книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики
..pdf
§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ |
111 |
лучиться в реальных задачах. Содержательность результата такого применения не вызывала сомнений, хотя его точный математический смысл долгое время был не вполне ясен. Лишь сравнительно недав но, после создания теории обобщенных решений дифференциальных уравнений, стало понятно, что при этом строится обобщенное реше ние исходной задачи.
В менее наглядных случаях законность и смысл расширения об ласти применения понятия могут оказаться гораздо менее ясными. Такое расширение, связанное, например, с применением расходя щихся рядов и интегралов, может на первый взгляд показаться бес смысленным, хотя и приводящим к полезным следствиям. Подобны ми приемами широко пользовался Л. Эйлер, обладавший гениальной интуицией. Яркий пример приведен в книге [262, с. 41—43]. При
менив |
правило разложения многочлена |
на линейные |
множители |
|||||||
к функции sin а, |
Эйлер пришел к тождеству |
|
|
|
||||||
|
|
|
х° |
|
1—4 |
1 |
|
1 |
|
|
|
л* |
3! 4 5!* |
|
4л2 |
9л2 |
|
||||
|
|
л2 |
|
|
|
|||||
откуда, |
сравнивая |
коэффициенты |
при |
а3, |
получил |
равенство |
||||
I ’ |
1 |
|
1 ■ |
- |
Понимая некоторую |
шаткость |
этого вы |
|||
1“г 2 ^ - 3 * - • • • |
||||||||||
вода, |
Эйлер подтвердил результат непосредственным вычислением. |
|||||||||
Затем, |
приведя аналогичный вывод |
известного ранее |
равенства |
|||||||
1— у |
г j |
—у + |
|
Эйлер заключил: «Для нашего метода, |
||||||
который может некоторым казаться недостаточно надежным, здесь обнаруживается великое подтверждение. Поэтому мы вообще не должны сомневаться в других результатах, выведенных тем же методом» *).
*) Однако в той же книге [2G2, с. 54—55] приведен обратный пример — неправомерного распространения свойств конечных сумм на суммы беско нечных рядов. Рассмотрим сумму ряда
I____________ [_ J ____ 1 L_l___1_ , J ____1 ,
I 2 ' 3 4 + 5 6 *1 7 8 г 9 1 0 + - ~ ’
смолящегося по известному признаку Лейбница. Имеем
о, |
2 |
1 . 2 |
1 |
2 1 , 2 |
|
1 |
. 2 |
I , |
|
= I |
1 3 |
2 |
1 5 |
3 ' 7 |
4 ~ ^ 9 5 + |
“ |
|
В правой части каждому четному знаменателю отвечает только один член (со iнаком —К а каждому нечетному знаменателю — два члена (со знаком -|- и —). Объединив члены с одним и тем же нечетным знаменателем и произведя сложение, получим
Отсюда 21 I, т, е„ I—0, что неверно (в действительности 1=\п 2). Мы предо ставляем читателю найти ошибку в этом рассуждении.
112 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Представляется, что в подобных случаях может оказаться по лезным детальный анализ на дедуктивном уровне хотя бы модель ных схем.
Имеется много других видов рациональных рассуждений; неко торые из-них будут указаны в гл. 2. Сколько-нибудь детально клас сифицировать такие рассуждения пока не представляется возмож ным (наметка классификации по логическому характеру рассужде ний содержится в книге Д. Пойа [262]); однако и из сказанного ясны их разнообразие и распространенность в прикладной математике. Ясен также смысл алогизмов, приведенных во Введении к этой книге: все они представляют собой примеры рациональных рассуж дений и являются алогизмами только с позиций чистой математики-, напротив, с позиций прикладной математики эти рассуждения логичны, полезны и даже необходимы.
Вообще не следует думать, что в рациональных рассуждениях имеется нечто принципиально нелогичное,— логика вовсе не сводится к чистой дедукцииf И действительно, с помощью таких рассуждений мы можем приходить к практически достоверным выводам. Однако логическая структура рациональных рассуждений, как бы синте зирующих формальную логику с интуицией и здравым смыслом, сложнее, чем дедуктивных, и они могут приводить к ошибкам. Но не следует чересчур бояться этих ошибок! Твердая опора на здравый смысл и реальное истолкование результатов, разумный контроль позволят избежать вредных последствий, а анализ ошибок окажется чрезвычайно поучительным для накопления интуиции в данной области (см. п. 2.10). Впрочем, совершенно необходимо отчетливо представлять себе возможные причины таких ошибок (слабые места в рассужден ии и в какой-то мере «степень» их слабости) с тем, чтобы при необходимости повышать степень достоверности полученных рациональных утверждений, о чем мы будем говорить позже. Нуж но стремиться к ясной постановке задачи, отчетливо различать ги потезы и доказательства, размытые и четкие понятия и т. д. Свобода (в частности, логическая) не есть анархия!
Именно ослабление требований к строгой дедуктивности фор мулировок, рассуждений и доказательств позволяет прикладной математике получать результаты, недостижимые средствами чис той математики-, прикладная математика, опираясь на рацио нальные рассуждения, дает возможность добывать полезную ин формацию в тех случаях, когда чистая математика не дает ничего или требует неоправданной затраты усилий *). Поэтому не следует думать, что сочетание дедукции с рациональными рассуждениями, свойственное прикладной математике, является временным и в даль нейшем должно быть заменено чисто дедуктивными рассуждениями.
*) Н. Н. Моисеев (220, с. 7]: «Математик с его традиционной манерой мышления часто оказывается бессилен там, где инженер получает результаты, вполне удовлетворяющие практику».
§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ |
113 |
Напротив,— и в этом состоит один из центральных тезисов этой книги — рациональные рассуждения всегда сохранятся как харак терная черта прикладной математики. С другой стороны, законо мерно, что рациональные понятия и рассуждения и полученные е их помощью утверждения в необходимых случаях подвергаются углуб ленному логическому анализу, в том числе и на дедуктивном уров не *).
3. Дедуктивные элементы рациональных рассуждений. Сложное «многоступенчатое» рациональное рассуждение, как правило, весь ма неоднородно — оно может включать физические соображения, ссылки на интуицию, различные более или менее правдоподобные упрощения, строгие решения математических задач и ссылки на чисто дедуктивные теоремы, вычисления, рациональные элементы, указанные в п. 3.2, и т. д. Каждой из этих составных частей свой ственны свои более или менее установившиеся требования к логиче ской определенности и свои представления о доказатетельности. В. В. Налимов [232, 236] удачно охарактеризовал эту ситуацию как «мозаичность логических структур прикладной математики»; в колористических терминах п. 3.1 можно было бы назвать подобное многоступенчатое рассуждение «пестрым».
Естественно принять (см. [262]), что степени достоверности (прав доподобия) в какой-то мере обладают свойствами вероятностей. Поэтому, если сложное рациональное утверждение А получается в результате конъюнкции независимых рациональных утверждений А и Л 2f ..., A k **), то соответствующие степени достоверности
*) Н. С. Бахвалов [28, с. 13]: «...типична обстановка, когда использу ются методы, применение которых теоретически не обосновано, или теорети ческие оценки погрешности неприемлемы для практического использования; при выборе метода решения задачи и анализа результатов приходится пола гаться на опыт предшествующего решения задач, на интуицию и сравнение
сэкспериментом; и при этом приходится отвечать за достоверность резуль тата. Поэтому для успеха в работе необходимы развитое неформальное мыш ление, умение рассуждать по аналогии, дающие основания ручаться за дос товерность результата там, где с позиций логики и математики (конечно, имеется в виду чистая математика.— Авт.), вообще говоря, ручаться нельзя.
Врассматриваемом вопросе есть и другая сторона. При численном решении конкретных трудных задач, возникающих в других областях зна ния, математик действует зачастую как естествоиспытатель, полагаясь во многом лишь на опыт и «правдоподобные» рассуждения. Крайне желательно, чтобы такая эмпирическая работа подкреплялась теоретическими разработ ками методов, аккуратной проверкой качества методов на конкретных задачах
сизвестным решением, объективным сравнением с экспериментом. При дли тельном продвижении в каком-то направлении без такого подкрепления мо жет теряться перспектива работы, полная уверенность в правильности полу чаемых результатов. Известное высказывание, что «хороший теоретик может истолковывать в желаемом ему направлении любые результаты как расчетов, так и эксперимента», содержит большую долю истины».
**) Другими |
словами, А в логическом отношении имеет вид (Ах верно, |
и Лg верно, о.., и |
A h верно); в записи: А — л Л,-. По аналогии с теорией веро- |
i
ятностей рациональные утверждения можно считать взаимно независимыми,
114 |
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ |
связаны соотношением
( Ю )
Если какое-либо из утверждений A t имеет дедуктивный харак тер и справедливость его известна, то РА.= \. Для чисто математи
ческого рассуждения в с е РА . =1, тогда как для рассуждения в прикладной математике лишь некоторые РА. могут равняться
единице.
Конечно, равенству (10) не следует приписывать смысл твердого количественного соотношения. По ряду понятных причин — раз мытости степеней достоверности и трудности их сопоставления для различных утверждений, а также условности допущения о незави симости этих утверждений — в лучшем случае можно говорить лишь о совпадении порядков левой и правой частей в (10). В этих условиях
дедуктивные элементы сложного рационального рассуждения не име ют преимуществ перед рациональными утверждениями с достаточно высокой степенью достоверности, а следовательно, без ущерба для дела (т. е. для общей достоверности) можно первые заменять вторы ми — рациональными элементами, существенно более достоверны ми, чем наименее достоверное из утверждений A t. (Отметим анало гичную ситуацию: если несколько ослабить самые сильные звенья цепи, то ее прочность, определяемая, конечно, прочностью самого слабого звена, не уменьшится.) Реальная опасность возникает, лишь если одновременно делается целый ряд таких замен; здесь требуется известная осторожность (сравните со сказанным на с. 101).
Нужно отметить, что при большом числе недедуктивных компо нент достоверность сложного рационального рассуждения обычно оказывается более высокой, чем это вытекает из формулы (10), так как на самом деле эти компоненты зависимы. Напомним здесь из вестный парадокс теории надежности, согласно которому достаточ но сложное устройство должно быть признано практически не работоспособным, так как вероятность совместной работы всех его элементов, подсчитанная по формуле типа (10), оказывается весьма малой (в действительности, отказы различных элементов нельзя считать независимыми).
Любопытно, что чисто дедуктивные элементы в общем контексте прикладного исследования иногда играют роль лишь рационального довода, возможно, даже с невысокой степенью достоверности.
Вот типичный пример. Положим, что нужно решить уравнение общего операторного вида x=F(x)y причем вычисление оператора F является достаточно громоздким. Пусть удалось строго доказать, что процесс итераций, построенный на схеме x n+x=F (хп), сходится к искомому решению х жпри любом выборе нулевого приближения; обозначим это утверждение буквой 5, для него Р D= 1. В этом случае
если степень достоверности каждого из них не меняется при любых дополни тельных сведениях о достоверности остальных утверждений.
§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ |
115 |
распространен следующий образ действий: выбирают нулевое при ближение х0 по возможности ближе к искомому решению, после чего строят Xi=F(x0) и это первое приближение принимают за при ближенное выражение для х м, полагая, что хи во всяком случае, лучше аппроксимирует хж, чем это делает х0; последнее утвержде ние обозначим буквой С.
Подчеркнем, что утверждение В не является ни необходимым, ни достаточным для С, а также, что утверждение С отнюдь не яв ляется достоверным; сходящиеся приближения вовсе не обязаны сходиться монотонно, и нетрудно построить примеры, в которых первое приближение отстоит от искомого решения дальше, чем ну левое. С другой стороны, для сходящегося процесса первое при ближение гораздо чаще аппроксимирует искомое решение лучше нулевого, чем наоборот. Поэтому проведенное дедуктивное доказа тельство сходимости (утверждение В) все же не бесполезно, так как оно несколько повышает степень достоверности утверждения С:
Рс/в> Рс,
где РС/в— степень достоверности утверждения С при доказанной справедливости В *).
Но так как в сложном прикладном рассуждении непосредственно используется утверждение С, а не Б, то дедуктивный элемент В здесь играет роль лишь рационального довода, повышающего дос товерность элемента С. К сожалению, это подлинное значение эле мента В не всегда осознается самими авторами подобных исследо ваний (не говоря уже о заказчиках).
4.Степень достоверности и вероятность. В гл. XV книги Д. Пойа
[262]указаны правила простых действий над степенями достовер ности и качественные выводы этих правил: например, чем с большей
уверенностью мы относимся к возможному основанию нашего пред положения, тем больше будет подорвана вера в наше предположе ние, когда это основание будет опровергнуто, и т. п. Мы не будем здесь повторять рассуждений Пойа, а отошлем читателя к его книге.
Если принять во внимание, что от степени достоверности р нель зя требовать сколько-нибудь высокой точности и в окончательном ответе речь скорее должна идти о порядке величины 1—р, то для грубого подсчета р на рациональном уровне можно использовать аналогию между вероятностью и этой степенью. Приведем пример такого подсчета, воспользовавшись для этого ситуацией, упомяну той в п. 3.3, но существенно упростив ее.
Пусть рассматриваются итерации двумерного вещественного чис лового вектора, определенные формулами
xn+1 = axn+ byn, yn+1 = cxn+ dyn,
*) |
Если о типе оператора F ничего не известно, то на основании личного |
опыта |
мы бы оценили Р с ^ 0,2, Р с/в —0,8. |
116 |
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ |
причем известно, что, будучи начаты с любых значений х0, г/0, они в пределе при п -+• оо приводят к нулевым значениям (это утверж дение В). Какова степень правдоподобия того, что при этом первое приближение окажется ближе к нулю, чем нулевое (утверждение С)?
Чтобы перевести задачу на точный вероятностный язык, надо сделать определенные предположения о законе распределения ее параметров и уточнить все термины. Для этого допустим, что все коэффициенты a, b, с, d равномерно распределены на отрезке [—1, 1], так как при больших коэффициентах метод итераций вряд ли будет применяться; кроме того, примем, что закон распределения нулевого приближения (х0, ув) не зависит от полярного угла ф в плос
кости х, у . За меру близости к нулю примем V х3 -f уг; тогда утверж
дение С означает, |
что |
х\+ у\ < xJ-f-t/J. Так как |
для x0=r«cos <р, |
||
y„=r0 sin ф |
имеем |
x1= r 0(a cos ц>+Ь sin ф), t/i= r0(c совф-М sin ф), |
|||
то утверждение С принимает вид |
|
|
|||
|
(a cos ф-fft sin ф)Ч- (с cos ф+ d sin ф)2< 1 . |
(11) |
|||
Для справедливости утверждения В необходимо и достаточно, |
|||||
чтобы корни |
характеристического уравнения |
|
|
||
|
I а — К |
b |
ZEE А.2 — (a -f d) X-j- ad— be = |
0 |
|
|
I с |
d - K |
|
||
были по модулю меньше 1. Для вывода соответствующего признака совершим подстановку (1+а>)/(1—w). Мы получим квадратное уравнение относительно w, корни которого должны иметь отрица тельные вещественные части. Для выполнения последнего условия необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты указанного квадратного уравнения имели одинаковые знаки, т. е.
1 + a+ d+ ad—Ьс>0, 1—а—d+ad—bc>0, 1—ad+bc> 0.. |
(12) |
||
Таким образом, при сделанных предположениях вероятность |
|||
события |
С |
при условии В равна среднему значению J функции |
|
/(а, Ь, с, |
d) |
по части куба —l^ a , b, с, d<Cl, в которой удовлетво |
|
ряются неравенства (12), где / при заданных a, b, с, d есть средняя мера множества тех фбЮ. я], для которых выполняется неравен ство (11). Подсчет / на ЭВМ по методу Монте-Карло 3S, произведен
ный М. А. Свечкаревой, дал результат /=0,83.
В качестве другого примера рассмотрим степень достоверности упомянутого выше вывода о сходимости степенного ряда при конк ретном значении аргумента, если этот вывод сделан на основании сравнения первых членов ряда. Пусть ряд имеет вид
ao+aiX+a2X2+ ... (13)
Типичным рядом с конечным радиусом сходимости г служит сумма геометрической прогрессии, при г=1 имеющая вид а0(1±
± х + х*± х3+ ...).
§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ |
117 |
Примем, что все коэффициенты ряда (13) независимы и равно мерно распределены на отрезке [—1, 1], т. е. для сходимости должно быть |х |< 1 . Однако окончательный результат будет выражен в терминах членов ряда (13), а не его коэффициентов; поэтому, так как от любого радиуса сходимости г можно с помощью подстановки х —гх* перейти к случаю г=1, этот результат будет применим для любого радиуса сходимости, в том числе и заранее неизвестного.
Допустим, что ряд (13) признается схо
дящимся, если |
|
|
\ахх\ |
< а | а о | , |
(14) |
где а — некоторое выбранное |
число; так, |
|
иногда принимают |
а=1/3, т. |
е. требуют, |
чтобы второй член |
ряда был |
по абсолют |
ной величине по крайней мере в 3 раза меньше первого. Допустим, что х равно-
распределен на интервале, определяемом неравенством (14), и
вычислим при всех |
этих предположениях вероятность того, что |
| х| <1, т. е. ряд (13) |
действительно сходится. Эта вероятность р |
равна среднему значению доли тех х, для которых |х |< 1 на ин тервале (14). Так как значения х, для которых | х |> 1, имеются толь ко в заштрихованной на рис. 6 области, то в силу симметрии карти ны искомое среднее значение равно
1 а а0
М|-тММ^кл,,=|--т-
О о
Отсюда по правилам теории вероятностей получаем, что если, кроме (14), требуется, чтобы третий член ряда (13) был связан со вторым аналогичным неравенством с тем же а, то степень достовер ности утверждения о сходимости ряда (13) равна 1— (а/4)2 и т. д. В частности, при а= 1/3 получаем значения 0,9; 0,99 и т. д., кото рые представляются довольно правдоподобными. Интуитивно пред ставляется также, что примерно такой же результат должен полу читься и для числовых рядов. При этом всюду имеются в виду такие ряды, для которых о законах образования коэффициентов (а для числовых рядов — членов) заранее ничего не известно. Если по ка ким-то известным причинам первые коэффициенты особенно малы или велики, то соответствующие члены не должны фигурировать в условиях прогноза сходимости.
Конечно, можно указать немало возражений против применен ных здесь схем вычисления степени достоверности, особенно во вто ром примере, ьсе же думается, что при любой р а ц и о н а л ь н о й схеме этого вычисления получатся значения такого же порядка, который только и существен. Другие примеры подсчета степени дос товерности на основании аналогии этой степени с вероятностью со
118 |
ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ |
держатся в книге [38]. По-видимому, возможна общая методика та кого подсчета, быть может, аналогичная методике проверки гипотез.
5.Контроль и повышение правдоподобия. Во 2-м томе книги
[262]рассмотрен ряд схем рассуждений, в результате которых ис ходное утверждение становится более правдоподобным, т. е. при обретает более высокую степень достоверности. Это, в основном, подтверждение следствия из рассматриваемого утверждения, при чем повышение правдоподобия тем выше, чем менее правдоподобным представляется априори это следствие, а также подтверждение или хотя бы повышение правдоподобия утверждения, которое представ ляется аналогичным рассматриваемому. Мы не будем повторять эти соображения в общем виде, а остановимся на некоторых способах повышения правдоподобия, свойственных прикладной математике. Важной задачей будущего является выявление, систематизация, анализ и дальнейшая разработка этих способов.
Важнейшим средством повышения правдоподобия какого-либо утверждения является его повторное независимое получение (ра циональное доказательство). Если случайное совпадение результатов маловероятно, то для этого совпадения должна быть определенная причина *); а если доказательства независимы, то причина скорее всего в том, что рассматриваемый результат верен. При этом по строение независимых доказательств может опираться как на то, что одно и то же реальное явление допускает ряд не вполне равно сильных математических моделей, так и на то, что одна и та же мо дель может допускать различные методы исследования. Конечно, если справедливость какого-либо утверждения рационально пока зана на различных математических моделях, то степень достовер ности этого утверждения повышается, причем в тем большей степе ни, чем меньше эти модели зависимы по отношению к данному ут верждению. (Степень такой зависимости и есть степень достовер ности того, что из справедливости данного утверждения в одной мо дели вытекает его справедливость в другой.)
Итак, если в дедуктивных построениях для перехода от одного утверждения к другому достаточно найти хотя бы одно обоснование
иповторные доказательства этого перехода излишни, то в собствен но рациональных рассуждениях весьма желательно «запараллели вание» и притом на всех этапах сложного исследования. Аналогич ная ситуация возникает, если рассуждения проводятся на дедук тивном уровне, но мы не уверены в точности предпосылок: тогда введение избыточности предпосылок (переопределенности задачи) может повысить достоверность результата (см. [366]).
*) «...вероятность того, что это совпадение является только делом слу чая, поэтому значительно меньше, чем (1/2)в0... Следовательно, это совпадение должно быть произведено какой-то причиной, и может быть определена при чина, дающая совершенное объяснение полученных из наблюдений фактов» (Г. Кирхгоф, цит. по [262, с. 281]).
§3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ |
119 |
Не менее часто возникает вопрос о повышении степени досто верности решения, построенного в рамках уже выбранной матема тической модели. Например, это может быть численное решение уравнения, полученное с помощью отбрасывания или упрощения части его членов или путем применения какого-либо вычислительно го метода без достаточно обоснованной оценки погрешности. В этом случае основным способом повышения степени достоверности ре зультата является сравнение его с решением, полученным с помощью другого, независимого вычисления *). Вывод о хорошем качестве решения тем убедительнее, чем по большему числу независимых пунктов совпадают или близки оба результата. В частности, решение приобретает высокую степень достоверности, если искомой является некоторая функция, и ее значения, построенные различными, априо ри не скоординированными методами, окажутся достаточно близки ми на сетке, представляющей всю область определения этой функ ции.
Так, решение дифференциального уравнения, построенное ме тодом сеток, можно проконтролировать, воспользовавшись какимлибо грубым вариантом метода Галеркина. Возможна также про верка решения в рамках избранного метода. Например, результат, полученный методом сеток, хможно проверить, уменьшив шаг сетки: в самом деле, неправильно выбранный сеточный метод может ре ально привести лишь к практической расходимости (скажем, если не проверена устойчивость метода); нужны уж совсем грубые ошиб ки в реализации метода, чтобы он практически сошелся, но не к ис комому решению. Результат применения метода Галеркина можно проверить, изменив базис. Можно также просто расширить базис, но надо иметь в виду, что при этом результаты будут, вообще гово ря, скоординированными, так что сравнение, например, результата вычислений при трех координатных функциях и аналогичного ре зультата при одной добавленной координатной функции вряд ли бу дет доказательным; однако добавление еще нескольких функций может раскрыть тенденцию **).
*) Этот вопрос рассмотрен также в [262, с. 395—396Ь **) Интересная проблема возникает в связи с вопросом о полноте 34
системы координатных функций в методах типа Галеркина. Вспомним о том, что даже если мы исходим из полной системы функций, то реально выбираем из этой системы лишь небольшое число функций. С другой стороны, легко проверить, что л ю б у ю конечную систему функций можно считать частью некоторой полной системы. Однако это отнюдь не означает, что с точки зре ния полноты конечные системы функций, которые мы выбираем в качестве координатных, ничем не различаются. Выбираемая система должна обладать свойством практической полноты относительно решаемой задачи, т. е. должна быть уверенность (или хотя бы надежда), что искомое решение можно с при емлемой точностью аппроксимировать линейной комбинацией координатных функций. Обычно этим свойством обладает набор первых членов какого-либо из распространенных бесконечных базисов для рядов Тейлора, Фурье и т. п.4 хотя иногда приходится этих членов брать довольно много. Знание свойств искомого решения может при том же числе-базисных функций существенно
120 |
ГЛ. I. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ |
Хорошее совпадение решений, построенных независимыми (нескоординированными) методами, по многим независимым признакам может довести достоверность этих решений до практически полной, так как невероятно, чтобы такое совпадение оказалось случайным. Грубо степень этой достоверности можно пытаться оценить по мето дам теории вероятностей (п. 3.4), ориентировочно вычислив поря док вероятности случайного совпадения решений по рассматривае мым признакам. Другая возможность применения теории вероят ностей состоит в том, чтобы рассматривать приближенное решение как результат наложения на точное решение случайных ошибок; тогда из сравнения приближенных решений можно, приняв ту или иную гипотезу о характере этих ошибок, ориентировочно установить доверительный интервал для точного решения. Если приближен ные решения, полученные различными методами, расходятся срав нительно сильно, то необходим анализ возможных причин такого расхождения.
Особо надо сказать о задачах, содержащих малодостоверные ис ходные данные или сильно размытые величины. Здесь повышение степени достоверности решения иногда удается получить путем про извольного варьирования указанных величин в пределах, свойствен ных данной задаче. Естественно, что заслуживают доверия только результаты, устойчивые относительно такого варьирования, кото рое заодно показывает степень их точности. Если эта степень недо статочна или если решение окажется неустойчивым (чего не следует скрывать ни от себя, ни от других), то надо поискать дополнитель ные исходные данные или даже изменить постановку задачи.
До сих пор мы говорили о численном решении единичных задач, т. е. задач, в которых значения всех параметров заданы. Если речь идет о решении серии однотипных задач, скажем, различающихся значениями параметров, то описанный контроль надо проводить для одного или нескольких наборов значений параметров, достаточно убедительно представляющих полный диапазон значений этих пара метров. При этом мы как бы пользуемся методом аналогий, о кото ром упоминалось в начале этого пункта,— полагаем, что если метод оказался хорошим для некоторой задачи, то он будет хорошим и для задач, аналогичных разобранной. Такой выборочный контроль часто дает возможность обнаружить опасные для выбранного вычисли тельного метода зоны изменения параметров, если такие зоны имеют ся. При этом контроле большое значение имеют задачи с известными решениями (см. п. 3.2в), так как такие решения делают излишним
повысить точность построения; например, если решение должно иметь в некотором месте «горбик», то в качестве одной из координатных функций надо взять такой «горбик» и т. п. Однако здесь возможен источник ошибки: на пример, если исходить из того, что решение будет четной функцией и в связи с этим взять только четные координатные функции, а на самом деле эта гипо теза окажется несправедливой, то приближенные решения даже в случае их сходимости будут аппроксимировать некоторую функцию, не являющуюся решением.