книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

искажение узлов решетки, дислокации, инородные примесные центры (атомы) и т.п., которое запишем в виде

где суммирование ведется по всем узлам локального расположения дефектов i и по волновым векторам. Амплитуда процесса может быть задана, если оговорен конкретный тип квазичастиц. В самом деле, если речь идет, например, о фононах, то

здесь у* - константа связи фононов с дефектом узла, а параметр сдвига 5 е = 5 г / / о, где 5 г = г 0 - ( г ) , вектор е, - вектор поляризации фонона.

Следует заметить, что упругий механизм не дает вклада в коэф­ фициент теплопроводности структуры: он не приводит к диссипации энергии в смысле ее перераспределения по системам квазичастиц, при­ нимающих участие во взаимодействии. Для процесса теплопроводности характерной особенностью является установление единой по системам квазичастиц температуры. Упругое взаимодействие в виде (2.17) нужно нам лишь для осуществления предельного перехода к случаю Т =$ 0. Действительно, в этом случае следует формально произвести замену: Т => Т + h/ximp, где Timp - время релаксации, вычисляемое в рамках механизма взаимодействия (2.16).

Истинное же взаимодействие между подсистемами "0" и "1" можно представить, например, таким образом (более подробно анализ процес­

51

Надо заметить, что при получении этих выражений были использованы уравнения движения для бозевских операторов фазы "О":

дЬ/дт = [Н,Ь], где H = H0 + Hint, Н0 = Ы^^П(£>0кЬкЬк.

Переходя в уравнениях (2.20) и (2.21) к Фурье-образу по времени, находим

D*kk(со,)(/©, - со0*) = (1+ (п0к» + 1 Ащ йщк,

*1

(®J) = 0 + (Л1*2 )) ^ ^ - ® 1*, “

- S I V(^,fci.9)|2 (l + 2<n,,»/(/©f -© i4l)

Совершая теперь обратное преобразование Фурье согласно формуле

Dk(x) = 2nT'£ie~‘<i>sXDk((os\ получим при t, > х2

X

Если конкретные механизмы заданы (амплитуды \|f и А известны), то соотношения (2.22) и (2.23) вычисляются элементарно.

52

P*(«.> Pt(«)

Pi(W) Pi((u„)

Рис. 2.1. Диаграммы, учитывающие вклад в смешанную функцию Грина от всевозможных процессов (ряд теории возмущений для взаимодействия (2.18))

Для его определения будут необходимы следующие формально вводи­ мые выражения:

53

+

X _ J +

+ ...

Рис. 2.2. Н абор диаграмм лестничного типа

Введем теперь в рассмотрение две "обычные" функции Грина:

М^ - Ъ ) = (Т,\Ь^х1)Ьк(х2)\).

Спомощью этих функций Грина смешанную функцию Dlkxkl мож­

но изобразить в виде диаграмм, представленных на рис. 2.1. Суммируя только диаграммы лестничного типа, находим

(*){*)

Врезультате простого суммирования по всем {$} (согласно общим принципам диаграммной техники (см., например, монографию [2.12])) и после интегрирования по (к), имеем (рис. 2.2)

54

’Е 2= ^0

Всовокупности все приведенные выше формулы позволяют запи­ сать общее выражение для коэффициента теплопроводности композита для произвольных фаз "0" и "1"

Всамом деле, формула (2.11) приводится теперь к такому общему

виду:

tf(7\$‘) = ft27 - V ® S W ( * ) < « o * > ( l + <"o*»/Yo* +

+ (1/ W )E Z £00*С01*11' 1(*!)v0(к)(п0к)(1 + (riQk»(/zu >(1 + k kt

+ <И|*, »Ytt, /Yoift, + (1 /^ )Z S »i(bi)vo (k)(n0k)(l+ (2.37)

кk\

+(n0k))(n{k] >(1 + (nlkl » YS1/у*щ +

Перенормированные затухания, фигурирующие в приведенном соотно­ шении, представляют собой следующие суммы функций от к:

Youк= You + Yo*>

YW - Y I M +УЙ-

Вероятности рассеяния, фигурирующие в (2.37), даются формулами (2.23), (2.24), (2.33) и (2.36). Следует еще заметить, что переход от суммирования к интегрированию в общей формуле (2.37) осущест­ вляется с помощью правил:

здесь объемы VQ и VJ соответственно объемы основной матрицы и примесной фазы.

55

Наконец, последний шаг, который предстоит сделать, заключается

внахождении всех сумм, входящих в формулу (2.37). Этого, однако, сделать нельзя, не задав явных видов взаимодействий. Поэтому пока мы представим формулу для теплопроводности с учетом правил (2.37а)

ввиде суммы следующих четырех слагаемых:

в которой все фигурирующие параметры /?i,2.3.4 могут быть легко вычислены для каждого из четырех заданных типов композитов (D + D, D + М, М + D, М + М), если необходимые для этой цели гамиль­ тонианы взаимодействий внутри и между соответствующими фазами известны.

Заметим, кстати, что межатомное расстояние в каждой из фаз будет

соответственно: = V0 / N0, а3 = V, / Nx или а3 - а^а3/[(1 - £,*)а3 +

+ ^*До]> а £*, как обычно, есть отношение V\/V.

Применение общей формулы (2.7) к вычислению коэффициента теплопроводности гетерогенных структур требует, вообще говоря, еще одного пояснения. Дело в том, что первое и последнее слагаемые в зависимости (2.7) описывают локальную теплопроводность, а средние два - нелокальную, связанную с взаимодействием между фазами.

В том случае, если переносчиком тепла являются электроны, необ­ ходимо, конечно, учесть и зависимость каждого оператора теплового потока от координаты. Все приведенные рассуждения и математи­ ческие выкладки будут, безусловно, справедливы, если основной вклад в х дают малые волновые векторы квазичастиц, принимающих учас­ тие в процессе теплопроводности. Это, в свою очередь, говорит о том, что причины для беспокойства нет и можно пользоваться оконча­ тельной общей формулой (2.38а).

В случае же, если вклады от квазичастиц с большими волновыми векторами окажутся существенными, необходимо учесть и нелокальный

56

характер х . Описание этого случая, однако, не входит в цели настоя­ щего изложения, поскольку он требует отдельного и довольно кропот­ ливого исследования.

Когда речь шла об упругом механизме взаимодействия (см. выше), мы упоминали о возможности предельного перехода от случая не рав­ ной нулю температуры к случаю, когда Г = 0. В самом деле, как при­ нято считать, само понятие теплопроводности имеет смысл лишь тогда, когда ТФ 0. Физически это вроде бы понятно, поскольку сам процесс теплопроводности (согласно закону Фурье тепловой поток пропорциона­ лен температуре!) предполагает обязательную связь между подсисте­ мами, внутри которых устанавливается некая единая температура Т за счет взаимодействия их (подсистем) между собой. Это все так.

Но с другой стороны, температура Т есть средняя кинетическая энергия квазичастиц (или частиц), и изменение этой энергии на единице пути будет по смыслу не что иное, как тот же тепловой поток (правда, локальный), а потому имеет смысл говорить и о локальном законе Фурье без введения температуры! Действительно, это можно пред­ ставить как V7 => 5е//, где 6е - изменение энергии частицы при ее перемещении на длину /. Именно в рамках такого рассуждения можно ввести, как наиболее вероятный, процесс упругого рассеяния частиц на примесях. Если этого механизма нет, то следует говорить не об упругом рассеянии частиц, а о так называемой частоте перескока час­ тицы с узла / на узел j. Этот процесс (перескок) можно вводить прак­ тически всегда, поскольку при абсолютном нуле температуры других проявлений переноса "информации" от одного узла к другому не су­ ществует.

Это означает, что если в формуле (2.38а) устремить Т к нулю, то все времена релаксации, за исключением упругого механизма, исчезают (у=> 0 при Г => 0) и останется только время Timp. Теплопроводность х при этом не будет равна нулю, а выйдет на некоторое "насыщение", которое мы обозначим через х (0) ( х (0) = х (0, ^*)). Причем начальная точка, с которой начинается "насыщение" в сторону нуля (рис. 2.3), определится уравнением Т = Й/т5тр. При этом, несомненно, возникает

вопрос: а что же такое фонон при Г = 0? Действительно, как таковых фононов при абсолютном нуле температуры не существует, однако никто не будет отрицать и тот факт, что в твердой матрице даже при Т = 0 будут иметь место нулевые колебания атомов. Как набор ос­ цилляторов они представляют собой некое "звучание" внутри струк­ туры (в отличие от вакуума, где действительно скорость звука равна нулю). Но тогда следует рассмотреть такую гипотетическую ситуацию. Твердый кристаллический образец помещен в вакуум (Г = 0), и по одной из его сторон мы "щелкнули" молоточком. Спрашивается, на противо­ положном сколь угодно далеко расположенном конце образца будет услышан этот щелчок или нет? Ответ, несомненно, положительный: щелчок будет передан по цепочке атомов до конца. Но при таком пере­ носе "звука", наверное, стоит ввести и скорость переноса этой инфор-

57

Рис. 2.3. Схематическое изобра­ жение явления "насыщения" при 7 -» О

Температура, ниже которой это наступает, определяется из условия 7* =hlzimp= htjj.

мации и = //т. При этом необходимо лишь оговорить, а что же такое т? Если энергия взаимодействия между узлами есть У, то время т можно оценить (следуя теории возмущений) как he/J2. Причем весьма удобно представить J через частоту перескока частицы г,-,-, а именно J = hti}. Длина /, очевидно, есть не что иное, как расстояние "перескока". Для кристаллической решетки оно представляет собой просто межатомное расстояние а. Таким образом, формула для теплопроводности при 7 = 0 должна была бы быть записана в виде

Но... температура, фигурирующая в самой начальной формуле (2.7), из формулы Кубо будет "убрана" при переходе от матрицы плотности р = ехр{-#/7} к выражению р = ехр{—J Hdt/h), где t - время. Разложе­

ние по степеням 1/7 (в знаменателе формулы (2.38) стоит Т2!) приведет

просто к появлению множителя не 1/Т2, а 1/(е)2, где (е) - некоторая средняя энергия частицы. Поскольку же это выражение (1/(е)2), в свою очередь, должно быть еще умножено на квадрат флуктуационного изменения энергии 5е2 (см. формулу (2.8)) для тепловых потоков, в которых фигурируют законы дисперсии е(к), а известно [2.13], что дисперсия по порядку величины соответствует 7, что есть флуктуация), то, чтобы получить правильное выражение для х(0), следует формулу

Если обозначить вероятность "перескока" htfj /(е) через 1/Timp, а флук-

туационное изменение энергии принять равным квантовой неопреде­ ленности h/ ximp (за неимением при 7 = 0 других механизмов переноса),

то можно написать, что

58

л(Т, $*)(Т/см с)я J0~r9

Рис. 2.4. Схематическая зависимость коэффициента теплопроводности магнитоупорядоченного пористого диэлектрика от температуры

Оценим х(0). Если <е) есть характерная энергия электрона: е = р2Цт =

= h2/2та2 = 10-11 эрг, ximp = 10-10 с, межатомное расстояние а = = 3 10-8 см, то при Т = 0 по порядку величины "теплопроводность"

есть х(0) =106 (1/см • с). Можно ли экспериментально обнаружить такое малое значение х, мы, честно говоря, не знаем, но, во всяком случае, провести измерение зависимости теплопроводности от темпера­ туры при очень малых Т было бы весьма интересно, это во-первых, да и просто любопытно, что собой представляет х при таких темпера­ турах, это во-вторых.

Обобщение выражения (2.40) на случай композита очевидно. В

где 1/Xoiimp - частота перехода электрона из фазы "0" в фазу "1" в переходной области вблизи границы раздела фаз, а 1/Хоцтр - частота перехода из частиц примесной фазы в основную матрицу.

Резюмируя, надо подчеркнуть, что теплопроводность, как бы дико это ни звучало, все же имеет смысл вводить даже при абсолютном нуле температуры, хотя бы просто из соображений размерности (см., к при­ меру, П-теорему в монографии [2.3] на с. 438-442). Заметим, кстати, что в работе [2.14] была построена теория так называемой прыжковой теплопроводности и были высказаны соображения по поводу ее прояв­ ления в твердых структурах. При этом было подчеркнуто, что роль

59

подобного механизма переноса "тепла" очень важна именно при сверхнизких температурах, а вот строение вещества (кристаллическое оно или стеклообразное, т.е. неупорядоченное) роли не играет. Для

пористого магнетика зависимость х(7\4*) показана на рис. 2.4.

2.2. СТРУКТУРА D + D

Рассмотрим теперь конкретное приложение формулы (2.34) для выяснения зависимости коэффициента теплопроводности от различных параметров структуры, и в частности от скоростей звука и плотностей обеих фаз, а также от температуры в двухфазной чисто диэлектри­ ческой системе.

Как видно из (2.38а, б), все параметрические зависимости "сидят" в затуханиях у. Для диэлектрических фаз, в которых средние скорости звука есть соответственно c0j и с,5, функции у могут быть легко вычис­ лены. Для этого следует задать гамильтонианы взаимодействий. Имеем в общем случае фононного взаимодействия и с участием трех квази­ частиц

где амплитуда взаимодействия (или, как еще ее называют, вершинная функция) есть

у 1Ъ){к1,к2,к3} = iG0D(й3 / 8р3V3(©,©2(03)*/2(е,к,)(е2к2)(е3к3), (2.43)

G - безразмерная константа стрикции, р - плотность, V - объем компо­ зита, со, = csk' - частота фонона, е - вектор поляризации фонона, QD- температура Дебая. Буквы к.с. в формуле (2.42) означают комплексно­ сопряженную величину.

Зная гамильтониан взаимодействия, можно легко написать и ин­ теграл столкновения. Действительно, согласно правилам, изложенным,

где множитель N появляется в результате взятия вариационной про­

60