книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

(3.9)

простом нагружении вид напряженного состояния соответствует виду деформации, а главные оси напряженного состояния сов­ падают с главными осями деформации. Необходимо отметить, что в общем случае пластической деформации вид напряженного состояния может не соответствовать виду деформации, а главные оси напряжений могут и не совпадать с главными осями дефор­ мации.

Не рассматривая задачи малых деформаций в условиях слож­ ного нагружения, поскольку эта задача является темой узко специальных исследований и не входит в тематику настоящей книги, перейдем к общему случаю конечной пластической де­ формации, т. е. к тому случаю, когда упругие слагаемые де­ формации можно считать пренебрежимо малыми по сравнению с деформациями пластическими, однако идеальная однознач­

с компонентами деформации, а с компонентами скорости дефор­ мации.

17. Связь компонентов напряженного состояния с компонентами скорости деформации

Опыт показывает, что в пределах практической точности при пластической деформации любой материальной частицы формо­ изменяемого тела (в том случае, когда упругие слагаемые ее деформации пренебрежимо малы по сравнению со слагаемыми

В математической теории пластичности допущение о точном совпадении этих главных осей принимается в качестве одной из самых основных гипотез. Тем более эта гипотеза может быть положена в основу приближенных расчетов при решении ряда

'задач обработки материалов давлением. При этом предполага82

стся, что направление действия алгебраически наибольшего главного напряжения всегда совпадает с направлением наибо­ лее быстрого удлинения материального волокна, а направление алгебраически наименьшего главного напряжения — с направ­ лением наиболее быстрого укорочения.

Вторым допущением как в математической теории пластич­ ности, так и при приближенных расчетах является допущение о том, что разности главных напряжений пропорциональны соответствующим разностям главных компонентов скорости де­

Система равенств, устанавливающая связь главных напря­ жений с главными компонентами скорости деформации, может быть получена (путем алгебраических преобразований) как след­ ствие равенств (3.10), (2.12), (1.41) и (1.37).

Эту систему равенств можно написать в следующем виде:

называются компонентами девиатора напряжений относительно принятой системы координат.

Связь компонентов девиатора напряжений относительно при­ нятой системы координат с соответствующими компонентами скорости деформации, удовлетворяющими условию несжимаемо-

них — третью, устанавливаемую равенствами (2.9) и (2.14). Первые две инвариантные характеристики напряженного состо­ яния, т. е. р и а(, остаются неизвестными. Поэтому определение по данным кинематики самих компонентов девиатора напряже­ ний, а не их отношений к интенсивности возможно только при некотором добавочном допущении, например при допущении, что cfj постоянна по объему данного пластически деформируемого тела и что значение at можно заранее считать известным. Данное допущение называют гипотезой идеально пластического состояния рассматриваемого тела.

Гипотеза эта обычно принимается в математической теории пластичности, а также может быть использована при решении многих конкретных задач теории обработки давлением и, в част­ ности, при решении задач в области горячей обработки металлов. При этом мы можем определить в рассматриваемой частице по известной кинематике процесса как значения касательных ком­ понентов напряжений, так и разности нормальных напряжений, воспользовавшись для этого равенствами (3.18), (3.19).

Если к этим равенствам добавить еще условия равновесия любой мысленно выделенной частицы тела, а также условия отсутствия внешних сил на его свободной поверхности, то мы получим воз­

ноте решения задач при принятии гипотезы идеально пластиче­ ского состояния данного тела необходимо здесь же внести опре­ деленную ясность. Не надо забывать о том, что даже при очевид­ ной приемлемости гипотезы идеальной пластичности точное ре­ шение задачи определения напряженно-деформированного со­

условие несжимаемости), а также равенства (3.1§) и (3.19), уста­ навливающие связь напряжений со скоростями деформации.

Таким образом, задача анализа процессов течения идеально пластичного вещества приводится к решению системы 11 дифферен­

(7)

(8)

(9)

В случае, если гипотеза идеальной пластичности (т. е. посто­ янства о и пренебрежимой малости упругих слагаемых деформа­ ции) может быть распространена на весь объем рассматриваемого тела, то система уравнений (3.20) также должна быть удовлет­ ворена во всем объеме этого тела и в нее входит 11 известных переменных, а именно: ах; оу; а/, хху; хуг\ хгх\ vx; vyt и2; г^р.

Выражение гидростатического давления (2.7) получается как следствие уравнений (4), (5), (6), (7) системы (3.20) или системы (3.9). Действительно, если сложить почленно равенства (5),

(6) и (7) любой'из этих двух систем и принять во внимание ра­

Если <т; нельзя считать величиной постоянной по всему объ­ ему рассматриваемого тела, то в систему (3.20) войдет одна лиш­ няя (12-я) искомая переменная а(. Недостающее уравнение оп­ ределяется свойствами деформируемого тела. Так, для идеально

Наиболее сложен математический аппарат для решения задач теории пластического течения физических тел, обладающих свойствами деформационного упрочнения. К таким телам отно­ сятся в основном металлы, деформируемые в «холодном» состоя­ нии (при комнатной температуре). В большинстве задач на хо­ лодную обработку металлов давлением значение <тг нельзя при­ нимать постоянным по объему деформируемого тела.

Общая постановка задачи пластического течения при данных условиях относится к проблемным вопросам. А. А. Ильюшин [31 ] рекомендует в целях учета переменности по объему деформиру­ емого тела о{ за счет деформационного упрочнения вводить в рас­ смотрение новую переменную, а именно степень деформации е{ и еще одно дифференциальное уравнение

Таким образом, получаем в общем случае 12 дифференциаль­ ных уравнений в частных производных с 12 искомыми перемен­ ными. При этом принимается, что функция <тг = Ф {е() вполне определена для каждого металла и может быть получена по дан­ ным его испытания на простое растяжение.

Для различных конкретных задач на конечное формоизме­ нение как при пластическом, так и при вязком течении гранич­ ные условия различны. В основном они сводятся к следующим: 1) вектор скорости на поверхности контакта с неподвижным (относительно принятой системы координат) инструментом касателен к этой поверхности; 2) вектор относительной скорости на поверхности контакта с подвижным инструментом касателен к этой поверхности; 3) на свободной от внешней нагрузки поверх­ ности деформируемого тела одна из главных осей тензора скоро­ сти деформации совпадает с нормалью к поверхности. Этим ус­ ловием и неизменностью объема деформируемого тела определя­ ется нормаль к свободной поверхности.

Очевидно, что приемы решения задач пластического или вяз­ кого течения в общем случае сложны и составляют предмет те­ ории пластичности. Тем не менее отдельные частные решения этой задачи могут быть получены относительно элементарными методами (инженерные методы решения задач).

К достаточно простому решению может быть приведена даже наиболее сложная задача пластического течения с учетом деформа­ ционного упрочнения, например, путем использования равенств (3.21) и (3.22) для частного случая значительной^деформации пла­ стического закручивания стержня. Не слишком громоздко может быть решена и задача затекания идеально пластического веще­ ства в конус. На практике встречается ряд других задач, кото­ рые могут быть решены за счет введения некоторых добавочных упрощающих допущений.

Для случая идеально вязкого течения система дифференци­ альных уравнений (3.20) несколько упрощается. Действительно,

при допущении независимости от координат отношения а1Ы1

однозначное протекание деформации любой отдельно взятой мате­ риальной частицы.

Естественно, что если в результате деформации форма рас­ сматриваемого тела изменяется значительно, то понятие о простом нагружении теряет физический смысл. Тем не менее для неко­ торых частей (или частиц) данного тела, отличающихся особым характером процесса формоизменения, а именно идеальной одно­

были сформулированы в гл. 1 и названы условиями монотонности протекания физически необратимого процесса пластической де­ формации.

Заметим, что допущение монотонности протекания деформации некоторой части тела, претерпевающего значительное пластиче­ ское формоизменение, можно считать обоснованным только в том случае, когда направления главных осей напряженного состоя­ ния в этой части тела заранее (точно или приближенно) известны.

Поэтому задача установления непосредственной связи напря­ жений с деформациями в случае значительного формоизменения сводится к определению зависимостей, связывающих главные напряжения с главными деформациями при монотонном протека­ нии процесса формоизменения рассматриваемой части (или ча­ стицы) тела и при заданных направлениях главных осей ее напря­

т. е. однозначным. Из самого определения этого понятия следует, что при монотонном процессе главные оси результативной (ито­ говой) деформации должны совпадать с главными осями скорости деформации, а следовательно, и с главными осями напряженного состояния.

В гл. 1 были приведены выражения (1.56) главных компонен­ тов конечной деформации (главных логарифмических деформаций), а также было показано, что в случае монотонного процесса глав­ ные логарифмические деформации пропорциональны соответству­ ющим главным компонентам скорости деформации, т. е.

1см равенства (1.53) и (1.54)1.

Принимая во внимание выражение (1.41) интенсивности ско­ рости деформации и выражение (1.20) интенсивности итоговой деформации (которое остается в силе и при значительной дефор-, мации), приводим равенства (3.24) к виду

откуда

Сопоставляя выражения (3.25), справедливые в случае моно* тонного процесса, с равенствами (3.13), получаем для этого слу­ чая

Равенствами (3.26) устанавливается связь главных напря­ жений с главными деформациями в случае монотонно протекаю­ щего процесса конечной пластической деформации. Следует отметить, что при монотонной деформации в значительной мере облегчается учет деформационного упрочнения.

Опыт показывает, что подавляющее число применяемых в тех­ нике металлов обладает более или менее ярко выраженным свой­ ством деформационного упрочнения (холодной нагартовки, на­ клепа), т. е. способностью повышенного сопротивления возра­ стающей пластической деформации.

В настоящее время возможность практически точного учета деформационного упрочнения какой-либо отдельно взятой ча­ стицы металлического тела при условии ее монотонного пластиче­ ского формоизменения не вызывает, по-видимому, никаких сом­ нений. При монотонном или хотя бы приближенно монотонном пластическом формоизменении между интенсивностью напряжен­ ного состояния и интенсивностью результативной деформации

отображающая сопротивляемость материала (металла) при дан­ ном температурно-скоростном режиме его пластической обработки и не зависящая от вида результативной деформации частицы, т. е. от отношения ра'зностей главных компонентов ее напряжен­ ного состояния. Проще всего эту связь установить по данным ис­ пытания материала на простое растяжение вплоть до разрыва образца испытуемого металла. Если соблюдены так называемые условия простого нагружения, т. е. когда все приложенные к телу внешние силы непрерывно возрастают пропорционально одному общему параметру, то при малом пластическом формоизменении зависимость (3.8) может иметь место во всем объеме неоднородно деформируемого тела, а характер ее протекания удовлетворяет обоим условиям монотонности.

С другой стороны, если неоднородно деформируемое тело пре­ терпевает конечное (значительное) формоизменение, то простое нагружение становится неосуществимым (координаты точек при­ ложения внешних сил изменяются) и функциональная связь (3.8) может иметь место не для всего объема тела, а только для