книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

(заметим, что плоская задача связана, как правило, с одним и тем же определенным видом деформации, а именно сдвигом).

Экспериментальные работы, целью которых было установить условия возникновения остаточных (неупругих) деформаций в ме­ талле, проводились рядом зарубежных исследователей, из которых необходимо отметить Лоде, Тейлора и Куинни (1926—1931 гг.),

о том, что явление течения металла возникает тогда, когда упру­ гая энергия формоизменения достигает определенного (для каж­ дого металла) значения.

Начиная с 20-х годов настоящего столетия, общей теории на­ пряженно-деформированного состояния тела посвящают свои труды многие авторы. Развиваются три различных направления теории пластичности.

1. Конкретные положения первой динамической теории. Ре­ шаются частные задачи плоского пластического течения; форму­ лируются характерные свойства линий скольжения. Сюда от­ носятся труды Прандтля и Гейрингера за рубежом, А. А. Ильющина [27], В. В. Соколовского [73], И. П. Ренне [55], А. Д. Томленова [78] и других авторов в СССР.

2.Формулируется новая математическая интерпретация про­ странственного обобщения динамической теории, т. е. создается третья динамическая теория, согласованная с теоретическими выводами Мизеса и Генки.

3.Делаются попытки математической постановки «статиче­ ской», т. е. «деформационной» теории малых упругопластических деформаций.

Главной задачей этого направления было установить непосред­ ственную связь между напряжениями и обусловленными ими де­ формациями. Такая постановка задачи оказалась необходимой в связи с существенными затруднениями учета деформационного упрочнения и упругих слагаемых деформации методами динами­ ческих теорий пластичности.

Теория пластичности малых деформаций охватывает обширный круг вопросов, связанных с изучением напряженно-деформиро­ ванного состояния деталей машин и строительных конструкций, материал которых в зонах концентрации напряжений частично или полностью переходит за предел текучести и при этом претерпе­ вает деформационное упрочнение. На принципах статической теории малых пластических деформаций построены классиче­ ские решения ряда задач прикладного характера, предложенные советскими учеными (Ильюшиным [27], Дроздовым, Безуховым [31 и многими другими). К ним относятся решения задач равнове­ сия толстостенной цилиндрической трубы под действием внутрен­ него и внешнего давления и осевых сил; равновесия стержней под действием осевых сил и закручивающих пар; равновесия по­ лого шара под действием внутреннего и внешнего давления и пр.

Дальнейшее исследование в области теории пластичности малых деформаций было направлено по линии уточнения законо­ мерностей, связывающих напряжения и деформации пластически деформируемых металлов при любых видах их пластического формоизменения.

Так, в созданной автором в 1932 г. лаборатории пластических деформаций при Научно-исследовательском институте матема­ тики и механики ЛГУ им был проведен эксперимент, позволивший установить зависимость остаточных деформаций от главных на­ пряжений для случая сложного напряженного состояния и пред­ ложить теорию пластичности квазиизотропного тела [64, 65, 61, 62]. Математическая интерпретация основной задачи теории пластичности малых деформаций была представлена системой дифференциальных уравнений в частных производных и одним уравнением функциональной зависимости, определяемой механи­ ческими свойствами материала и установленной на основании испы­ тания его простым растяжением.

Приложение этой теории, достаточно точно учитывающей процесс упрочнения металла и не пренебрегающей изменением объема за счет упругих слагаемых деформаций, к решению ряда практических задач (пластический прогиб тонких пластинок, жестко заделанных по круговому контуру, сжатие цилиндров, самоскрепление орудийных стволов) показало хорошую сходи­ мость результатов предварительных расчетов с данными экспе­ римента.

Примерно в одно и то же время и независимо от автора к то­ ждественной постановке этой гипотезы и ее практическому при­ ложению пришел H. М. Беляев [4].

Наиболее четкая постановка задачи малых пластических де­ формаций предложена Ильюшиным [27], который указал на то, что связь напряжений с компонентами необратимой пластической деформации во всем объеме деформируемого тела может быть установлена только при определенном условии, а именно при условии «простого нагружения», гарантирующего однозначность деформации любой отдельно взятой частицы рассматриваемого тела.

При значительном пластическом изменении формы тела усло­ вия простого нагружения не могут быть удовлетворены. Отсюда наметились два направления развития методов решения практи­ ческих задач, связанных со значительной (конечной) пластиче­ ской деформацией. Во-первых, это развитие современной теории течения пластического вещества, базирующейся на выводах третьей динамической теории пластичности. Во-вторых, это раз­ работка различных приближенных методов анализа напряженнодеформированного состояния в тех частях тела, в пределах кото- . рых можно считать удовлетворенными условия монотонности деформации, т. е. условия, при которых деформация рассматривае­ мой частицы вполне однозначна.

Основание теории пластичности было заложено трудами Сен-Венана и Леви, которые вывели общие уравнения внутренних движений (течения) в твердых пластических телах за пределами упругости. В начале XX в. были обнародованы исследования А. Хаара, Т. Кармана и А. Межеевского в области теории напря­ женного состояния пластических сред.

В1913 г. Мизес изложил общие основы механики твердых тел

впластическом состоянии, в 1921 г. Прандтль опубликовал исследования по твердости пластических материалов и сопротив­ лению резанию. В 30-х годах Генки исследовал некоторые ста­

тически определимые случаи равновесия в пластических телах

имедленные стационарные течения пластических тел в прило­ жении к прокатке, штамповке и волочению. К этому же времени относятся исследования Лоде, Роша и Эйхингера по влиянию среднего главного напряжения на текучесть и разрушение пла­ стических материалов [44].

К1935—1945 гг. относятся исследования Прагера в области вязкопластического течения материалов по установлению зависи­ мости напряжений от деформаций в изотропных пластических телах

ипо упрочнению металла при сложном напряженном состоянии.

Фундаментальные работы в развитии теории пластичности связаны с именами советских ученых. Так, ведущая начало от работ Генки теория малых упругопластических деформаций по­ лучила законченную формулировку в трудах А. А. Ильюшина. Для решения задач теории пластичности Ильюшин предложил эффективный метод так называемых упругих решений и при­ менил его к пластинкам и оболочкам, он же обобщил формули­ ровку теорий пластичности Сен-Венана, Леви и Мизеса, уста­ навливающих зависимость между напряжениями и скоростями деформаций. Им же установлено также положение о существо­ вании конечного соотношения при так называемом идеально пластическом состоянии между усилиями и моментами. Это поло­ жение было им успешно применено при определении несущей способности пластинок. Ему принадлежит систематическая раз­ работка вопроса о пластической устойчивости пластинок и обо­ лочек, а также ряд исследований в области плоской и осесимме­ тричной задач теории пластичности [311.

Плоская и осесимметричная задачи теории пластичности раз­ рабатывались и в исследованиях С. А. Христиановича, С. Л. Со­ болева, В. В. Соколовского, А. Ю. Ишлинского, М. В. Сторожева, Е. А. Попова, В. М. Розенберг и Г. А. Смирнова-Аляева. Укажем

процесса пластического формоизменения материалов обусловлена, как мы уже упоминали, сложностью сопутствующих этому про­ цессу физических явлений (упрочнение, возврат и рекристаллиза­ ция металлов, ползучесть, релаксация, разрушение и пр.), а также

сложностью механизма осуществления данного процесса в целом. Такие факторы, как сложная форма тела, наличие неравномер­ ного предварительного упрочнения исходного металла, перемен­ ность температурно-скоростного режима пластического формоиз­ менения, немонотонность протекания процесса и пр., наклады­ вают отпечаток на характер деформирования, создавая неравно­ мерность напряженного поля и сложный вид напряженно-дефор­ мированного состояния по всему объему тела.

Итак, теоретической основой технологии ОМД является тео­ рия пластичности. Задача теории пластичности формулируется как задача решения системы нелинейных дифференциальных уравнений. Однако аналитическое решение этой задачи в общем виде с учетом сложных граничных условий представляет большую трудность, а дополнительные упрощения часто аннулируют цен­ ность полученного решения. Поэтому наряду с развитием точных методов интенсивно разрабатываются приближенные (инженер­ ные) методы решения технологических задач.

Упрощения применяются как при постановке задачи — упро­ щения при формулировке граничных и начальных условий и свойств деформируемого материала, — так и упрощения, прини­ маемые при решении поставленной задачи.

При этом различают несколько направлений развития прибли­ женных методов. Основными направлениями развития инженер­ ных методов расчетов технологических процессов являются: метод верхнеграничных решений; вариационный метод; метод характеристик; метод интегрирования приближенных уравнений равновесия и условий пластичности; метод СМПД.

Разработкой теоретических основ инженерных методов расчета наряду с другими советскими научными школами (на кафедрах обработки давлением МВТУ им. Баумана, Свердловского поли­ технического института, ДНИИТмаша, Станкина, Московского института стали, ЛПИ и др.) занимается в течение ряда лет под руководством автора группа объединенных единым научным на-, правлением сотрудников кафедры обработки металлов давле­ нием ЛМИ.

Эти инженерные методы расчета в области пластических де­ формаций материалов были в 1949 г. систематизированы автором в самостоятельную дисциплину, получившую по его инициативе наименование СМПД.

Ко в т о р о й характерной особенности системы мы при­ числили ее управляемость. С точки зрения кибернетики управле­ ние в системе представляет особый вид деятельности, заключа­ ющийся в определении способа действия системы, а также в обрат­ ном на нее воздействии извне, необходимом для достижения си­ стемой намеченной цели, т. е. процессы ее упорядочения, при­ ведения к виду, соответствующему целям и назначению.

Управляемость системы, согласно установленному выше ее целевому назначению — способствованию формирования модели

специалиста по обработке металлов давлением, — проявляется, с одной стороны, в том, чтобы всемерно его теоретически воору­ жать в целях дальнейшего совершенствования существующих, освоенных промышленностью процессов, а также разработки новых, еще более совершенных технически и эффективных эко­ номически. С другой стороны, необходимо, чтобы СМПД, соответ­ ствующим образом усовершенствованная для решения новых задач, была в состоянии удовлетворить ведущих инженеровтехнологов, испытывающих натиск внезапных самопроизвольных, открытых промышленностью новых процессов, а также была в состоянии теоретически обосновывать эти процессы, их лега­

что всякая система, рассматриваемая как совокупность взаимо­ связанных элементов, должна иметь определенную иерархиче­ скую структуру и может распадаться на ряд подсистем, основ­ ными признаками которых является их целевое назначение. Цели функционирования подсистем должны вытекать из общих целей функционирования самой системы, являясь их составной частью. Система, ее подсистемы и образующие их элементы могут быть, в частности, изображены в виде графа иерархйческой струк­ туры.

Подсистемами СМПД, стоящими на одном (высшем) иерархи­ ческом уровне, являются три стороны основной задачи СМПД: геометрическая (теория деформаций); механическая (теория на­ пряжений) и физическая (связь между геометрической и механи­ ческой сторонами задачи — деформациями и напряжениями). Действительно, в любой проблеме пластического формоизменения металлов, процессе (или переходе процесса) обработки металлов давлением фигурируют как решающие лимитирующие факторы или вопросы о деформированном состоянии (характер протека­ ния), или о напряженном состоянии (прочностные параметры), или об их взаимной увязке (система уравнений, модель процесса, постановка и решение задачи). К элементам системы, стоящим на более низких иерархических уровнях, относятся: математическая постановка задач СМПД и инженерных задач пластической обра­ ботки материалов; основные виды СМПД (растяжение — сжатие и сдвиг); экспериментальные исследования СМПД. К последним относятся исследования в области обоснования основ дисциплины СМПД (например, приемлемость в расчетах, принятых упроща­ ющих допущений, апробация новейших теоретических разрабо­

ных исследований рассматриваются как элементы системы СМПД, поскольку они необходимы и как приближенный метод оценки аналитического решения задачи (как действенный инструмент

усовершенствования теории), и как метод углубленной разра­ ботки теории отдельных технологических процессов. В данные комплексы включены (на выбор экспериментатора) эксперимен­ тальные методы исследования (микроструктурный анализ, метод многослоистых моделей и др.).

ее, ее элементов и подсистем. Фактор совершенно очевидный, вытекающий из всех предыдущих особенностей системы, по­ скольку, не имея возможности изменяться, система не может удовлетворять своему прямому назначению: усовершенствовать инженерные расчеты технологических процессов обработки ме­ таллов давлением — будь они выдвинуты инженерами-практи- ками по их собственной инициативе или вызваны необходимостью прибегнуть к теории под давлением преобразований, предложен­ ных практикой.

Естественно, что изменения, связанные с коренными преобра­ зованиями элементов или подсистем, их упразднениями или за­ меной совершенно другими, могут вызвать изменение самой системы, ее целевого назначения и даже наименования.

В заключение необходимо отметить, что дальнейшее изложение материала книги по разделам и их содержанию согласовано с вы­ шеуказанной иерархической подчиненностью элементов системы СМПД, откуда выпадает только (как не связанный непосредственно с данным системным построением) помещенный в книгу раздел «Некоторые характерные виды СМПД».

PA3 ЦЕЛ ПЕРВЫЙ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Глава 1. ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ

1. Перемещение точек сплошного деформируемого тела. Однородная и неоднородная деформация

Предположим, что мы имеем некоторый объем W, наполнен­ ный некоторым физическим веществом. С течением времени при движении различных материальных точек рассматриваемого объема расстояния между этими точками могут меняться; может несколько измениться и объем при условии, что это не вызовет нарушения сплошности (непрерывности) заполняющей его ма­ терии. Таким образом, будем рассматривать сплошное изменяемое тело, не касаясь пока свойств наполняющей его материи, так что можно предположить тело твердым или жидким.

Начнем с рассмотрения движения упомянутого тела с чисто геометрической точки зрения, не анализируя пока причин, вызы­ вающих это движение.

Существует наглядный способ исследования изменений рас­ стояний между материальными точками физического тела, претер­ певающего деформацию, т. е. изменений формы тела. На поверх­ ности некоторого твердого, но обладающего достаточной пластич­ ностью (т. е. способностью изменять свою форму без нарушения сплошности строения) тела наносится типографским способом (накатывается) квадратная сетка. Под действием приложенных внешних сил форма тела меняется, а предварительно нанесенная на его поверхность сетка искажается; заметно изменяются раз­ меры отдельных ячеек этой сетки.

На рис. 1 изображен прямоугольный стержень, растянутый при помощи захватов машины. В результате деформации пря­ моугольная квадратная сетка, нанесенная на поверхность стержня, исказилась; размер всех ячеек сетки в направлении действия растягивающей силы увеличился, т. е. все квадратики растяну­ лись. Однако форма ячеек сетки, одинаковая для всех ячеек до деформации, после деформации стала различной: в зоне местного сужения стержня ячейки сетки стали более вытянутыми, чем вне этой зоны. Линии сетки, прямые до деформации, заметно искри­ вились после деформации. Таким образом, деформация оказа­ лась неоднородной.

внутри некоторой части тела, претерпевающей однородную де­ формацию. Поэтому первоначально параллельные грани и ребра кубика и после деформации останутся параллельными, а длины параллельных ребер будут одинаковы. Но длины эти будут отли­ чаться от первоначальной длины ребер кубика, мысленно выде­ ленного в теле до деформации. Угол, составляемый двумя перво­ начально взаимно перпендикулярными ребрами такого кубика, может после деформации отличаться от прямого (кубик может «перекоситься»).

Мерой деформации некоторой части тела, претерпевающей однородную деформацию, могут служить относительные измене­ ния длин прямолинейных отрезков в заданных направлениях (ребер кубика); изменения углов между парами первоначально взаимно перпендикулярных прямолинейных отрезков (изменения углов между ребрами кубика).

2. Понятие о начальных и текущих координатах

Местоположение произвольной материальной точки тела в пре­ делах его габаритов может быть определено некоторой условно­ неподвижной, в частности, прямоугольной системой координат.

Прямоугольную систему координат можно считать заданной, если начало координат неизменно совмещается с какой-либо опре­ деленной материальной точкой, а направления двух координат­ ных осей параллельны двум взаимно перпендикулярным прямым, на которых неизменно располагаются две определенные совокуп­ ности большого числа материальных точек. Нас не должно инте­ ресовать перемещение этих материальных точек в пространстве. Важно только то, что каждая из двух совокупностей таких ма­ териальных точек располагается в течение рассматриваемого промежутка времени на некоторой прямой и что соответству­ ющие две прямые взаимно перпендикулярны.

Рассматриваемые совокупности материальных точек, неизменно располагающиеся на двух взаимно перпендикулярных прямых, могут и не принадлежать тому телу, деформацию которого мы изучаем, а являются точками другого тела, не претерпевающего практически ощутимой деформации (например, рабочего инстру­ мента). Тогда определяемую этими материальными точками си­ стему координатных осей можно называть условно-неподвижной. Одна из осей условно-неподвижной координатной системы может быть задана, например, направлением хода рабочего инструмента, другая — направлением прямолинейной образующей поверхности штампа, а третья координатная ось должна быть перпендику­ лярна первым двум.

Рассмотрим схему технологической операции листовой гибки

вштампе.

Вданном случае мы совместили две оси условно-неподвиж­ ной координатной системы с двумя совокупностями материальных

точек одной из деталей рабочего инструмента, а именно гибоч­ ного пуансона I (рис. 2). Ось OY совмещена с направлением движения пуансона, а ось OZ (перпендикулярная чертежу) совме­ щена с линией центра кривизны рабочей цилиндрической поверх­ ности пуансона. Понятно, что ось ОХ должна быть перпенди­ кулярна осям OY и 0Z и, так как пуансон не деформируется,

она также будет неизменно совмещена с одной и той же совокупностью материаль­ ных элементов пуансона.

Изгибаемый лист в своем исходном положении Па еще не деформирован: обе его по­ верхности совпадают с пло­ скостями, >. параллельными плоскости OXZ условно-не­ подвижной системы коорди­ нат. Координаты исходного положения (до деформации) некоторой произвольно вы­ бранной в листе материаль­ ной точки относительно при­ нятой координатной системы

точка М будет перемещаться. Координаты этой точки отно­ сительно принятой нами ус­ ловно-неподвижной коорди­ натной системы в рассматри­ ваемой стадии процесса из­ гиба Пб обозначим малыми

буквами х, у, z и назовем текущими координатами. В механике сплошных сред эти величины называют переменными Эйлера.

Вместе с тем и самому деформируемому телу могут принадле­ жать две какие-либо совокупности материальных точек, которые неизменно располагаются на двух взаимно перпендикулярных прямых. Они могут быть приняты нами при изучении деформации какой-либо отдельно взятой части тела за систему прямоуголь­ ных координат, определяемую направлениями этих двух прямых и третьим направлением, им обоим перпендикулярным. В отличие от условно-неподвижной, назовем эту систему прямоугольных координат — переносной (подвижной).

Так, при изучении деформации в окрестности материальной точки С, расположенной на поверхности изгибаемого листа (см. рис. 2), одна из осей переносной координатной системы могла