получается, что решение хц (t) правильнее описывает картину, чем, казалось бы, более полное решение X\(t). Отбрасывая последние слагаемые в (20), мы в сущности у т о ч ­ н я е м решение, косвенно (хотя и неполно) учитывая роль трения.

Если строится цепочка моделей, в которой каждое последующее звено является моделью предыдущего, то простота и адекватность цепочки в целом (их можно трактовать как простоту и адекватность последнего звена цепочки по отношению к исходному объекту) свя­ заны с аналогичными характеристиками составляющих ее моделей, причем эта связь имеет примерно следующий характер. Допустим, что цепочка состоит из двух звеньев, причем первое звено — модель изучаемого объекта — имеет степень адекватности Ai и степень простоты Пь а второе звено — модель этой модели — степень адекватности А2 и степень простоты П 2. Тогда если рассматривать степень адекватности как «долю истины» (п. 4.2), а степень простоты как «меру возможности реализации исследования», то естественно принять, что степень адекватности А и степень простоты П всей це­ почки определяются соотношениями А ^А Д а, П^ПхПг. Они дают, в частности, возможность представить себе границу П(А) области моделей цепочки, если имеется представление о граничных линиях П^АО и П 2(А2).

Продумывание адекватности и простоты цепочки моделей очень существенно, в частности, если имеется несколько конкурирую­ щих цепочек и необходимо сделать выбор пути исследования. При этом порой обращают внимание на адекватность или простоту лишь одного звена, а не всей цепочки в целом. Например, отдают пред­ почтение усложненной физической модели Фх реального объекта Р на том основании, что она обладает более высокой адекватностью. Однако при этом не всегда учитывают, что соответствующая мате­ матическая модель Mi — скажем, соответствующая система урав­ нений — может оказаться столь сложной, что для проведения даль-

148 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

неишего исследования ее придется значительно упростить, т. е. перейти от Mi к ее модели М^. При таком переходе может быть су­ щественно потеряна адекватность, как это показано схематически на рис. 13.

Поэтому более эффективным может оказаться следующий путь: с самого начала совершить более смелый шаг, выбрав простую фи­ зическую модель Ф 2, быть может, менее адекватную, чем Фи но все же достаточно удовлетворительную и притом такую, чтобы ее математическая запись М2 не требовала дополнительного упроще­ ния. Тогда вторая цепочка моделей может в ц е л о м оказаться более адекватной исходному объекту Р, чем первая, и, к тому же не менее простой. Отметим, что существенное упрощение на физическом уровне, проведенное во второй цепочке моделей, может — особенно

с психологической точки зрения, но еще менее поддающимся форма­ лизации является свойство наглядности модели. Хотя в ряде случаев мы с легкостью пользуемся выражениями «модель наглядна» или «модель не наглядна», но не просто объяснить, что под этим подра­ зумевается. В некоторой мере здесь имеются в виду и достаточная выявленность интересующих нас характеристик модели и их в ка­ ком-то смысле непосредственная, легко осознаваемая близость свойствам исходного объекта, позволяющая применять к математи­ ческим соотношениям физические соображения и физическую интуи­ цию. Впрочем, степень наглядности модели не есть нечто абсолют­ ное. Модель, которая одному специалисту представляется вполне наглядной, может решительно ничего не говорить другому. Так, приведя слова Кельвина: «Я могу сказать, что я понял явление, если я могу составить для него механическую модель», Л. И. Ман­ дельштам писал [197, с. 61]: «Многие современные физики сказали бы обратное: «Я понимаю механическое явление, если я создал для него электрическую модель». Словом, наглядность определяется не только самой моделью, но и опытом, навыками и даже психологией того, кто с этой моделью имеет дело.

Важной является также степень общности модели, т. ес обшир­ ность области ее применения, и т. д.

6. Феноменологические н полуэмпнрнческие законы. При по­ строении математической модели — для определенности будем го­ ворить о составлении системы уравнений, описывающих изучае­ мый объект,— приходится использовать разнообразные соотноше­ ния, связывающие интересующие исследователя величины. Некото­ рые из этих соотношений выводятся в самом процессе построения модели, но часть из них по необходимости принимается в данном ис­ следовании без вывода. Эти последние соотношения служат посту- латами модели, и от их «качества», т. е. их адекватности, существен­ но зависит адекватность всей модели. Такие постулаты могут иметь различное происхождение.

Некоторые постулаты непосредственно вытекают из универсаль­ ных физических законов, таких, как закон сохранения энергии, второй закон Ньютона и т. п. Аналогичную роль играют физические законы с ограниченной областью действия, для которых заведомая возможность применения в изучаемой задаче вытекает из универ­ сальных законов, например, если идет речь о применении закона сохранения вещества в задачах инженерной механики. Полная адекватность таких постулатов не должна вызывать сомнений.

Необходимо, конечно, всегда помнить об условиях справедли­ вости соответствующих законов: их расширенное толкование всегда связано с определенным риском, т. е. снижением ожидаемой адекватности модели; оно может привести (и неоднократно при­ водило) к существенным ошибкам (см. также с. 273).

Однако универсальных и родственных им законов в подавляю­ щем большинстве исследований заведомо недостаточно, и для «за­ мыкания» математической модели приходится также пользоваться законами, имеющими иной характер. Широко применяются, в част­ ности, феноменологические законы— такие, как закон Гука или упомянутый в п. 4.2 закон Фурье,— т. е. достаточно хорошо эмпи­ рически обоснованные законы с ограниченной областью действия, также установленной эмпирически. Такие законы могут лежать в основании далеко разработанных феноменологических теорий, как, например, обобщенный закон Гука лежит в основании теории упру­ гости. При использовании феноменологического закона для построе­ ния математической модели одними из центральных являются во­ просы о самой возможности этого применения (т. е. о попадании изучаемого объекта в сферу действия закона) и о последствиях воз­ можных отклонений от этого закона. Иногда вместо этого указание о применимости феноменологического закона включается в наимено­ вание модели («упругая модель», «пластическая модель»). Этим ав­ тор исследования ответственность за возможную потерю адекватно­ сти как бы снимает с себя и перекладывает на тех, кто примет реше­ ние о выборе модели.

Конечно, понятие феноменологичности не имеет абсолютного характера. В сущности, всякая теория феноменологична, так как аб­

150 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

солютное проникновение в природу вещей невозможно в принципе. Говоря, что модель или теория феноменологичны, мы, в сущности, имеем в виду либо наличие, либо реальную возможность построе­ ния модели или теории на более глубоком уровне физического описа­ ния. Без этого подтекста прилагательное «феноменологический» лишено смысла.

Еще менее универсальный характер имеют полуэмпирические соотношения, вроде данного Ньютоном в теории удара дополни­ тельного соотношения, содержащего коэффициент восстановления скорости. Такие соотношения обычно получаются в результате соче­ тания соображений размерности и обработки результатов экспери­ мента (см., например, вторую формулу для подъемной силы в п. 3.2в) или иной статистики, либо выводятся из других соотношений тако­ го же характера *). Область применимости такого соотношения, как правило, ограничена более или менее узкими рамками условий, при которых оно было получено (например, она может существенно за­ висеть от геометрических форм), и возможность его применения за этими рамками сопряжена с известным риском. Конечно, в некото­ рых случаях, и не так уже редко, приходится за неимением лучшего идти на такую экстраполяцию, однако она, как всякая экстраполя­ ция, может оказаться реальным источником ошибок.

Возможностью применения тех или иных феноменологических или полуэмпирических соотношений не ограничиваются допущения, применяемые при построении модели. Мы не будем здесь пытаться классифицировать такие допущения. К допущениям непосредствен­ но примыкают также рабочие гипотезы, относящиеся к характери­ стикам, которые намечено изучать; о таких гипотезах мы говорили в п. 3.26.

Упомянем еще кратко о чисто эмпирических соотношениях.

Чаще всего они не опираются на рациональные (а тем более, на де­ дуктивные) рассуждения относительно природы исследуемого явле­ ния, а представляют собой непосредственный результат «слепой» обработки экспериментальных данных. Узнать чисто эмпирические зависимости (например, в справочнике по деталям машин) обычно нетрудно: для таких зависимостей типичны совершенно «дикие» (мы не смогли подобрать лучшее слово) значения коэффициентов и показателей степени, вроде

у — 4,12хх,12д^,23Хз8,72

{у — функция; хи х2, х3 — аргументы, зачастую привязанные к ка­ кой-либо системе единиц). Не отрицая известной практической пользы, которую могут приносить подобные чисто эмпирические законы, нужно признать, что сам факт их существования свидетель­

*) А. М. Обухов пишет [248], что полуэмпирические гипотезы — это «связи между физическими характеристиками явления, которые устанавли­ ваются из качественных соображений, но не могут быть строго доказаны, а должны проверяться на опыте».