книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

сматриваемый случай от известных, аналогичных *); однако эта специфика может быть понята на рациональном уровне, в частности на основе анализа примеров.

Сходную роль играют доводы, основанные на физическом или численном эксперименте и потому неизбежно лежащие за пределами чистой дедукции. Мы уже упоминали в связи с обсуждением роли рабочих гипотез, что согласие решения с наблюдением или физиче­ ским экспериментом в типичных ситуациях служит важным, иногда решающим доводом, обосновывающим гипотезу. Подобным образом можно получить выводы о качестве вычислительного метода и т. п.

Поскольку решение прикладной задачи обычно включает целую цепь рациональных переходов (физические гипотезы, построение математической модели, рабочие гипотезы при ее исследовании, различные упрощения, выбор вычислительного метода, реализация вычислений и т. п.), то расхождение решения с физическим экспе­ риментом может говорить либо о том, что по крайней мере один из этих переходов является необоснованным, либо же о том, что хотя каждый переход и обоснован в отдельности, но их погрешности, на­ копившись, вывели ошибку общего результата за допустимые рам^ ки. Последняя ситуация характерна для прикладной математики, поскольку в чистой математике ошибка результата цепи рассужде­ ний всегда свидетельствует об ошибочности по крайней мере одного из звеньев цепи. Отметим в связи со сказанным понятие физической непрерывности по Пуанкаре [268, с. 24], которое сводится к допуще­ нию, что для физических величин возможна система соотношений вида Л1 = Л 2, Л 2= Ля ,..., А п_1—А п и в то же время Ах> А п\ дру­ гими словами, средства, которыми мы располагаем, не дают воз­ можности отличить A t от A i+1 (/=1, ..., п—1), но позволяют отли­ чить Л1 от Лп (см. по этому поводу [54, п. 49; 436]).

С другой стороны, иногда согласие решения и эксперимента мо­ жет оказаться случайным или явиться результатом бессознатель­ ной подгонки, так что такое согласие, повышая степень достовер­ ности решения, может еще не довести ее до полной. (Вообще, ника­ кой изолированный эксперимент не может дать полной уверенности в правильности теории. Такая уверенность возникает лишь в ре­

К тому же никакая теория не имеет абсолютного характера, а обла­ дает определенными рамками применимости; одна из основных целей экспериментов и состоит в уточнении этих рамок. А. Эйнштейн ска­ зал: «Эксперимент... никогда не говорит теории: «Да». В наиболее

*) В книге [338, с. 100] приведен курьезный пример внешне мотивиро­ ванного рассуждения по аналогии: на вопрос «Как раньше называлась улица Горького?» девочка ответила: «Улица Пешкова».

Укажем на книгу [315], посвященную анализу различных типов анало­ гии в науке. Содержательное рассмотрение роли аналогий в математике при­ водится в книге [262].

благоприятных случаях он говорит: «Может быть», а чаще всего: «Нет»... Каждая теория рано или поздно услышит свое «нет»» (цит. по [327, с. 8]); конечно, он имел в виду не полное отрицание теории, а лишь установление ее неуниверсального характера.)

Физический эксперимент может быть рационально включен в ка­ честве одного из этапов решения прикладной задачи. Так бывает, что те или иные зависимости, в принципе поддающиеся математиче­ скому расчету, проще и даже надежнее построить эмпирически, на­ пример измерив ряд соответствующих значений и проводя после­ дующую интерполяцию с учетом предельных ситуаций.

Это относится, например, к построению функции влияния или определению собственных частот в случае сложных пространствен­ ных форм и т. п. Так, однажды потребовалось определить основную частоту (о0 свободных колебаний системы, состоящей из груза массы /И, укрепленного на сложной, но относительно легкой упругой кон­ струкции, которую естественно было схематизировать в виде безинерционной упругой связи. Значение ее коэффициента жесткости с можно было бы попробовать рассчитать методами строительной ме­ ханики, однако такой расчет оказался бы весьма сложным и не­ точным. Существенно проще оказалось провести элементарный статический эксперимент, постепенно нагружая конструкцию и замеряя соответствующие прогибы; после этого значение <о0 было

подсчитано по формуле a>0 = Kc/Af.

Следующий пример несравненно значительнее. И. И. Ворович и А. Б. Горстко сообщили [82] о подробном изучении процессов, происходящих в Азовском море, с помощью соответствующей мате­ матической модели. Эта модель, записанная в классической форме, состояла бы из многих тысяч дифференциальных уравнений и была бы недоступна даже мощным ЭВМ. Однако оказалось, что ряд дан­ ных, которые обычно получают путем решения таких уравнений, можно найти при непосредственных измерениях на натурных объек­ тах или на экспериментальных установках и затем автоматически вводить в ЭВМ; это и дало возможность довести работу до конца.

Экспериментально находятся многие коэффициенты, характе­ ризующие элементы изучаемой феноменологической модели, в част­ ности коэффициенты упругости, вязкости, теплопроводности и т. п., а также другие константы, входящие в зависимости, вид которых подсказывается теорией или выбирается на основе той или иной рабочей гипотезы. По существу на этом основано физическое моде­ лирование и применение методов подобия, широко распространенные во многих областях техники и физики.

Приведем пример. Как известно, в плоской дозвуковой аэроди­ намике подъемная сила Р подчиняется формуле Жуковского Р = =pvY (Г — циркуляция, р и v — соответственно плотность и ско­ рость набегающего потока). Однако на практике обычно пользуются не этой формулой, а следующей из теории подобия формулой

профиля крыла), а коэффициент су9 зависящий от формы профиля и направления набегающего потока, определяется эксперимен­ тально в аэродинамической трубе.

В связи со сказанным отметим важную и характерную для при­ кладной математики проблему продуктивного вида формул. Форму­ ла, предназначенная для непосредственного применения, должна определять интересующую нас величину В через другие величины, измерение или вычисление которых должно быть, во всяком случае, не сложнее, чем измерение или вычисление В; если же имеется не­ сколько таких формул, то из них нужно выбрать наиболее подходя­ щую в указанном смысле. Применение первой из приведенных выше формул для подъемной силы затруднено измерением или вычисле­ нием Г, тогда как вторая формула нацелена на непосредственное практическое применение. Повышение продуктивности (эффектив­ ности, применимости) формул очень важно и требует отчетливых представлений о трудоемкости измерения и вычисления их компо­ нент.

Физическое моделирование, по-видимому, заслуживает значи­ тельно более глубокой разработки и большего распространения, чем это практикуется, причем не только в небольшом наборе стан­ дартных ситуаций, как это обычно бывает. В принципе его следовало бы применять во всех случаях, когда оно экономнее чисто цифровых расчетов,— как при выдаче окончательных результатов, так и на промежуточных этапах прикладного исследования *).

Численный эксперимент, осуществляемый обычно на ЭВМ, мо­ жет включать детальный расчет изучаемой задачи в отдельных ти­ пичных случаях, расчет какой-либо сходной, доступной контролю задачи или «модели модели» и т. п. Положительный результат та­ кого эксперимента может служить обоснованием правильности вы­ бранного вычислительного метода или даже некоторой совокупно­ сти этапов рационального рассуждения.

Отметим, например, общую схему контроля вычислительного метода, которая часто оказывается полезной в тех случаях, когда он должен реализовать обращение сравнительно просто вычислимой операции; такая ситуация часто возникает, в частности, при реше­ нии интегральных уравнений, краевых задач для дифференциальных

*) Н. В. Азбелеву как-то потребовалось определить площадь поверхно­ сти сложного изделия, имеющего вид тела вращения. Для этого он изогнул по изделию алюминиевую проволоку так, чтобы та приняла форму мериди­ ана. Подвешивая проволоку, он определил положение ее центра тяжести, а распрямив,— ее длину; после этого осталось только применить теорему Гюльдена.

Взвешивание фигур, вырезанных из фотобумаги после проявления сним­ ка, может применяться вместо интегрирования функции, заданной графиче­ ски, и т. д.

где А — операция, х — искомый, а — заданный объекты. Харак­ терной чертой прикладной задачи является то, что ее решение часто бывает в какой-то мере известно на основании физических сообра­ жений, аналогий или здравого смысла — известно грубо прибли­ женно или какими-либо своими характеристиками. Обозначим че­ рез * 0 известный объект, по возможности хорошо имитирующий ис­ комое решение; тогда по предположению объект

сравнительно просто найти. Однако равенство (8) можно рассмат­ ривать как уравнение вида (7), но с измененным значением а, причем естественно ожидать, что это уравнение по конструируемости реше­ ния хорошо имитирует уравнение (7). Поэтому вычислительный ме­ тод можно проконтролировать на уравнении (8), решение которого х о известно: если окажется, что он по а0хорошо восстанавливает х», то можно ожидать, что и для уравнения (7) он даст хороший резуль­ тат; если же метод для уравнения (8) окажется плох, то это уравне­ ние может подсказать, как надо метод улучшить. Этот способ конт­ роля становится еще более убедительным, если воспользоваться несколькими объектами х«, разнообразно имитирующими искомое решение.

г) Доказательство, основанное на рассмотрении частных случаев.

Как известно, этот способ рассуждений носит в общей логике назва­ ние индукции и весьма широко применяется за пределами матема­ тики *). Хотя все типы собственно рациональных рассуждений в той или иной степени индуктивны, здесь мы будем говорить о случаях, когда он применяется, так сказать, в чистом виде.

Причины, по которым пользуются подобными доказательствами, могут быть различными. Так, дедуктивное доказательство может быть недоступным из-за своей трудности. Часто бывает, что доказы­ ваемое утверждение формулируется в размытых терминах и потому в принципе не допускает чисто дедуктивного доказательства; такая ситуация особенно типична за пределами математики. Но даже если утверждение формулируется в чисто дедуктивных терминах, то в прикладной математике часто идут не по пути отыскания дедуктив­ ного доказательства, а пользуются индукцией, которая может ока­ заться существенно менее трудоемкой и в то же время не менее убе­ дительной для прикладника.

*) Не следует путать индукцию с так называемым методом полной мате­ матической индукции, согласно которому какое-либо свойство присуще всем натуральным числам, если оно присуще числу 1 и если из того, что этим свойством обладают все натуральные числа ся, вытекает, что им обладает и число n -'r 1 • Этот метод, конечно, является полностью дедуктивным.

Дедуктивное изучение индуктивных процедур см., в частности, в {136,53&J.

Конечно, весьма важен выбор примеров, на которых исследуется доказываемое утверждение: если математические объекты служат моделями реальных, то эти примеры являются как бы моделями моделей. При этом существенно, чтобы примеры были типичными в изучаемом отношении, т. е. чтобы исследуемое свойство не было полностью связано со специфическими чертами примера, а присутст­ вовало у всего класса объектов, из которого выбраны примеры. Ре­ шения о том, является ли тот или иной пример типичным, а также, сколько требуется примеров, выносятся на рациональном уровне, на основе опыта, аналогий и интуиции. Ясно, что чем больше разоб­ рано примеров, охватывающих различные ситуации, тем заключение убедительнее; однако бывают задачи, в которых разбор каждого примера вызывает настолько большие трудности, что даже второй пример может оказаться недоступным. С другой стороны, если раз­ бор примеров не слишком сложен, то после определенного их коли­ чества, разного в различных задачах, доказываемое утверждение становится практически достоверным и дальнейший разбор приме­ ров только для подтверждения этого утверждения делается нецеле­ сообразным *). Отметим один из наиболее убедительных признаков такой достоверности: на основании первых примеров делается гипо­ теза, приводящая к предсказанию, которое, затем проверяется на примерах, независимых от первых.

Особое преимущество имеют примеры, обладающие параметра­ ми: разбор таких примеров часто дает возможность прозондировать многообразие изучаемых объектов, а анализ зависимости решения от параметров предоставляет дополнительную полезную информа­ цию. Здесь проявляется общий рациональный метод интерполяций и экстраполяции, применимый в широком смысле не только к зави­ симости одних величин от других, но и вообще к любым понятиям и методам, включающим параметры, по которым производится про­ должение.

В качестве п е р в о г о п р и м е р а рассмотрим задачу о ма­ лых колебаниях вязкой жидкости, частично заполняющей ограни­ ченный сосуд и расположенной в поле тяготения, с учетом сил по­ верхностного натяжения. Соответствующая задача без учета этих сил рассмотрена на дедуктивном уровне в общих предположениях о форме сосуда [18]; в частности, оказалось, что спектр собственных

желая испытать новую двуколку, «легкомысленно в оную вскочил, отчего она, ничем в оглоблях придержана не будучи, в тот же миг и от тяжести совсем назад опрокинулась, изрядно лорда Кучерстона затылком о землю ударив. Однако сим кратким опытом отнюдь не довольный, предпринял он такой сызнова проделать; и для сего трикратно снова затылком о землю уда­ рился. А как и после того, при каждом гостей посещении, пытаясь объяснить им оное свое злоключение, он попрежнему в ту двуколку вскакивал и с нею о землю хлопался, то напоследок, острый пред тем разум имев, мозгу своего, от повторных ударов, конечно лишился».

— так называемый интеграл вероятностей. Мы получили автомо­ дельное решение (см. 32), обладающее при /> 0 непрерывными произ­ водными всех порядков, т. е. начальное рассогласование сразу же ликвидируется, не порождая никаких разрывов. Ясно, что разо­ бранный случай является типичным.

Любопытный п р и м е р , основанный на материале чистой ма­ тематики, приведен в книге Д. Пойа [963, с. 339—342]. Допустим,

что кто-то припомнил формулу Герона S — V р ( р — а) (р — Ь)(р — с) (р= (а+Ь+с)!2) для площади треугольника со сторонами а, А, с, но не вполне уверен в своей памяти. Тогда последовательная про­ верка этой формулы для простых независимых случаев равнобед­ ренного, прямоугольного и вырожденного треугольников доводит эту степень уверенности до полной.

Доказательство на примерах часто сочетается с численным экспе­ риментом. Дело в том, что возможность и качество применения того или иного вычислительного метода к конкретным задачам почти никогда не удается выяснить на чисто дедуктивном уровне, да этим обычно и не занимаются. Чаще всего сочетают дедуктивное рассмот­ рение какой-либо модельной задачи с численным экспериментом в типичных условиях. Если как дедуктивное рассмотрение, так и се­ рия экспериментов показывают удовлетворительное качество мето­ да, то можно сделать индуктивное заключение о возможности при­ менения данного метода в общем случае, по крайней мере в классе задач, прозондированном экспериментами. (См. также [361].)

д) Использование результатов приближенного вычисления при отсутствии строго полученной явной оценки ошибки — оценки, в ко­ торой предельная погрешность в конкретных примерах принимала бы конкретные (см. с. 15) числовые значения. Только в самых прос­ тых вычислениях или в примерах учебного характера оценку ошиб­ ки можно получить строго на дедуктивном уровне. Чаще всего де­ дуктивно выведенная оценка ошибки имеет асимптотический ха­ рактер. Например, она может иметь вид: абсолютная погрешность имеет порядок О(Л2), где Л — шаг сетки; другими словами, эта по­ грешность не превосходит СЛ2, где постоянная С не указываемым явно и притом сложным образом зависит от параметров задачи, в частности, она может зависеть и от искомого решения. Такая оценка, строго говоря, ни при каком А не дает ничего конкретного. Надо добавить, что для многих вычислительных методов не проводится оценка влияния ошибок округления; там же, где такая оценка про­ ведена, она также имеет асимптотический характер.

Отсутствие дедуктивно полученной оценки ошибки вычислений обычно не вызывает никакого беспокойства и вряд ли бывает источ­ ником неприятностей. Контроль точности можно провести на ра­ циональном уровне с помощью видоизменения вычислительного ме­ тода или изменения его параметров (об этом мы будем говорить в п. 3.5), а также с помощью расчета контрольного примера с заранее

108 ГЛ. I. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

известным решением (см. подпункт в). В простых случаях от асимп­ тотической оценки ошибки можно перейти к конкретной оценке на рациональном уровне следующим образом. Допустим, что ошибка имеет порядок О (А*). Примем тогда, что отклонение приближенного решения от точного в некоторой выбранной норме равно СА*, где С — заранее неизвестная постоянная. Уменьшим А в несколько раз, например вдвое, и построим новое приближенное решение; пусть оба приближенных решения отличаются друг от друга в указанной норме на а. Тогда а должно быть заключено между СА*—С(А/2)* и СА*+С(А/2)*, откуда СА*=(4/ (Зч-5))а«а. Это значение и можно принять за оценку ошибки первого приближенного решения, тем более, что такая оценка обычно дается лишь с одной верной циф­ рой, а часто представляет интерес только порядок ошибки. Как видим (это имеет место и для других примеров с не слишком медлен­ ной сходимостью приближенных решений к точному), за оценку отличия приближенного решения от точного можно принять оценку отличия этого приближенного решения от другого, более точного.

Приведенная в предыдущем абзаце оценка отклонения прибли­ женного решения от точного имеет апостериорный характер, т. е. опирается на результат уже проведенного приближенного вычисле­ ния. Вообще, по-видимому, только апостериорные выкладки спо­ собны приводить к оценкам погрешности, которыми можно было бы пользоваться в конкретных примерах, тогда как наиболее распро­ страненные в чистой математике априорные оценки либо имеют асимптотический характер, либо же чересчур пессимистичны. Пред­ ставляется важной разносторонняя разработка методики апостери­ орных оценок как на дедуктивном, так и на рациональном уровнях. См. по этому поводу 1166, § 14].

е) Применение вычислительных методов, сходимость которых строго не доказана. Такая ситуация является довольно распростра­ ненной, в частности, при решении дифференциальных и интеграль­ ных уравнений математической физики. Сходимость метода, а также его устойчивость относительно ошибок округления чаще всего про­ веряются лишь для модельных уравнений простейшего вида, но об­ ладающих типичными особенностями основного решаемого уравне­ ния, например для линейных уравнений с постоянными коэффи­ циентами, для самых простых нелинейных уравнений и т. п. По­ скольку дедуктивно доказанной сходимости (расходимости, устой­ чивости, неустойчивости) процесса на хорошо подобранной модели обычно отвечает его практическая сходимость для моделируемой математической задачи, то такое дедуктивное рассмотрение и счи­ тается обоснованием; конечно, оно имеет лишь рациональный ха­ рактер.

Бывают и случаи, когда модельную задачу подобрать затрудни­ тельно, а иногда поисками ее даже не занимаются, полагаясь на аналогии или просто удачу, везение. В этих случаях заключение о правильности решения можно вынести на основании сходства с ожи­

(п. 3.6).

С рассмотренным видом рациональных рассуждений непосредст­ венно связан следующий.

ж) Изучение и применение решения задачи в случаях, когда соот­ ветствующие теоремы о разрешимости (т. е. о существовании и единственности решения) не доказаны. Так, дедуктивное исследова­ ние задачи может оказаться слишком сложным и потому пока недо­ ступным чистой математике, как это порой бывает для задач матема­ тической физики. Может оказаться, что, хотя теоремы о разреши­ мости имеются, они в рассматриваемых условиях не применимы, так как не выполнены все предположения, на которые опираются эти теоремы (или не удается их выполнимость проверить), например требования гладкости.

Однако гораздо чаще при решении прикладной задачи вообще не задумываются о том, доказана ли соответствующая теорема о разрешимости и как ее доказать. Вместо этого пытаются выяснить на рациональном уровне — на основе опыта, аналогий или исследо­ вания модельных задач — вопрос о правильности п о с т а н о в к и математической задачи. Действительно, в прикладном исследовании математическая задача представляет собой схематизацию реальной картины; в свою очередь, при численном решении эта задача бу­ дет заменена на некоторую ее аппроксимацию. Поэтому чрезмерно детальное исследование точной математической задачи дает сравни­ тельно малую информацию о реальной картине и, если оно требует затраты значительных усилий, становится в прикладном исследо­ вании мало оправданным *).

з) Применение практической бесконечности, т. е. трактовка бесконечно малых и бесконечно больших величин как постоянных, но имеющих иной порядок по сравнению с другими величинами. Об этом способе рассуждений мы подробно говорили в пп. 2.3—2.5 и по­ этому здесь отметим только его характерный внешний признак — знаки 5>> и <^, не применяемые в чистой математике.

С данным способом рассуждений тесно связан следующий.

и) Нелокальное применение результатов локального исследования.

Пусть, например, рассматривается некоторый бесконечный процесс, включающий параметр оО>0 и сходящийся при достаточно малых значениях а, причем соответствующая область сходимости, т. е. не­ обходимая малость значений а, как это обычно бывает, не уточнена. Пусть, далее, требуется воспользоваться этим процессом для иекото-

*) X. Розенброк, С. Стори [279, с. 41] пишут: «Инженер... будет считать само собой разумеющимся существование решения для разностного уравне­ ния там, где математик дал бы доказательство существования. Если он делает ошибку при этом, что, конечно, возможно, то не вследствие того, что ввел неверное допущение (как сказал бы математик, принимая уравнение как данное), а скорее из-за того, что уравнение, заданное исходной формулиров­ кой, было некорректно, и он был не в состоянии проверить это».

п о ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

рого вполне определенного, быть может относительно не малого, значения а. Тогда применение процесса считается правомерным, если а интуитивно все же признается относительно малым, а если а не мало, то эта правомерность определяется по самым первым шагам процесса.

Известны многие задачи, в которых качественные выводы, сде­ ланные на основе разложения решения в ряд по малому параметру, оказываются справедливыми и при значениях этого параметра, для которых ряд расходится. Н. Н. Баутин, приводя общие соображе­ ния по этому поводу, справедливо указывает [27], что в таких слу­ чаях метод малого параметра «играет роль индикатора, обнаружи­ вающего то, что существует независимо от сходимости рядов».

Аналогичный ход рассуждений обычно применяется также, когда понятием, имеющим инфинитезимальный характер относительно некоторых параметров, т. е. включающим неуточняемо малые их значения, нужно воспользоваться при конкретных значениях этих параметров. Так, факт устойчивости решения по Ляпунову (т. е. устойчивости относительно достаточно малых начальных возмуще­ ний) принимается как соображение в пользу практической устой­ чивости соответствующей физической системы относительно реаль­ ных возмущений, которые всегда конечны.

к) Применение понятий вне рамок их первоначального определения.

Об этой черте уже упоминалось в подпункте а). Так, интеграл, пер­ воначально определенный для непрерывных функций, может при­ меняться и для разрывных функций. Какой-либо параметр, по пер­ воначальному смыслу принимавший вещественные значения, может в некотором рассмотрении оказаться принимающим комплексные или матричные значения и т. д. Интуиция может подсказать воз­ можность и пользу такого применения до его точной расшифровки, даже если оно первоначально окажется противоречащим устано­ вившимся представлениям. Именно таким путем были введены в ма­ тематику мнимые числа, дельта-функция Дирака и т. д.

В качестве характерного примера можно рассмотреть решение

По своему первоначальному смыслу функция <р (х) должна быть дважды непрерывно дифференцируемой, так как выражение (9) надо подставлять в дифференциальное уравнение. Однако уже давно формулу (9) в приложениях стали применять для непрерывной ку­ сочно-гладкой и даже для разрывной функции <р (х), что может по­