книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

координаты материальных точек (т. е. переменные Эйлера). Эти координаты для напряженного состояния тела являются прямо­ угольными координатами (декартовыми).

Уравнения равновесия в этих координатах имеют простой вид (2.3), такой же, что и в теории малых пластических деформаций. Поэтому при выводе выражений компонентов конечной деформации

впредшествующей главе нам пришлось принимать за независимые аргументы текущие или окончательные координаты материальных точек, а не их исходные координаты, как это обычно принималось

втрудах авторов, занимавшихся вопросами конечной деформации.

Необходимо отметить, что при решении ряда задач практически оказывается неудобно определять геометрическое положение неко­ торой точки в деформируемом напряженном теле ее прямоуголь­ ными (декартовыми) координатами, поскольку имеется возможность путем перехода к криволинейной ортогональной системе координат привести задачу трехмерную (пространственную) к задаче дву­ мерной.

Характерным примером является использование так называе­ мой цилиндрической системы координат при изучении осесим­ метричного напряженного состояния некоторого физического тела.

Мы будем говорить, что используем цилиндрическую систему координат в том случае, если будем определять геометрическое положение любой точки М в деформируемом напряженном теле не тремя ее прямоугольными координатами, т. е. не расстояниями ее до координатных плоскостей, а следующими тремя величинами:

1) расстоянием r = \fx * + y 2 от рассматриваемой точки М до координатной оси OZ; 2) углом 0, образуемым некоторой плоско­ стью, проведенной через точку М и ось 0Z, с координатной пло­ скостью XOZ-, 3) расстоянием г точки М до плоскости XOY.

Величины г, 0, г называют цилиндрическими координатами точки М. Понятно, что цилиндрические координаты определяют геометрическое положение любой точки М, поскольку, зная их, легко вычислить ее прямоугольные координаты: х = г cos 0;

у = г sin 0; г — г.

Если выделить в деформируемом теле частицу, внутри которой располагается точка М, ограниченную поверхностями постоянных значений цилиндрических координат, то окажется, что грани такой частицы пересекаются друг с другом под прямыми углами (это и означает, что цилиндрическая система координат является ортогональной координатной системой). Если обозначить гм, 0м* zM— цилиндрические координаты точки М, то гранями такой мысленно выделенной частицы будут следующие.

1. Две плоские площадки постоянных значений координаты 0:

2. Две параллельные плоские площадки постоянных значений координаты г: г = zM+ ôz/2, z — z„ — ôz/2;

Рассматривая условия равновесия выделенной частицы, убе* ждаемся в том, что равнодействующая всех действующих на нее сил в направлении нормали к меридиональной плоскости тожде* ственно равна нулю.

Проецируя все эти силы на радиальное и осевое направления, получаем после ряда алгебраических преобразований уравнения

'шесть компонентов напряженного состояния (как в общем случае),

ачетыре: три нормальных компонента ав, аг и <уг и один касатель­ ный компонент хгг = хгг. Все эти компоненты не зависят от коор­ динаты 0 и являются функциями двух независимых переменных

г и г .

Уравнений равновесия в случае осесимметричного напряжен­ ного состояния два (система 2.4) с четырьмя неизвестными функ­ циями двух аргументов г и г .

12.Главные напряжения

иглавные оси напряженного состояния

Напряженное состояние любой частицы деформируемого тела вполне определяется шестью величинами1: ах, ау, <х2, хху, хуг, хгх. Эти шесть величин называются компонентами напряженного состояния относительно принятой прямоугольной системы ко­ ординат. Они зависят не только от напряженного состояния рас­ сматриваемой частицы, но и от ее ориентации относительно ко­ ординатных осей. Вместе с тем, каково бы ни было напряженное состояние данной частицы деформируемого тела, всегда найдутся такие площадки, нормали к которым совпадут по направлению с соответствующими этим площадкам векторами напряжений.

Действительно, выделим мысленно в пределах частицы объем, ограниченный четырьмя плоскостями, из которых три параллельны координатным плоскостям. Четвертую плоскость направим так, чтобы на нее действовала только одна нормальная сила, т. е. чтобы вектор напряжения совпадал с нормалью в этой площадке.

Пусть апх, апу, аП2— пока еще неизвестные нам направляю­ щие косинусы нормали к четвертой площадке и ап — вектор

1 Если принятая система координат прямоугольная, то в силу закона пар­ ности касательных напряжений порядок индексов у буквы т безразличен. В про­ тивном случае, если, например, в деформируемом теле координатная система представляется криволинейными, в общем случае не ортогональными, поверх­ ностями постоянного значения каждой из трех начальных координат, то каса­ тельные напряжения хху и хух не равны друг другу.

Если гидростатическое давление характеризует сопротивление частицы изменению ее объема, то интенсивность напряженного состояния определит количественно сопротивление частицы изме­ нению ее формы.

Третья инвариантная характеристика устанавливает вид на­ пряженного состояния: растяжение, сдвиг или сжатие. Значение этой характеристики может быть вычислено по формуле

Когда известны все три инвариантные характеристики напря­ женного состояния (р, ai и Ра), то главные компоненты напряжен­

Чтобы убедиться в том, что выражения (2.10) действительно являются искомыми корнями кубического уравнения (2.6), под­ ставим в уравнение (2.6) вместо неизвестной ап выражение вида

a„ = ^ - o i c°s P „ - p

и будем считать 4 Ря искомой неизвестной. В таком случае, при обозначениях (2.7), (2.8) и (2.9)’уравнения (2.6) после ряда алгеб­ раических преобразований приведем к виду

cos3Pa— 4cos3 р„-f 3cosр„= 0.

Принимая во внимание, что

4 cos3 Рп — 3cosр„= cos'3p„,

Уравнение (2.6а) будет удовлетворено, если принять

Рп = Ра-

Следовательно, первое из выражений (2.10) удовлетворяет уравнению (2.6).

Уравнение (2.6а) будет также удовлетворено, если принять Зря = 360° — Зра. В этом случае

оп = -J- а{cos (120° — Ра) — р = -J- а{sin (Ра — 30°) —р.

Итак, второе из выражений (2.10) также удовлетворяет урав­ нению (2.6).

Далее замечаем, что если принять ЗР„ = Зро + 360°, то и

вэтом случае уравнение (2.6а) будет удовлетворено. При этом получаем

<*п= ° i cos (P® + 120°) — P>

HO

COS фа + 120°) = — COS (60° - pa),

T. e.

On= — -g- °i C0S (60° _ P®) " p‘

Таким образом, все три выражения (2.10) удовлетворяют урав­ нению (2.6). Это значит, что равенства (2.10) дают нам значения нормальных напряжений на площадках, на которых отсутствуют касательные напряжения, т. е. значения главных напряжений.

Можно показать, что площадки, на которые действуют глав­ ные напряжения, взаимно перпендикулярны. Нормали к этим площадкам называют главными осями напряженного состояния.

Значения трех главных напряжений всегда удовлетворяют неравенствам

<Ti3sa233<r3. (2.11)

Выражение (2.8) интенсивности напряженного состояния может быть приведено к аналогичному, но более упрощенному выраже­ нию через главные напряжения

О/ = ] / 4 " К - 0. f + - у (о2 - о3)2 + 4~ (<т8 — Oi)2. (2.12)

Значения всех отношений разностей главных компонентов напряженного состояния определяются значением отношения

женного состояния: растяжение; сдвиг, сжатие. Будем называть вид напряженного состояния растяжением, если среднее главное напряжение (точно или приближенно) равно алгебраически наи­

меньшему (<т2 :=» сг3); сжатием, если среднее главное напряжение (точно или приближенно) равно алгебраически наибольшему глав­ ному напряжению (сг2 «=* Oj); сдвигом, если среднее главное на­ пряжение (точно или приближенно) равно полусумме двух край­

них главных напряжений [сг2 я» -|-(<т1 + o3) J .

Как увидим далее, физический смысл такой классификации видов напряженного состояния заключается в естественном требо­ вании соответствия вида малой деформации, претерпеваемой ча­ стицей изотропного физического вещества (при переходе процесса ее формоизменения в данную стадию из предшествующей весьма близкой), виду того напряженного состояния, под действием ко­ торого происходила эта малая деформация.

Величина v„, как и ра, полностью определяет вид напряженного состояния.

Рассмотрим еще один аналитический способ определения вида напряженного состояния по данным главных напряжений. Для этого укажем на то, что арифметическую сумму трех главных компонентов напряженного состояния, взятую со знаком минус и разделенную на три, принято называть гидростатическим давле­ нием. Если каждый из трех компонентов напряжений имеет знак минус — сжимающее напряжение, — то положительное гидроста­ тическое давление р [см. (2.7)1 будет означать схему всесторон­ него сжатия. Гидростатическое давление отрицательное соответ­ ствует схеме напряженного состояния всестороннего растяжения частицы напряженного тела.

Совокупность сумм главных напряжений и гидростатического давления входит в схему напряженного состояния, именуемую девиатором напряженного состояния. Пользуясь языком тензор­ ного анализа, можно так называемый тензор напряжений, т. е. векторную функцию от векторного аргумента1, разложить на ша­ ровой тензор (у которого три диагональных составляющих из девяти, написанных в виде определителя, друг другу равны,, а ос­ тальные составляющие равны нулю) и на девиатор напряженного состояния. Иначе говоря, любая схема напряженного состояния может быть разложена на схему всестороннего сжатия или рас­ тяжения— схему положительного или отрицательного гидроста­ тического давления — и на схему напряженного состояния, при котором сумма трех нормальных составляющих равна нулю. На­ помним, что гидростатическое давление вызывает только изменение объема элемента, в то время .как вторая схема, представленная совокупностью сумм главных напряжений и гидростатического давления, осуществляет упругопластическое изменение формы материального элемента.

1 Эта функция, будучи представлена совокупностью составляющих напря­ жений на любых трех взаимно перпендикулярных площадях, проведенных через рассматриваемую материальную точку, может определить напряжение на лю­ бой другой площадке, проведенной через данную точку.

Для того чтобы судить о виде напряженного состояния, сле­ дует выделить из тензора напряженного состояния шаровой тен­ зор и по знакам составляющих девиатора установить этот вид.

В частности, когда одна из этих трех составляющих положительна,

адве другие отрицательны (причем каждая из этих двух послед­ них по абсолютной величине меньше положительной), то мы имеем растяжение:

При равенстве двух отрицательных составляющих имеем про­ стое растяжение и при равенстве гидростатического давления нулю — чистое растяжение.

Когда одна из трех главных составляющих девиатора отри­ цательна, а две другие положительны (причем каждая из двух последних по абсолютной величине всегда меньше отрицательной составляющей), то мы имеем сжатие. Когда две положительные составляющие девиатора между собой равны, сжатие будет про­ стое. Наконец, переходным от растяжения к сжатию является третий вид — сдвиг.

Напряженное состояние, называемое сдвигом, будет тогда, когда одна из главных составляющих девиатора напряженного состояния по абсолютной величине мала по сравнению с двумя другими и, 'следовательно, две другие противоположны по знаку. В том случае, когда эти две составляющие по абсолютной вели­ чине равны, а третья равна нулю, мы имеем простой сдвиг. На­ пряженное состояние простого сдвига в том случае, когда шаровой тензор равен нулю, мы называем чистым сдвигом.