книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

А К А Д Е М И Я Н А У К С С С Р

О Р Д Е Н А Л Е Н И Н А И Н С Т И Т У Т П Р И К Л А Д Н О Й М А Т Е М А Т И К И

А. Н. Любимов, В. В. Русанов

ТЕЧЕНИЯ ГАЗА ОКОЛО ТУПЫХ ТЕЛ

Часть I

МЕТОД РАСЧЕТА И АНАЛИЗ ТЕЧЕНИЙ

ИЗ Д А Т Е ЛЬС'Г ПО . НАУКА»

МОСКВА 1970

Проблема движения тупых тел со сверхзвуковой скоростью приобрела особую актуальность за последние два десятилетия. Это связано с появле­ нием летательных аппаратов, имеющих тупые носовые части, которые обес­ печивают отвод тепла с поверхности и аэродинамическое торможение при входе в атмосферу. В тех случаях, когда применяются острые носовые ча­ сти, они неизбежно оплавляются в полете. Таким образом, носовые части и передние кромки летательных аппаратов, рассчитанных на большие сверхзвуковые скорости, всегда являются более или менее тупыми.

При движении тупого тела со сверхзвуковой скоростью перед ним воз­ никает ударная волна и течение между нею и телом будет смешанным, т. е. состоящим из дозвуковой и сверхзвуковой областей, разделенных звуко­ вой поверхностью. Это обстоятельство является основным при решении ста­ ционарной задачи обтекания, которая математически формулируется как краевая задача для системы нелинейных уравнений газовой динамики смешанного типа.

Для численного решения задачи обтекания тупого тела весьма эффек­ тивен метод установления, основанный на получении решения стационар­ ной задачи как предельного решения нестационарных уравнений. Задача нестационарного обтекания математически принципиально более проста, поскольку уравнения нестационарного течения всегда сохраняют гипер­ болический тип и необходимость в разделении течения на дозвуковую и сверхзвуковую области отпадает. В этом заключается одно из основных преимуществ метода установления.

Точных аналитических решений задачи смешанного обтекания тупого тела не существует ни в двумерном, ни, тем более, в трехмерном случае. Поэтому единственным путем получения значений газодинамических функ­ ций во всем поле течения с заданной точностью является применение чис­ ленных методов и использование быстродействующих вычислительных машин. Существующий уровень развития конечно-раэностных методов решения уравнений в частных производных при условии использования современных вычислительных средств и специальных программ обработ­ ки результатов расчетов обеспечивает возможность детального изучения структуры смешанных течений.

Эти идеи положены в основу настоящей работы, посвященной расчету и исследованию двумерных и трехмерных течений идеального газа около гладких тупых тел.

Работа была выполнена в Институте прикладной математики АН СССР.

Авторы приносят глубокую благодарность академику М. В. Келдышу за внимание к работе.

б

Работа состоит из двух частей, каждая[из которых представляет отдель­ ную книгу. В первой части изложен метод расчета и дано исследование структуры течений. Вторая часть содержит таблицы газодинамических функций в дозвуковой и сверхзвуковой областях для течений около раз­ личных тупых тел.

Первая часть состоит из трех глав. Математическая постановка за­ дачи о нестационарном обтекании тупого тела и ее исследование, включая метод установления, приведена в первой главе, содержащей также полное описание конечно-разностного алгоритма расчета пространственного неста­ ционарного течения.

Вторая глава содержит исследование обтекания тупых тел малого уд­ линения, в частности пространственного обтекания круговых и эллипти­ ческих параболоидов, плоского и осесимметричного обтекания тел, обра­ зующими которых являются конические сечения.

В третьей главе рассмотрены сверхзвуковые области течения около тел большого удлинения — параболоидов, гиперболоидов, затупленных ко­ нусов п других.

Большое количество таблиц и графиков, содержащихся в первой и вто­ рой частях, дает полную информацию о структуре течений как качествен­ ного, так и количественного характера.

Авторы благодарны М. С. Аграновичу и Н. Н. Кузнецову за полез­ ные замечания, высказанные при обсуждении ряда параграфов.

Авторы также благодарны Н. А. Зайцевой, Э. И. Нажесткинойи М. В. Орловскому за помощь в программировании и выполнении расчетов.

§1. Общне соображения

1.Изобретение электронных вычислительных машин (ЭВМ) открыло новые перспек­ тивы для изучения физических процессов. Одновременно с внедрением в практику исследовательских работ ЭВМ начали интенсивно разрабатываться и численные

методы. ^ Электронные вычислительные машины сразу же после их создания стали широко

использоваться для решения задач аэрогидромеханики. В различных ее разделах поя­ вились новые результаты, и некоторые задачи были решены с помощью ЭВМ за срав­ нительно короткие сроки, хотя до этого долгое время не находили решения.

Вскоре после появления ЭВМ численным решением задач, и в частности задач аэрогидромеханики, стали заниматься многие математики, механики и инженеры. Открывшиеся перспективы в изучении движения жидкостей и газов вызвали большой энтузиазм у исследователей. Однако из-за недостаточного опыта, излишнего увлече­ ния и стремления «протолкнуть» любую задачу через ЭВМ без всякого обоснования и исследования используемого численного метода появилось значительное число сомни­ тельных и даже неверных результатов. Поэтому у ряда специалистов-механиков воз­ никло недоверие к численным данным, полученным на ЭВМ, и создалось мнение, что численные методы не являются надежным и полноправным инструментом исследова­ ния. Тем не менее прошло всего 10—15 лет с начала практического использования ЭВМ и взгляд на численные методы и их место в исследовании механики течений ко­ ренным образом изменился.

До изобретения ЭВМ для расчета течений жидкостей и газов использовались раз­ личные аналитические, графические и графо-аналитические методы. Расчет течений проводился «вручную», т. е. при помощи простых вычислительных средств — ариф­ мометров, настольных клавишных машин и др. Расчетом одного случая течения одно­ временно, как правило, было занято большое количество вычислителей, но несмотря на это расчеты проводились для малой области течения и с малым числом расчетных точек. Кроме того, вычислитель был вынужден постоянно, иногда даже в ущерб точ­ ности, заботиться об упрощении расчетного процесса: сокращении числа приближе­ ний, применении более простых вычислительных приемов и т. д. Поэтому использо­ вание на протяжении многих лет простых вычислительных средств не позволило полностью понять и выяснить достоинства и недостатки отдельных численных методов, с точки зрения применения их для расчетов течений на ЭВМ.

Огромное увеличение скорости выполнения арифметических операций на ЭВМ, по сравнению с ручным счетом, вызвало необходимость полной автоматизации всего вы­ числительного процесса, всей логики проведения вычислений. Не все методы, успеш­ но применявшиеся при ручном счете, оказались пригодными для использования на

*

ЭВМ. Примером может служить классический метод характеристик для расчета сложных разрывных течений газа. В применении к одномерным нестационарным те­ чениям метод был доведен до высокой степени совершенства и универсальности при расчете ручным способом [7]. Однако полный алгоритм метода характеристик, подоб­ ный описанному в [7], неизбежно включает в себя указания, основанные на качествен­ ной картине течения н рассчитанные на человеческий интеллект. Реализация полного алгоритма метода характеристик на ЭВМ с самого начала натолкнулась на не преодо­ лимые трудности. Метод характеристик в конкретных реализациях на ЭВМ утратил свою общность и универсальность даже для задач с двумя переменными, не говоря уже о пространственных течениях Таким образом, вместе с появлением ЭВМ возникла проблема создания и исследования рациональных и специально приспособленных для ЭВМ данного типа методов и алгоритмов расчета.

2. Несмотря на значительные успехи, достигнутые в теоретических и экспери­ ментальных работах по аэрогидромеханике, имеющиеся сведения о законах движения жидкостей и газов все еще недостаточны для практики. Особенно остро ощущается этот недостаток в вопросах обтекания тел при сверхзвуковых скоростях движения.

При сверхзвуковых скоростях инженерам-практикам необходимо детально знать все поле течения, а не только силы, действующие на тела. Такие сведения нужны для расчета интерференции между частями летательных аппаратов, теплопередачи, уноса массы, прохождения радиоволн и т. д. Однако даже сравнительно простые случаи пространственного обтекания осесимметричных тел изучены недостаточно подробно, а законы движения газа около тел более сложной формы почти совершенно не иссле­ дованы. До настоящего времени нет удовлетворительных ответов и на многие основные теоретические вопросы механики сверхзвуковых течений: об асимптотике течений, эволюции энтропийных слоев, возникновении ударных волн в потоке и их взаимодей­ ствии, о линиях растекания, звуковых и предельных линиях, об особых точках в те­ чениях и т. д.

Многие основные представления о течениях можно извлечь из решения задач с относительно простыми физическими моделями течения. Причем в большом диапазо­ не скоростей и внешних условий, интересующих теоретиков и практиков, решения, основанные на простых моделях, будут давать результаты, близкие к действительным физическим явлениям.

В настоящее время при расчете обтекания тел наблюдается тенденция рассмот­ рения все более сложных физических моделей течения: расчет течений с излучением, с уносом массы, с неравновесными физико-химическими процессами и др. Исследование сложных физических моделей течений точными методами в настоящее время возмож­ но лишь в простейших случаях. Поэтому большое практическое значение имеет рас­ смотрение сложных физических моделей приближенными методами. Такие исследо­ вания позволяют получать очень ценные для практики интегральные характери­ стики и различные оценки.

3. Для эффективного применения численных методов на ЭВМ необходимо, что­ бы математический алгоритм решения задачи удовлетворял довольно жестким требо­ ваниям. Кратко эти требования можно сформулировать следующим образом:

а) алгоритм должен быть применим к некоторому, четко описанному классу задач, причем расчет любой задачи из этого класса может быть проведен по более или менее стандартной методике;

б) алгоритм должен позволять проводить расчет любой задачи класса с заданной точностью;

в) алгоритм должен включать в себя эффективную и гибкую систему обработки полученной информации и представления ее в удобном для использования виде.

Конструирование алгоритмов, удовлетворяющих перечисленным требованиям,

1Это, конечно, не исключает возможности эффективного использования метода характеристик или его модификаций на будущих ЭВМ с более высоким «интеллектом», появление которых, по-види­ мому, неизбежно.

очень большого количества чисел (десятки и сотни тысяч). Очевидно, что без пред­ варительной обработки непосредственное использование такого количества инфор­ мации человеком практически немыслимо. Эффективный алгоритм обработки должен обеспечивать быстрое и удобное получение любой информации о поле течения, вклю­ чая вычисление значений параметров газа в заданной точке, нахождение экстремальных значений, построение лпний и поверхностей уровня, интегрирование, дифференциро­ вание и т. п.

За последние два десятилетия широкое распространение получили (при решении задач механики сплошной среды на ЭВМ) методы сеток или конечных разностей. В этих методах в качестве совокупности параметров, определяющих функцию, прини­ маются ее значения в узлах некоторой сетки.

Существует большое количество разновидностей метода конечных разностей в за­ висимости от способа выбора сетки, построения разностной схемы и метода решения разностных уравнений. Так, например, сетки могут быть равномерными (в исходной плп преобразованной системе координат) и неравномерными, связанными с формой области, в которой ищется решение, или со структурой самого решения, как в методе характеристик. В зависимости от вида алгебраических уравнений для значений функ­ ций и способов их решения разностные схемы разделяются на линейные, квазилиней­ ные, нелинейные, явные, неявные, итерационные и т. д.

С точки зрения количества операций, потребных для решения задачи с задан­ ной точностью, наиболее выгодны так называемые экономичные схемы, для которых число операций на одну точку сетки не возрастает с числом точек в области. Таким свойством обладают развитые за последнее время для решения многомерных задач схемы расщепления, дробных шагов или переменных направлений. Теория и приме­ нение разностных схем, в том числе экономичных, хорошо разработаны. Это делает возможным разработку разностных алгоритмов, удовлетворяющих сформулированным выше требованиям.

Класс задач, к которым применим тот или иной алгоритм метода сеток, обычно достаточно широк и ограничивается, как правило, лишь степенью гладкости функций. Точность метода регулируется в широких пределах изменением шага сетки. Обработ­ ку результатов оказывается возможным реализовать, основываясь на представлении функций в любой точке пространства путем соответствующей интерполяции.

4. Универсальных численных методов не существует. Одни численные методы наиболее эффективны при расчете дозвуковых течений, другие — сверхзвуковых, третьи целесообразно использовать для вычисления параметров течения около глад­ ких тел, четвертые — около тел с угловыми точками и т. д. Любой численный метод заслуживает внимания, когда хорошо известны основные критерии его эффективно­ сти: область приложения (или класс решаемых задач) и точность результатов, которая может быть достигнута. Чтобы получить ответы на эти вопросы, необходимо провести тщательное и всестороннее исследование численного метода. Без такого исследования применение численного метода не приносит пользы, а приводит лишь к дискредитации численных методов вообще, вследствие таких, например, недоразумений, как восприя­ тие чисто вычислительных эффектов в качестве новых эффектов механики течений.

В настоящее время разработано большое количество численных методов, позво­ ляющих эффективно решать многие сложные задачи газовой динамики (методы ин­ тегральных соотношений, конечных разностей, «больших молекул» и др.). Вопрос о сравнительных достоинствах и недостатках методов не имеет смысла ставить в общем виде, в отрыве от целей решения и типа задач. Так, например, величина погрешности метода в сильной степени зависит от того, насколько удачно для данной задачи выбран способ представления функций в численном алгоритме. Поэтому один и тот же метод может давать весьма различные результаты для разных задач. Задачи механики сплошной среды слишком многообразны для того, чтобы можно было надеяться иметь для всех них универсальный эффективный метод. Вопрос о том, какой метод предпоч­ тительнее для данного класса задач, должен решаться конкретно, в зависимости от целей и характера исследования.

5. Существуют точные и приближенные численные методы. Численный метод можно назвать точным, если он дает возможность получить решение уравнений с лю­ бым числом верных цифр в значениях искомых функций. Если такой возможности нет, численный метод следует считать приближенным.

Строго говоря, ответ на вопрос, является ли тот или иной метод точным, можно дать, когда математически доказана его сходимость к точному решению задачи для дифференциальных уравнений. Для некоторых линейных задач такие теоремы доказа­ ны. Как правило, они вытекают из аппроксимации дифференциального оператора и устойчивости численного алгоритма. В нелинейном случае подобных теорем не суще­ ствует. Оценивать точность решения в нелинейных задачах приходится косвенными путями, после его получения, путем проверки выполнения различных критериев, а также сравнения результатов расчетов с различными шагами сетки. О принципиаль­ ной возможности получения решения с любой точностью в нелинейных задачах можно заключить лишь по аналогии с соответствующими линейными результатами и, глав­ ным образом, на основании накопленного опыта расчетов и исследования результатов численного решения.

Естественно, что практически количество верных цифр, которое можно получить точным численным методом, ограничено разрядной сеткой вычислительной машины, ее быстродействиеми объемом запоминающихустройств. Однако еще раз подчеркнем, что для выяснения вопроса о том, является ли численный метод точным, важна принци­ пиальная возможность неограниченно уточнять решение.

Достигнутая точность численного решения, полученного с помощью тогоили иного численного метода, зависит еще и от квалификации и опыта вычислителя-программис- та. Поэтому уместно ставить вопрос о точности полученных численных данных после проведения^конкретных расчетов независимо от того, каким численным методом про­ водился расчет — точным или приближенным.

& Совсем другим является вопрос о целесообразной точности расчетов. Решение этого вопроса зависит от предполагаемого использования результатов. С точки зре­ ния практической аэрогидромеханики чаще всего целесообразно иметь две-три верные цифры в численных результатах. С точки зрения теоретической аэрогидромеханики обычно требуется большая точность результатов. Иногда расчеты должны проводиться с очень высокой точностью (пять-шесть верных цифр). Это необходимо при изучении тонких эффектов течения или в тех случаях, когда результаты численного решения одной задачи будут служить исходными данными для решения другой задачи. При численном решении задач с недостаточно точными физическими данными (константа­ ми, коэффициентами, функциями распределения и др.), казалось бы, нецелесообразно добиваться более высокой точности, чем точность исходных физических данных. Тем не менее это не всегда так. При решении модельных задач или проверке влияния точ­ ности физических данных на поведение некоторых функций иногда целесообразно проводить численное решение и с более высокой точностью, чем точность исходных фи­ зических данных.

6. Остановимся на связи численных методов с аналитическими. Прежде всего за­ метим, что употребление самого понятия «точное аналитическое решение» за последние годы претерпело изменения. Если в таких классических работах, как [1] или [2], под точным аналитическим решением понималось решение, представленное в виде инте­ грала от элементарных функций или в виде ряда, сходимость которого доказана, то в работе [11] решение называется точным, если оно сводится к краевой задаче для обык­ новенных дифференциальных уравнений.

Для уравнений в частных производных, описывающих течения идеального сжи­ маемого газа, точные аналитические решения получены лишь в немногих случаях. Точные аналитические решения для очень важных течений газа даны в широко из­ вестных работах [2, 4, 5]. Чаще же всего полученные точные аналитические решения не имеют существенного теоретического или практического значения. Поэтому возмож­ ности аналитического исследования течений газа, особенно многомерных, ограни­ чены в основном автомодельными решениями, линейными моделями и различными