книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

Здесь величины с верхним индексом 0 соответствуют значениям функций в точ­ ке Мь в момент /+ т; величины «с волнами» являются соответствующими зна­ чениями коэффициентов средних полиномов.

Мы пришли, таким образом, к простому результату, который подтверж­ дает правильность проведенных рассуждений,— разностная схема для урав­ нений (2.23), (2.24) получается путем замены входящих в них производных

а первую производную df/dt можно представить в виде (f°—/0)/т.

Ввиду того что в уравнения (2.33), (2.34) не входят коэффициенты f x и f yr их следует сначала исключить из системы (2.31), а затем уже решать понижен­ ную на два порядка систему. Это значительно сокращает объем вычислений

Критерий (2.37) означает устойчивость (2.35) (т. е. устойчивость схемы (2.33)). Сформулируем условие устойчивости более определенно. Для этого вновь рассмотрим регулярную сетку (2.18). Тогда уравнение теплопроводности (2.23)

можно решать по традиционной схеме

T k' m ^ ТAi mi]+Т Тг(Тк+^2 У 1. я + т„, т+1+ Тк_1, ,п+ Тк. OT_t - 4 Тк, J . (2.38)

Все обозначения здесь прежние.

Заметим, что в (2:38) используются только четыре соседних точки, окружающие данную точку (хк, у т)— (хк+1, у т), (хк, ^т _х), (хк_и у т), (хк, у т+1).

Однако, согласно условию (2.32), число соседних точек должно быть Такое расхождение объясняется тем, что для нахождения ^суммы коэффициен­

тов (Тхх+ Т уу), входящих в (2.33), достаточно четырех соседних точек, находя­ щихся на взаимно перпендикулярных прямых и проведенных через Af0(*0, Уо)- Д ля определения же коэффициента f xy необходима пятая точка. Следовательно, для решения уравнений вязкости (2.34) необходимы пять точек, так как в них входят все коэффициенты: иХХ1 uxyt uyyt vXXt vxy, vyv.

Покажем, что для решения (2.33) достаточно четырех точек, лежащих на взаимно перпендикулярных прямых, пересекающихся в М 0. Так как выраже­ ние »ТХХ+ Т УУ инвариантно относительно поворота, то рассмотрим случай, когда вышеуказанные линии параллельны осям координат. В качестве пятой возьмем любую соседнюю точку из множества ЭД1, не лежащую на этих линиях.

систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными: f x, f y, f xxt f yy. Опре*

§2] ПОСТРОЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СОСЕДНИХ ТОЧЕК 43

деляя их для случая равноотстоящих точек, мы придем к схеме (2.38). Условия (2.36) применительно к схеме (2.38) дают следующие условия устойчивости:

Аналогичный результат получим и при исследовании схемы (2 .34) на регу­ лярной сетке (2.18) с помощью собственных функций (2.20). В простейшем слу­ чае будем иметь здесь

(2.40)

Сходство (2.39) и (2.40) происходит из-за того, что система уравнений вязкости (2.24) аналогична двум уравнениям (2.27) (типа уравнения теплопроводности

Это условие, как и прежде, следует дополнить условием достаточной угловой плотности точек, т. е.

причем знак равенства может иметь место только в случае уравнения тепло­ проводности.

Заметим, что граничные условия в методе свободных точек ставятся так же, как и в методе крупных частиц, с помощью рядов фиктивных точек вне рассчитываемой области. Задавая определенные параметры в этих фиктивных точках, можно обеспечить на границе выполнение нужных краевых условий.

§ 2. Построение последовательности соседних точек

Итак, первый аспект построения численного алгоритма В. Ф. Дьяченко метода свободных точек — разработка разностной схемы для произвольного шаблона — выполнен. Перейдем теперь к рассмотрению второго аспекта: вы­ бору шаблона для каждой точки (построение совокупности соседних точек)

Пытаясь сформулировать идеи алгоритма построения шаблона, заметим следующее. Не надо стремиться чрезмерно уменьшать количество соседних точек, так как это приведет к большим флуктуациям при переходе от одной рас­ четной точки к другой (в некотором смысле аналогичная ситуация наблюдается в методе частиц в ячейках). Если число соседних точек мало, то относительный вес каждой из них велик, что приводит к значительным флуктуациям при из­ менении числа соседей в процессе счета. В то же время не надо брать излишне много'точек, это приводит к значительному увеличению времени счета. Не следует также использовать дальние точки, так как их присутствие увеличи­

44 МЕТОД СВОБОДНЫХ ТОЧЕК [ГЛ. II

вает эффективный пространственный шаг и, следовательно, уменьшает точность вычислений. При этом необходимо потребовать инвариантности алгоритма от­ бора соседних точек относительно начала отсчета, т. е. относительно порядка

рассмотрения точек.

Несмотря на некоторую неопределенность перечисленных выше требова­ ний, в каждом конкретном случае они позволяют нам однозначно выбрать искомую последовательность соседних точек. Проблема заключается в их алгоритмизации.

2. Опишем процедуру отбора соседних точек для произвольной точки М 0. Пусть некоторое множество точек тп удовлетворяет условиям устойчивости (2.43) и угловой плотности (2.44), а также содержит искомую последователь­ ность соседних точек m*=7l4i, ... , M N. Отбор последних будем производить, введя понятие так называемой области тени данной точки М*, М* £ т , отно­ сительно точки М 0. Все точки, расположенные в области тени, исключаем из

Совершенно естественно потребовать, чтобы эта кривая была симметрична от­ носительно линии М 0М* и не зависела от выбора начала отсчета ср. Тогда углы будут встречаться в (2.45) лишь в виде комбинации |ср—ср*|. Очевидно также требование независимости вида кривой F от масштаба измерений R. Вследствие этого (2.45) примет вид

Кривая (2.45') должна удовлетворять следующим требованиям: ^(1 , 0)=0, т. е. она проходит через точку М*;

Ф_ф» [у > 0» т *е- по меРе увеличения угла |ф—ср*| кривая уходит все

дальше от точки М 0 (рис. 2.1). Например, можно использовать F вида

Процесс отбора соседних точек заключается теперь в нахождении областей тени ряда точек. При этом точки, которые попадают в какую-либо область тени, в дальнейшем не рассматриваются. Практически алгоритм сводится к опреде­ лению знака функции F ( R * J R ^ |ср**—cpj).

Пусть крдвая (2.45') лежит целиком внутри некоторого угла |ф—ф^КДхф (как, например, (2.45)). На этот угловой размер тени следует обращать особое внимание. Если Дхф будет мало, т. е. тень узкая, в число соседних могут по­ пасть достаточно удаленные точки, что нежелательно. Если же Дхф будет слишком велико, то может нарушаться условие угловой плотности (2.44). В этом случае в секторе, где оказалось мало точек, следует повторить отбор, уменьшив Д]ф. В силу указанных соображений угловой размер тени должен ле^ать в определенных пределах. Так, для функции (2.46) можно начать с Д ф ^

Отметим, что фактически область влияния точки М* превосходит размер -ее угловой тени. Каждая точка М**, находящаяся внутри области тени точки

М*, продолжает эту область на величину ср**—<р*. Данное обстоятельство, вообще говоря, надо учитывать во время процедуры отбора соседних точек, иначе результат будет зависеть от порядка рассмотрения точек множества тп. Однако, для упрощения вычислительного алгоритма, все точки, попавшие

вчью-либо тень, из дальнейшего рассмотрения можно просто исключать.

3.Из общих соображений ясно, что для отбора точек, соседних с точкой М 0, отнюдь не следует рассматривать все множество ш. Разумнее предвари­ тельно выделить некоторое подмножество mi (достаточно большую окрест­

ность точки М 0)у заведомо содержащее последовательность соседних точек т #= М 1, ..., M N. Эта операция нужна лишь для уменьшения времени выборки m (что существенно уменьшает объем вычислительной работы), поэтому в дан­ ном случае можно пользоваться сравнительно грубыми методами. Включение в mi нескольких лишних точек «компенсируется» простотой алгоритма.

Упорядочим каким-либо способом все расчетные точки. Это поможет нам выделить множество mi. К тому же то или иное упорядочение необходимо, хотя бы для определения очередности рассмотрения выделенных точек. Порядок систематизации точек может меняться со временем.

Полное упорядочение множества двумерных точек, отвечающее относи­ тельному расположению пар расчетных точек, произвести невозможно. Частич­ ное упорядочение осуществим таким способом. Разобьем рассчитываемую об­ ласть линиями у = const на полосы

Внутри каждой полосы произведем упорядочение точек по координате х. Ширина полос зависит от плотности расположения точек. При излишне узких полосах упорядочение выродится в одномерное по */, при слишком широких —

достаточно взять те полосы (2.47), в которых она помещается. Чтобы избежать их полного просмотра для выделения Дх-окрестности, в качестве исходной мож­ но взять любую соседнюю точку М к для предыдущей расчетной точки М 0.

Напомним, что при выборе последовательности m надо исключить из рас­ смотрения слишком близкие точки с Rn< h 0, где нарушается условие устойчи­ вости (2.43).

§3] НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ 49

По-видимому, данное решение носит скорее качественный, нежели количест­ венный характер (неточность оценивается в несколько сот процентов), однако, несомненно, уже отсюда можно извлечь весьма ценную информацию о столь сложном физическом явлении.

Дадим здесь более подробную характеристику полученного решения, следуя работе В. Ф. Дьяченко *). Магнитное поле, заданное на внешней гра­

После выхода ударной волны на ось z (сначала при 2=0) возникает сложная картина движения вещества, определяемая взаимодействием различных фак­ торов: отраженной ударной волны, инерции летящего к оси плотного слоя плазмы, резко нарастающего магнитного поля на границе (Я~1/г), вытекания вещества вдоль оси 2 и др. Некоторое представление о поведении величин на этой стадии дают рис. 2.11—2.14.

На рис. 2.11 представлены графики функций р(^), T (t), v(t), z(t) для одной из расчетных точек, расположенной на оси 2. На рис. 2.12 показана динамика изменения поведения профилей р(г), T(z), v(z) вдоль оси z в различные мо­ менты времени. Рис. 2.13 и 2.14 демонстрируют распределение величин р(г), Т(г)Уи (г), v(r) и Я (г) в районе 2~ 0,07—0,08 и г~ 0 , где дважды возникает плазменный фокус — очень горячая и плотная область небольшого размера.

На заключительных в данной главе рисунках приведем данные, которые показывают изменения расчетной сетки, возникающие при решении сложных магнитогидродинамических задач [51].

*) Д ь я ч е н к о В. Ф. Метод свободных точек для расчета гидродинамических задач. Докт. диссертация.— М.: ИПМ АН СССР, 1970.

**) А. Н. Т и х о н о в , А. А. С а м а р с к и й, Л. А. 3 а к л я з ь м и н с к и й, П. П. В о л о с е в и ч , Д. А. Г о л ь д и н а , Л. М. Д е г т я р е в , С. П. К у р д ю м о в, Ю. П. П о п о в , В. Н. Р а в и н с к а я, В. С. С о к о л о в , А. П. Ф а в о р с к и й . Эф­ фект Г-слоя в магнитной гидродинамике.— М.: Препринт ИПМ АН СССР, 1969.