книги / Течения газа около тупых тел. Метод расчета и анализ течений А. Н. Любимов, В. В. Русанов

Ри = р-С'5^2

Р1З = р^^Ьз»

Р*з =

р2с2Ь2Ь31

Ри =

— 5Х50,

Рм =

— 5260,

(^34 =

— ЬцЬ0,

Ра =

Рг2»

Р31 =

0137

Рз2 = Р-237

Ра — ГєРх4,

Р42 = р2С2р24,

043 =

р2С2Рз4,

Ф* =

771^15“Ь И'З, 771 25 ”4" |*3, 771Рзз “Г 1^4, т1^457 5 = 1, 2, 3,4,

=

фха0

Ф4р2с2Ьь

= ф2СС0-

ООТ

Кт-Л

“ ф4р-С“&27

— ф3а0 — Ф Р2С%,

^2, 771-г1 —

К ™~1

К», 771т1 =

=ф4а0 —

• ФА — ф А — фаЬл,

®772+1 =

ФхЯ1 +

'ф2Я2 +

фзЯ3 + ф4Я4 “

&771^7

| = шах | |л5,ш+1 I

5 =

Г, 2, 3, 4,

И-ш-и —

&ТП+1

&т-т1

(5.23)

И^ТП.1

Из приведенных формул

следует, что исходными величинами для одного шага

прогонки являются р^т , $т;

Ь0, Ьъ

Ь2, Ь3; р2с2,

я2, я 3, я4, т. е. всего 14 величин.

В обратной прогонке используются

также 14 величин: рЬ т, ^т ; 50, Ъи Ь2, Ь3; р2;

л г, я2, я3, я б, которые только и нужно запоминать во время прямой прогонки. Этим

достигается весьма существенно экономия памяти, так как без учета специфики матриц

а и Ъ было бы необходимо на каждом шаге прогонки запоминать

около 30 величин.

7.

Формулы прогонки для

центрального луча. Прямая, прогонка для централь­

ного луча

производится в точности по тем же

формулам, что

и для внутреннего

луча, за исключением формул для [х0, Ь0 и 6б, которые имеют

вид:

Ро =

Ь , 1 у, 0, О}?;*,

#0 =

0,

Ьо =

1

- 2 а х( ,I +

Ъг И

+ ЪХУ +

0,

=

2эСХ1 (р

01

Ь2=

- 2 а х 1( р - '|Х ^ . )о,о,

Ь3= - 2 * х1(рЧ^Ж о, о,

а = 2 — Ъ0.

Формулы обратной прогонки для центрального луча получаются из формул (5.24)

путем замены и, г>, м, на

{/,

И'’.

Пусть в результате прямой прогонки на внут­

8.

Решение уравнений на волне.

реннем или граничном луче получено соотношение

= #м.

или, в развернутом виде, опуская индексы

Май + № +

№ + Ц4Р = 8-

(5.25)

Присоединяя (5.25) к граничным условиям на волне (3.17) в точке (М, /с, 1Лп+ (/+1))*

получим

систему шести

уравнений

для

компонент

и скорости волны

итерации по формуле (3.16). Введем обозначения:

Х = Х - Х ос,

Й =

— р [ртс (%„оо

П)] 1,

8 =

8 — Р^оо— Р2*>оо— М-З^оо — щр*.,

(5.26)

=

V1м0О+

V2^;оо +

V3гцэо,

Р* =

Р Л +

[Х2У2 +

р ^ 3.

— V.2И+ V!*; =

0,

Л^31? —

'УаЭД =

0 ,

+

у2т; -[

V3и; — Я =

0,

РгИ +

р31; +

[13т — Р4рот (%оо — В)

Роо(^оо-^)

(5.27).

р

%УОО- . о + о •

М р . р ) + Ч1Ь2 - а д =

+ ^ с о /2 - а д а ,

V== ^уоо"Ь

= % ,о о

“р У х И -р 'У2У -р'УзIV —ЭДуоо“р ^•

Й (0) ~

^ - ^ Р е о ^ о о - '^ Г

’

р(С) =

рсо- р ео( ^ с о - 1>)Й,

и * » - о

Р = «.во-■

0 + 0 ’

11(0) = Н(р, р),

(5.28)

к (С) — Ле + о (О)

+ 0 (Л)/2]

ф (Д )=

Оф)

В качестве 2)1°1 удобно брать значение I)

с предыдущей итерации 2)м __ д«+о

Так как, вообще говоря, может оказаться, что |Ф'(1>) | >

1, то для обеспечения

сходимости итераций следует применять

формулу

д [т 1 = В [з] + Ь[5] [Ф (В[з]) — 2)[5]],

(5.29)

выбирая

так, чтобы модуль производной правой части по ВМ был меньше едини­

где У(В) = Ф'(В).

К ” ’

Для Чг(1>) имеем формулы:

\1Г ( т\\ _ 1

I ( ^ ___ ^

^°° ^ ^

а

<ш+ \2

й2

у 5 5 »

с?Л

__дк Ар

дк

А (р-1)

(5.30)

Ш ~

+

3(р-1)

сЮ ’

Й

- Рвв[ о

- ( * * - в

) 5

] .

1 ё 1 = Р 5С К « -,.О Г -{ й +

- 0 ) § } ,

Й =-

^^«РооГ1-

Х1Л/ пМч _ Ф(Д[3]~Ф (Р ^ 1])

(5.31)

Итерации заканчиваются, если выполняется

неравенство

|Ф (Л м ) - Л м |< в ь ,

(5.32)

где еь — заданная константа.

Тогда полагаем:

рп+О+1) = Д М

= р ( 0 Ы)л

р« $ р =

р(1) \

и З ®

= и„в, *., + О(ДИ)ъ,

(5.33)

РДГ,(1М = *>оо.

^ (2 )Ы ) У2 1

^М ,( М = ^оо, к, I + О ( - 0 ^ ) Vз,

К Т ? «=к*1- о) (й +$

+

жт\

К Т ^ К . у + \А {« К Т ? + Р К , К ,},

(5.34)

чем и заканчивается расчет функций на волне.

из формул для внут­

Все формулы для расчета центрального луча получаются

реннего луча путем замены величин X, ^2,

^г,

на

X* 5** ^х»

т* Д«

а) внутренний или граничный лучи:

К Т

= 4 ( К Т

+

2 К Т ,+ К Т ) ;

(5.35)

б) центральный луч

Ь—1

К Т

=

(2ь Ы

2

Р и 1 + Ь К о}П+°')

4=0

при отсутствии симметрии, 0 =

2я,

Ь—1

К Т = (21-Г1 { 2

? !., +

7 а(?!.о + ^ 1.ь) + ^о,о}п+(Л

(5.36)

4=1

что эти операторы должны быть таковы, что

^х/о,о (5)

~

^Лг/х, о, оЙ)»

^у/<Ь0(5)

~

2Лз/у, 01 о (5)»

^хх/о, о (5)

~

7^/хх, о^ о (I)»

(5.37)

^1/у/о,|о (&) ~

^з/VI/» о, 0(6)»

$ху/о, 0Й) ~

2/г-2^з/ху, о, о (!)•

при

/с =

1; / =

0,..., Ь — 1 и

значение / 0|0(^) = /о,* =

/ Для всех I.

це

Пусть х1% =

г^соз 0*, уъ1 =

г ^ з т 0г — координаты

точек, лежащих на коль­

к =

1 , вг =

1к3. Будем предполагать сначала,

что

симметрия отсутствует и

к3 = 2 я/Ь. Разложим / в ряд Тейлора вблизи точки (0,0)

л

1

о +

хи Ши (/ху, о +

/ 1,1 = / + хи г/«с, о +

У\у1/у, о + у ^

+у У?,Ли.О+О(ГЬ>- *=0-1, • • •’1 - 1-

<5-38)

6*/о,о =

гоМго+г»)

^

1’° ~~ г^1>аь/4+'(Г®—

1 * ’° =

Го (го +

Г2)

’

Тж.гЬ/4 —

Г* (ГО +

г3)

’

Г*,1 = 0

при

1фО,2Ь/Ь;

Аналогично

^1/, Ь/4

п (Г1 +

Гз)

*

^1/. з1 /4

Г3 (Г1 +

Г«)

*

(5.43),

0 при

1Ф ЦЬ,

Гу = Ч 1ГзГ8) •

Гу, I =

ЗЬ/4,

Если имеется симметрия относительно плоскости 0 =

0 ч- я, то г* — г3 и

Чу,щ = ~ ?у,зц* = 1/г г1|

Т =

0>

<Уо,0 = (Л3Л1) (/1,1/4

А, ЗЬ/4^'

(5.44)/

Бз = 8 ,

(5.45)

Х1,0

Уио

х21.0

^1,0^1,0

^1,0

*1,1

У1,1

X2

*1,1У1,1

У\.1

1.1

^ - 1

А,Ь-1

У\щЬ-1,

= °

<61>

задачу Коши с начальными данными на всей плоскости

х3г

1»Х%, ^з)»

Здесь А, В , С — постоянные матрицы порядка Д,

удовлетворяющие

условию

Д|,}+1 + 2X1-4Дх,,;+1+"2 Ах*,34"^^Ах,,;}М?”# ;=0,

(6.2)

Условия (6.7) и (6.9) примут вид

Ц2 (^в) V(^1»Д:2»Х?) ^~дХ1

~дх2

^ ~дхз) ** (Ж1 Н“

+

'®*2^2'2» ХЪ+ ^З^з) || =

=

0(*9),

(6.13)

| 2 (Т) и(х1л ж„, х3) | = 0 (т««).

(6-14)

3.

Метод Фурье. Для фактического исследования

аппроксимации,, а также устой­

чивости разностной схемы (6.2) применим метод Фурье [163]. Предполагая здесь и

далее, что функции м;п+0) (а^, х2, х3) удовлетворяют условиям,

обеспечивающим за­

конность преобразования по всем переменным, выпишем формулы, связывающие

грп+Щхц х2л х3) и

ее преобразование Фурье РРЛ+(Я (^1?

^3):

оо

^

П+(,) (^1. Ег! 1з) =

$ $ $гип+0) (X!, х2, х3)е’а*‘<1х1'д,хъс1,х3,

и'"+У) (*к.**• * ) =

со

Ь)

(6.15)

$ $^П+(Л(1ь

Ъя<*6,

где условно обозначено х1 = х ^

+ х2\ г + я3| 3.

Формулы (6.15) и аналогичные им устанавливают взаимно однозначное соответ­

ствие между функциями

]Уп+(з\

и, V

и

их преобразованиями Фурье ЙРп+0‘)

С/

у

которое сокращенно обозначается

знаком

’

*

’

™ПНП(* Ь

*». *3> ~

И^”+(Л (Бь

Ь ,

|з ) |

I; (а?!, х2, х3, 2) ~

У (5х, ^а>5з> 0

и

т.^д.

Если принять в качестве нормы ю и \У норму Х2, то преобразование (6.15) будет

сохранять ее:

'

1^

1 = 11^

1,

|„ | = | 7 | и х . д.

Из (6.15) легко получить хорошо известные соотношения

2>

П+(Л ~ е-***\УпМ-л ,

— • шп+а) ■

*|.ИГП+(Я,

(6.16)

д у ____... у

ду

дУ

дх

Ъ 8У1

Я*

яГ •

д1

дЬ

Используя (6.4) и (6.16), получим формулу, связывающую И/П4(;+1), руп+<»>

(*"&)

+

<?!(«"“А) ШпН11 + ^ (е^А) ЦГп = 0.

(6.17)

Условие разрешимости системы (6.4) относительно ц>п+&+1) эквивалентно сущест­

вованию при

всех

6,

обратной

матрицы {8 2(е"^»)}-1.

Поэтому П,п+(5+1) можно

выравить явно {через И',п+У) и \Уп

(?1И^"+<У) +

<?0ТГ\

О х - - Я Х

<?0 =

- ф й о .

(6Л8)

Матрицы <?0 и

являются рациональными матричными функциями от своих аргу-

! мёнтов Т $ или

г"****».