книги / Синергетика и усталостное разрушение металлов
..pdfУДК539.43:620.17
О ДИНАМИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
Р.И.Богданов, С.В.Варнавин, GH Нагорных
Синергетический подход к описаниюобразования и распада структур [1—3] оказывается полезнымпри интерпретации структурных превращений в процессе механических испытаний материалов [4,5].
Для металлов и сплавов с ростом пластической деформации характер на иерархия структур возрастающей плотности дислокаций: однородная структура, затем колебания плотности или клубковая структура, затем блочная структура с возрастающей разориентацией. Эволюция структур завершается появлением трещин. При этом вблизи трещин эволюция дислокационных структур повторяется [4], т.е. проявляется автомодель ность поведения плотности дислокаций. Каждый тип структур возникает при некотором критическом значении плотности медленных дислокаций. При значениях этой плотности порядка 1012-1013 см“2материал разру шается [6].
Для описания эффектов упрочнения и пластичности,а также геометрии разрушений при циклическом кручении металлов и сплавов авторами была предложена система уравнений [7]
х±= G±- а±х±-bx±xM, |
(1) |
|
-*"М—^*6 -*М“ |
*М+SV(хкр — |
, |
где |
х6, хм —плотности |
быстрых (БД) и медленных (МД) дислокаций, |
х± |
—составляющие дгб |
при кручении, соответствующие противополож |
ным направлениям деформации:xq =x_ +х+; G±, а±, ам, xKp,S - неотри цательные параметры поликристалла.
Вработе [7] анализировалось частное решение
х±= const*; хм = const, |
(2) |
являющееся стационаромточечнойчасти системы |
(1). Анализ заключался |
в редукции (1) к спектральной задаче для линейного уравнения в частных производных; вычисление спектра определяло устойчивость решения (2). Однако анализ решения (2) не исчерпывает описания всего многообразия дислокационных структур,встречающихся в экспериментах.
Представляет интерес анализ переходного процесса плотностей дисло каций из начального состояния (t - 0) к бесконечным временам (t > 1), где действует в устойчивом случае асимптотика выхода (экспоненциаль ного затухания) на стационар (2).
Рассмотрим переходный процесс, в котором решение (хм) коллапси рует за конечное время в сингулярное. Такие процессы можно связать
сдинамикой возникновения дислокационных границ или плоских трещин. Кроме того, проанализируем новые стационарные (асимптотические)
состояния системы (1), для которых спектральный анализ дает неустой чивость решения (2). Полагаем, что решения в этих случаях моделируют
171
периодически повторяющиеся полосы скольжения и блочно-зеренную
структуру. |
|
|
Нестационарный автомодельный закон стока с возникновением плоских |
||
границ.Построим автомодельное решение управления |
|
|
д |
д |
(3) |
и = -S — и |
Эх |
|
Эх |
|
|
и определяет частное решение системы (I),еслиположить |
|
|
а М(*М) _ |
» |
|
гдехб= х_ +х+; х+ = G+/(bxM+ я+);х_ = G-/(bxM+а_)- решения,отве чающие стационарным точкам (2) первых двух уравнений системы (1). Таким образом, вычисляем асимптотику коллапсирующего решения на конечном промежутке времени.
Частное автомодельное решение уравнения (3). Оператор в правой части (3) переводит квадратичные полиномы отхв себя,
поэтому представимрешение в виде |
(4) |
и = сх2 + ах + Э, |
где c(t), a(t\ b(t) —неизвестные функции времени. Подстановка (4) и (3) даетпосле приведения подобныхпри мономахх2,х1,х°:
с = -6Sc2, а = -6Sac, Ь = -S(2cb +а). |
(5) |
Из первых двух уравнений (5) следует,чтоа=с- const. |
Тогда третье |
уравнение —линейное уравнение первой степени с непостоянными коэффи
циентами —интегрируется методом вариации постоянных. Окончательное решение имеетвид
r |
const\ 2 |
(6) |
(х |
+ —— \ + £о с1'3, с = с0/(1+ 6Sc0t), |
где to —вещественный параметр, х —толщина границы на критической плотности хкр. Из (6) следует, что при t0 = —1/6 Sc0 >0 наступаеткол
лапс при толщине Хо = const/2,причем решение |
и(х0, t) = |
to[c(0J^3 |
разрывно в точке t0. |
|
(3), то при |
Если интерпретировать решение (6) в качестве решения |
||
t ->/0 °н°сводится к± I fo12/35 (х - Хо). |
м(х) = м(-х) - 0, х <х. |
|
Действительно, /~и(х, t)dx= ± 211012/3,где |
||
Знаксоответствуетt <t0,з н а к t >t0.
При S > 0 из t0 > 0 следует с0 < 0, т.е. м(хо,0) <0.Такимобразом, при х= х0, t = 0 плотность медленных дислокаций хм <хкр. При t -+ t0,
t < t0 слойилиграница. [х,х] приобретает надкритичную плотность, т.е. является источником дислокаций. Плотность дислокаций в этом слое растет и может превысить критическую, характерную для образования последующей структуры, например для возникновения малоугловой или большеугловой границы или плоской трещины шириной х0. Решение
(6) при этом показывает инверсию плотностей внутри и вне [х,х]. Асимптотика плотностей быстрых дислокаций.
Рассмотрим закон стока дислокаций x±t хм в момент коллапса t = t0. 172
Первые два уравнения системы (1) даютасимптотикух±: |
|
х± = -bux±, t -+ tо . |
(У) |
Из (7) следует |
(8) |
х± = const*(х)exp(-bfudt). |
|
Но согласно (6) |
|
fudt = ---In 11+ 6 S c0t I (x - x0)2+ — (1 +65c002/3. |
(9) |
При t -+10 второе слагаемое в (9) стремится к нулюи поведениех± (8)оп ределяется первым слагаемым (9), имеющим отрицательный знак при t Е [0,2 t0]. При х= х0 плотности быстрых дислокаций х±минимальны. Найденное решение (6) удовлетворяет (1),если положить
ам(*м)= ь(х- |
+ *+)• |
(10) |
Следовательно, |
в окрестности точки коллапса коэффициент стока |
|
ам (*м) как функция отхимеет вид ’’опрокинутой” гауссовой |
кривой с |
|
ярко выраженным минимумом при толщине плоской границы*=х0.При -►о ширина этой кривой стремится к нулю, что можно интерпретиро вать как малоугловые или большеугловые дислокационные границы. Периодические дислокационные структуры. Уравнения (1) определяют
стационарные решения х±как функции отхм:
*± = С±КЬхм+а±) |
(11) |
(при условии,чтохм =хм(х),х 6R1).Подстановка хм(х)в третье уравне ние (1) приводит к уравнениювида
О= q(u) —SVuVu. |
(12) |
Таким образом, для построения асимптотических состояний, отличных от (2),необходимо построить подходящие решения (12).
Консервативные решения (11) в одномерном слу
чае. |
Обозначив р(и) = ди/дх,получим |
(13) |
||
О= q(u) - sp2 -pp'Su. |
||||
Умножая (13) на к,имеем |
|
|||
0 = uq (и) - ~ |
~4~(u2P2)i |
|
||
откуда |
2 |
du |
|
|
fuq(u)du |
|
|||
1 |
, |
(14) |
||
г |
р2 |
= |
~ • ?*«** |
|
где постоянная интегрирования включена в правуючасть (14).
Таким образом, нас интересует решение с нулевой энергией динами ческой системы с гамильтонианом из (14).
Критические значения потенциала. Положим |
|
fuq(u)du = Ф+/ tq(f)tff. |
(15) |
о |
|
173
Тогда критические точки потенциала в (14) находятсяизуравнения
Ф-JL j tVCOtf. |
|
|
|
|
|
(16) |
|
2 |
о |
|
|
|
|
|
|
Действительно,дифференцируя потенциал по и,получаем |
|
|
|||||
uq(u)u2 —2иfuq(u)du= О, |
|
|
|
|
|
|
|
u2q(u)= 2fuq(u)du= 2Ф+ 2/*f<7(f)df= |
|
|
|
|
|||
= + |
о |
|
|
|
|
|
|
г -1 “!2яХШ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 О |
|
|
(16) через и0, то критиче |
|||
откуда следует (16). Если обозначить решение |
|||||||
ское значение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
Я(“о)= (*'о)1{-;/Ч'1‘?’( 0 |
о |
t?«)df= ^ 1 |
J |
. |
(17) |
||
|
2о |
|
2о |
|
|
||
Следовательно: 1) еслиы0»и0 - критические точки потенциала (14), то
/° fVtt)<#=0. |
(18) |
“о |
|
Сдругой стороны,если и0 —критическая,точка,и 0 удовлетворяет (18). Тогда и о - критическая точка гамильтониана (14).
Если 2) и0пи0критические точки потенциала,то на отрезке [м0»“о] лежит ноль производной q'(S)= 0, f € [ц0, tT0];
3) в общем положении нулевая линия уровня гамильтониана бифурци-
рует при |
|
2 о tVffW; <7(«) = 0; |
(19) |
4) компактная изолированная ветвь нулевой лини уровня рождается из
вырожденного состояния равновесия в коразмерности 1 |
|
q(u0)= q(u0)“О, Ф= V°tV«W \ |
(20) |
2о |
|
5) асимптотика периода Т движения и = и(х) по нулевой линии уровня
(точнее, по компактной односвязной компоненте) при и -+ и0 стремится в величине
limT[H(u)= 0\ *2ir/Vk'(“o)l/^ “- “о
Таким образом, условие периодичности плотности дислокаций на протя женности кристалла (период делит нацело размер по оси х кристалла на плоскости скольжения) при малом числе параметров оставляет при каж дом Фконечное число периодических мод. Сверхвысокие по частоте моды появляются при большем числе параметров. Соответственно растет число мод,удовлетворяющих условию периодичности.
Отметим также,что значение м„,при котором
b[ ^ Z + 1 ^Г а7 " |
= |
является бифуркационным (это следует из (19)).
174
Локализованные решения для трехмерного случая. Пусть в (12)
_ _ |
д |
ди д |
ди |
■д |
ди |
. |
(21) |
VuVu= —и— + |
и —+ —и |
дz |
|||||
|
дх |
дх Ъу |
Ъу |
дz |
|
|
|
Полагая и =Х{х)Y(y)Z(z),найдем Х(х) и У(у) из условий |
|||||||
д |
дХ |
э |
дУ |
ХГ2. |
|
(22) |
|
— X— = XX2; —у— |
|
||||||
дх |
дх |
ду |
ду |
|
|
|
|
Всилу (14) имеем |
|
|
|
|
|
||
L(xy m±-+± X2 |
|
|
|
|
(23) |
||
2{Хх) х2 |
+ 4 * |
|
|
|
|
ф.>.0.получаем локали |
|
(и аналогичное выражение для Y' ).При X< |
|||||||
зованное нах G |
[а, Ь],где Ъ> а > О, Ь-а <2 \Л-4Ф/Х,решение вида |
||||||
Х(х) |
/* - а, |
х Е [а,(а + Ь)/2) |
|
Vb - х, |
хЕ [(a+b)/2,b) . |
||
|
Полагая q(u)= q0u2, получим
(q- XS)Z2-S— Z — = 0, dz dz
откуда
1 |
|
|
2 |
Sz2 |
4S |
(24)
(25)
(26)
Таким образом,при q —X,S< 0, Ф>0имеемлокализованный множи тель Z (z). Следовательно, в окрестности локального максимума q(и)
Фо)= ф'(ио)= 0, q"(u0) < 0
в трехмерном кристалле появляются асимптотические состояния в виде зе рен. Итак, при выполнении условий (20) бифуркации коразмерности 1, помимо периодических мод, в трехмерном случае появляется зернистая структура: блоки или зерна,заполненные дислокациями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Данилов ЮЛ., Кадомцев Б.Б. Что такое синергетика? // Нелинейныволны. М.:Наука.1983,.С.5-16.
2.Пригожин И.Отсуществующего квозникающему.М.:Мир.1985.328 с.
3.ХакенГ.Синергетика.М.:Мир,1985.420с.
4.Иванова В.С.Механика и синергетика усталостного разрушения //Физ.-хим.ме ханикаматериалов.1986.N>1.С.62-68.
5. Панин В.И.,Лихачев ВА.,Гриняев Ю.В.Структурные уровни деформации твер дыхтел.Новосибирск:Наука,1985.226 с.
6.Усталость и хрупкость металлических материалов //В.С.Иванова,С.Е.Гуревич, И.М.Кольев и др.М.:Наука,1968.213 с.
7.Крупкин П.Л.,Куров НЕ.,Нагорных С.Н.Осинергетическомподходе к пробле мам пластичности и разрушения // Структура дислокаций имеханические свойства металлов и сплавов: Тез. докл. Всесоюз. семинара, март 1987 г. Свердловск- ИФМУНЦАНСССР,1987.С.172-173. 175
УДК669:539.385
АНАЛИЗ ТОЧЕК БИФУРКАЦИЙ ПРОЦЕССА УСТАЛОСТНОГО РАЗРУШЕНИЯ АЛЮМИНИЕВЫХСПЛАВОВ
С.А.Кунавин
Отличительные черты процесса разрушения —многофакторность (обу словливающая стохастический характер процесса разрушения), эволюционность (прогрессирующее накопление повреждения) и стадийность (смена пространственно-временных структур, формирующихся в процессе накоп ления повреждений и разрушений) наиболее ярко проявляются при уста лостном разрушении.
Основными макроскопическими факторами, определяющими процесс усталости материалов, являются приложенное напряжение оа(атах), число циклов нагружения N, условия нагружения, условия испытания (среда, температура, давление). При одинаковых условиях нагружения и испыта ния остаются два внешних фактора —параметры оа и N. Вэтом случае существенная информация о закономерностях накопления повреждений в материале и характере его усталостного разрушения может быть получена на основе построения обобщенных диаграмм усталости в координатах Oa~N[l].
Анализ этих диаграмм [2] указывает на наличие пороговых напряже ний Од*,определяющих границы областей,в пределах которых реализуются подобные закономерности накопления повреждений и разрушения материала. Одним из важнейших пороговых напряжений усталости является ак —
критическое пороговое напряжение, контролирующее нижнюю границу перехода от области малоцикловой к области многоцикловой усталости. Несмотря на определенную условность такого деления, оно удобно и необ ходимо, поскольку каждая из этих областей отличается свойственными ей закономерностями накопления повреждений и характером разрушения. Вто же время в каждой из этих областей степень реализации таких законо мерностей неодинакова и зависит от величины приложенного напряжения. Это обусловливает наличие дополнительных пороговых напряжений.
Всвою очередь,процесс накопления повреждений не является однородно монотонным и подразделяется на ряд характерных, связанных с числом циклов нагружения периодов [2, 3], определяющих стадийность процесса усталости.
Всвязи с тем что процесс усталостного разрушения не удалось описать в рамках единого кинетического подхода, это привело к необходимости
разделения его на стадиюзарождения и стадиюраспространения усталост ных трещин.
Таким образом, наличие пороговых напряжений усталости и периодов развития процесса усталостиуказывает на стадийный характер усталостного разрушения как по числу циклов нагружения,так и по величине приложен ного напряжения. Такая двухуровневая стадийность в значительной степени
обусловливает сложность построения единой модели и прогнозирования усталостного разрушения.
176
Внастоящей работе предпринята попытка на основе единого методи ческого подхода показать на примере алюминиевых сплавов возможность установления взаимосвязи между пороговыми параметрами, определяю щими процесс усталостного разрушения.
Сложность процесса усталости требует привлечения комплексного подхода —совместного использования подходов физики прочности,меха ники разрушения и металловедения - для описания процесса усталости и прогнозирования усталостного разрушения.
Из проведенных в последнее время работ [4-6] следует, что основой для данного комплексного исследования могут служить подходы синерге тики, которые позволяют путем введения обобщенных понятий о диссипа тивных структурах,точках бифуркаций,введения представления о парамет ре порядка обосновать наличие пороговых величин, характеризующих процесс усталостного разрушения, и упростить нахождение связи между макро-и микропараметрами.
Суть использования подходов синергетики заключается в том,что в от личие от традиционных подходов, рассматривавших процессы деформиро вания и разрушения как равновесные (характерные для закрытых систем - систем, не обменивающихся с окружающей средой веществом и энергией), исследования кинетики данных процессов проводятся на основе более об щего подхода, т.е. представления системы образец-нагружающее устройст во как открытой системы. Вэтом случае однородное состояние равновесия может терять устойчивость и необратимо переходить в неоднородное ста ционарное состояние, устойчивое относительно малых возмущений. Такие стационарные неоднородности получили общее название диссипативных структур [7].
Важнейшим свойством открытых систем является то, что в процессе эволюции (с увеличением управляющего параметра) наблюдается чередо вание устойчивостей и неустойчивостей, т.е. наличие точек бифуркации, вблизи которых возникают аномально сильные флуктуации, и система сама выбирает один из возможных вариантов дальнейшего развития путем формирования (самоорганизации) соответствующей диссипативной струк туры.
Рассмотрим далее возможность использования данных подходов приме
нительно к усталостному разрушению материалов.
Вкачестве материала для исследования был использован конструкцион ный алюминиевый сплав системы Al-Mg марки АМгб. Циклические ис пытания проводились на круглых образцах с корсетной рабочей частьюв ус ловиях чистого изгиба с вращением с частотой нагружения 50 и 80 Гц.
На рис. 1,а представлена построенная по результатам циклическихиспы таний кривая усталости сплава АМгб на базеTV= 2 • 107циклов в диапазоне изменения амплитуды напряжения оа - 140 - 300 МПа. Весь диапазон из менения аа был разбит на 12 уровней, на каждом из которых в среднем было испытано по 20 образцов. Для определения характера усталостного разрушения проводился макрофрактографический анализ изломов и по
верхности рабочей части образцов в области минимального диаметра. Макрофрактографический анализ показал, что можно выделить три пороговых напряжения (амплитуды напряжения), отвечающих смене макромеханиэма разрушения (вызывающих изменение вида излома усталост-
12.3ак.1067 |
177 |
Рис.1. Кривая усталости сплава АМгб, построенная с учетом изменения макромеханнзмаразрушения
При Т, °С:в —20,б—10S
ных образцов) —0й, о*1®*и а™*1. Величина оц(оц> а0>2) характеризует напряжение, при котором излом образца имеет множество очагов зарожде ния усталостных трещин по периметру поперечного сечения, и их распро странение к центру сечения происходит приблизительно с одинаковой
скоростью. Амплитуда напряжения о*1®* отвечает многоочаговости с преи мущественным развитием трещины усталости от одного изочагов. Впере ходной области от о?®* до а*1"1излом характеризуется распространением одной усталостной трещины при нескольких ^распространяющихся малых трещинах. Напряжение о“т отвечает верхней границе многоцикловой уста
лости: при оа< а*1” усталостное разрушение происходитза счет развития одноочаговой магистральной трещины.
178
Как видно на рисунке, кривая представлена в виде отрезков линий, проведенных через центры рассеяния долговечностей, отвечающих од ному определенному макромеханизму разрушения. Можно видеть, что на кривой усталости существуют области смешанного разрушения,где одно временно присутствуют два различных макромеханизма разрушения. Вэтих областях наблюдается повышенный разброс значений долговечности по сравнению с областями,гдереализуется один микромеханизмразрушения.
Объяснению появления разрывов и перегибов на кривых усталости посвящен ряд работ [2, 8], в которых приводятся различные объяснения данного явления, указываются самые различные факторы, вызывающие его (структурное состояние материала, частота и вид нагрузки, формаобразца, температура испытания, состояние поверхности и др.). Вконеч ном счете влияние всех этих факторов сводится к соответствующему воздействию на кинетику процессов накопления повреждений и разруше ния материала. Во всех случаях в нагружаемом материале происходят про цессы самоорганизации соответствующих типов диссипативных структур, позволяющих эффективно противостоять процессу усталостного раз рушения.
Очевидно, изменение уровня приложенного напряжения, влияющего на процессы накопления повреждений и разрушения, при прочих равных условиях должно влиять на вид формирующихся диссипативных структур.
Для объяснения поведения материала под нагрузкой, и в частности в процессе циклического нагружения, перспективным представляется подход, предложенный в работах [5, 9-11] применительно к описаниюпо ведения кристаллов в/различных поляхвнешнихвоздействий.
Авторы данных работ, проводя анализ поведения твердых тел при сла бых и сильных возмущениях, приходят к выводу, что в случае сильно возбужденных состояний кристалла его поведение становится сугубо нелинейным, возникают эффекты массолереноса, возможен гидродинами ческий характер пластического течения,появляются метастабильные струк туры и фазы, обеспечивающие при своем возникновении дополнительные каналы диссипации энергии.
Привлекательность этого подхода —в его общности,так как в нем рас сматривается влияние не отдельных факторов (силы, температуры и др.) на поведение материала,а анализируется сампроцесс поведения возбужден ного состояния кристалла как результат воздействия одного или группы
факторов.
Использование данного подхода в том виде, в котором он предложен для кристаллов, к проблемам деформирования и разрушения поликристаллических материалов связано с определенными трудностями. Однако ис пользование понятия сильно возбужденного состояния материала может оказаться удобным для описания его поведения в процессе нагружения. При этом лучше, видимо, использоватьнепросто термин ’’сильно возбуж денное состояние”, а трактовать его шире как состояние материала с раз личной энергией возбуждения, что позволяет его использовать в анализе процессов деформирования и разрушения в различных локальных точках
материала.
Изменение степени возбуждения материала может быть привязано к любому параметру, характеризующему вид внешнего воздействия (на-
179
пряжению, температуре, энергии и др.). Важным обстоятельством здесь является то, что это понятие органически связано с величиной энергии, вносимой в материал как в начальный момент, так и в процессе его нагру
жения.
В рассматриваемом случае усталостного разрушения образцов спла ва АМгб наличие пороговых напряжений, характеризующих проявление соответствующих макромеханизмов разрушения, может быть объяснено реализацией различной степени сильно возбужденного состояния материала с изменением амплитуды напряжения. Это,в свою очередь,должно сказы ваться на типе формирующихся диссипативных структур, неразрывно связанных с процессами накопления поврежденийиразрушения материала. Можно предположить, что образование многоочагового разрушения при оа >а™3* связано с формированием кристаллически-аморфной диссипа тивной структуры с первых циклов нагружения и быстрым переходом от условий разрушения микроотрывом, реализуемых при достижении критической плотности скольжения (трансляционная неустойчивость [6]), к условиям разрушения микроотрывом, реализуемым при достиже нии в локальном объеме критической плотности дисклинаций (ротаци
онная неустойчивость [6]).
Одним из подтверждений этого могут служить микрофрактографические исследования поверхности усталостного разрушения, свидетельствую щие о том, что усталостные бороздки, образующиеся в процессе разруше ния по механизму микроотрыва,начинаются фазууграницыотагаусталост ного разрушения.
Указанным пороговым напряжениям усталости может быть придан смысл точек бифуркации, посколькуих достижение сопровождается ано мально сильным разбросом значений долговечности, а также неустойчи востью процесса усталостного разрушения. При данных амплитудах напря жения может реализоваться один из двух возможных видов разрушения.
Отличие данных точек бифуркации от принятых в математическом их понимании состоит в том, что в силу стохастического характера процесса усталостного разрушения (кривая усталости строится по результатам испытаний многих образцов) невозможно определить однозначно значение пороговых амплитуд напряжений. Поэтому за величину порогового напря жения принимали амплитуду напряжения, при которой равновероятно (с вероятностью 50%) проявлялись оба механизма разрушения ащ . Теоре тически существенного уменьшения данного разброса возможно добиться в случае использования методов неразрушающего контроля, позволяющих строить кривую усталости по результатам испытания одного образца.
Соотношение между выявленными пороговыми напряжениями прибли
женно подчиняется соотношению [2] |
(1) |
°n-\I on = A1/m, |
где адг_ 1 и Off —предыдущее и последующее значения порогового напря жения,А—универсальная постоянная разрушения [2] (для алюминия и его сплавов А = 0,22), т —параметр, характеризующий степень стеснения пластической деформации при страгивании магистральной трещины
(т = 4,8,16...°° для алюминиевых сплавов).
Для сплава АМгб получены следующие значения отношений между поро-
180