книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

маемого газа представляют собой эволюционную систему квазилинейных диф­ ференциальных уравнений в частных производных. Локально линеаризуем эту систему, считая, что коэффициенты в уравнениях в некоторой окрестности рассматриваемой точки постоянны и равны их значениям в этой точке. Линеа­ ризация накладывает ограничение на порядок конструируемой разностной схемы — он должен быть минимальным.

Решение линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных в момент времени t+ A t можно выразить в виде интегралов от значений функций в момент t. Обозначив через / соответствующий интеграль­

Рассмотрим теперь обобщенную разностную «сетку» в виде множества ди­ скретных точек 3R. Пусть на этом множестве в момент t известно приближенное

где Г — также оператор интерполирования. Рассматривая значения получен­ ной функции Г U (t+At) только в точках множества 9К, будем иметь

Интегральный оператор / зависит лишь от вида исходной системы урав­ нений, которая определяется физической постановкой задачи. Следовательно, конкретный вид квадратурных формул, задаваемых оператором //, зависит от способа интерполирования.

Найдем теперь критерии сходимости решения линейного уравнения (2.2') к (2.1), для чего рассмотрим значения функций и и U в дискретных точках мно­

Введем некоторое понятие нормы. Это можно сделать различными способами *),. например,

||cp|=m ax ф,-. ieSft

Оценивая (2.3) в той или иной норме и учитывая, что рассматриваемые задачи линейны, получим

Ии (t + A t ) - u (t + At) | | < \U \.\U ( t ) - u ( 0 I -НК (W (t)-~u (t)) ||. (2.4)

шаблон будет изменяться при переходе от одной расчетной точки к другой. Вместе с ним будет меняться и конкретный вид разностных формул. В та­ кой сложной ситуации исследование устойчивости крайне затруднено. Поэтому критерии устойчивости будут изучаться здесь для случая регулярного располо­ жения точек и разумным образом обобщаться для произвольного носителя ЗЛ. Отсутствию строгих методов исследования устойчивости, по-видимому, не следует придавать здесь большого значения.

Действительно, ситуация возникает традиционная. Даже на регулярных сетках полное аналитическое исследование устойчивости проводится только в линейном случае. Длй нелинейных задач законченной теории нет. Одна из первых попыток [25], основанная на рассмотрении дифференциальных прибли­ жений, была использована здесь для полного анализа полученных схем метода крупных частиц [23, 29, 30, 33, 62] и будет описана в гл. IV. В то же время опыт показывает, что отсутствие устойчивости проявляется при счете так резко и быстро, что практически задачу по неустойчивой схеме сосчитать нельзя.

Условие (2.6) есть условие аппроксимации задачи (2.1) схемой (2.2'). Поло­ жение с аппроксимацией в некотором смысле обратное, нежели ситуация с ус­ тойчивостью. Результаты расчетов, вообще говоря, не позволяют обнаружить отсутствие аппроксимации, а проверить ее, как правило, легко. Сформулируем здесь условие аппроксимации (2.6) несколько иначе. Поскольку (IU —и) есть ошибка интерполяции, то будем говорить, что точность интерполяции / должна быть достаточной, чтобы применение интегрального оператора I к ошибке ин­ терполяции давало величину порядка о(Д/).

Таким образом, ниже, при рассмотрении метода свободных точек, мы будем разделять условия сходимости на условия аппроксимации и устойчиво­

Ж + к Ж + г'а7+ 7 ^ = 0>

(2.7)

£+“£+»£+^(£+£И. £+-£+»t+p (&+£)-<>•

Как указано выше, эту систему будем рассматривать в окрестности некоторой точки t0i х0, у0, полагая все коэффициенты системы (2.7) в этой окрестности по­ стоянными и равными их значениям в данной точке. Вводя локальные лагранжевы координаты £, г)

(2.9)

3 6 МЕТОД СВОБОДНЫХ ТОЧЕК [ГЛ. II

Найдем решение системы (2.9) в момент времени t2r=%=bt, зная ее решение в момент /i= 0 .

Заметим, что в системе (2.9) первые три уравнения образуют замкнутую систему относительно функций и, v, р. Последовательно исключая из нее и

Определив таким образом давление р, мы можем найти непосредственным интегрированием значения компонент скорости и и v в момент времени ^а= :т = = A t из первых двух уравнений (2.9)

т.

Из последних трех уравнений (2.9) найдем теперь оставшиеся функции

р(т. 1. Л) =Р (о, I, л )+ 7 а[р(^. I, Л)—Р(0. 1. л)].

с0

х(т, I,л)=*(0> I. Л)Ч* иот>

у(т. £. л) =У (0. I. л)+»«*-

Формулы (2.11), (2.11'), (2.12), (2.13) дают для системы (2.9) выражение oneратора L Их можно преобразовать так, чтобы была яснее зависимость решения в момент времени £2= т= Д £ от значений решения в момент ^ = 0 . Опуская про­ межуточные выкладки, выпишем окончательный результат — решение в мо­ мент т в точке 1—х°, г\=у°:

Р°= Ро Л 9Х° =Х0 UQT, у0= Уо-^VQT.

3 8 МЕТОД СВОБОДНЫХ ТОЧЕК [ГЛ. II

окрестности точки х0, у0 дает для функций квадратичную погрешность относи­ тельно величин х—х0, у —у^ h, т. е. в силу (2.15) погрешность будет порядка т2, тh. Для производных Получим линейную погрешность относительно величин х-рдго, у-тУо, К т. е. погрешность порядка т, h. Из рассмотрения (2.14) видно ;гакже, что интегралы от функций содержат конечный коэффициент, а интег­ ралы от производных — коэффициент т.

Таким образом, применение интегрального оператора I (2.14) к погрешно­ сти линейной интерполяции дает величину порядка та, гh. Рассмотрение (2.14') приводит к такому же результату. Следовательно, условие аппроксимации 1(2 .6) выполняется.

Для двумерной линейной интерполяции необходимо знать значение функ­ ции в трех точках плоскости. Вопрос о построении множества соседних точек •будет рассмотрен в следующем параграфе. Здесь же будем считать, что у. нас уже имеется совокупность упорядоченных по углу соседних точек М п(хп, уп) (п= = 1,2,..., N ) фп+1>Фп- В каждом секторе фп<ф <Ф п+1 производим линейную интерполяцию функций /= (и , vt р) по их значениям в трех точках М п, М 0, Ж п+1. Выражение для If можно записать так:

If = f o + fx (•*—*.) + fy (у— У*) =fo + (!х cos ф+ / „ sin ср). (2.15')

В каждом секторе величины fx и fy (т. е. значения uxt и», о*, Vy, />*, ру) постоянны, причем

У ( Ч — Хо)г + (У к — У<>)'* ’

Введем такие обозначения:

Аф = фп+1— ф„. A sin ф = sin фя+1— sin фл, Д с о зф = с о зф п+1—соэф,,.

Подставляя в (2.14) выражение (2.15') вместо и, v, р и выполняя интегрирова­ ние, получим разностную схему для системы (2.7)

Здесь суммирование ведется по всем секторам. Формулы (2.17) определяют оператор / для исходной системы (2.7); с их помощью можно вычислить значе­ ния функций и, и, р, р в точке х°, #°, куда переходит точка х0, у0 за время т.

4. Рассмотрим теперь некоторые аспекты устойчивости разностной схемы (2.17). Как было указано выше, изучим предельный случай регулярной сетки с шагом h

поскольку исследовать устойчивость в общем случае не представляется воз­ можным. Нижним индексом (k, т) обозначим значения функций на слое ti= t0, а верхним — на слое t2= t0+ т,

Мы видим, что уравнения (2.23) и (2.27) — одного типа. Выпишем теперь реше­

Таким образом, здесь построен интегральный оператор I для уравнений теплопроводности (2.23) и вязкости (2.24). Он выражается соответственно фор­ мулами (2.28) и (2.29).

Построим теперь оператор интерполирования /. Покажем, что в данном случае приемлема лишь квадратичная аппроксимация, так как в случае ли­ нейной интерполяции условие аппроксимации (2.6) не выполняется. Действи­ тельно, линейная интерполяция имеет погрешность, квадратичную относитель­

Тогда применение оператора I (2.28) к (2.30) даст величину порядка т+ ... ; это означает, что условие аппроксимации (2.6) не выполняется. Применение оператора I (2.29) даёт такую оценку: производные при линейной интерполя­ ции вычисляются с точностью /? + ..., а величина

со

l e - W R d R ~ т .