книги / Теория автоматического управления техническими системами
..pdfСледует обратить внимание, что выражения (3.48) и (3.49), определяющие ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференцирующего звена (3.45), являются обратными по отношению к соответствующим характеристикам апериодического звена (3.30).
Дифференцирующее звено 2-го |
порядка. Дифференциальное |
|
уравнение такого звена имеет вид |
|
|
X2= k fei£ + 2 iiTa?j}-+ x>'j. |
(3.50) |
|
Здесь выходная величина определяется не только входной пе ременной, но также первой и второй производными от нее. Зве но характеризуется тремя параметрами —передаточным коэф фициентом kyпостоянной времени т* и параметром
Уравнению (3.50) соответствует передаточная функция
W(s)= k (Td2s2+2£dT„s+1). |
|
(3.51) |
|
Предполагается, что |
выражение (3.51) |
нельзя разложить на |
|
простые множители, т. е. представить в виде |
двух выражений |
||
первой степени. Передаточная функция |
(3.51) является обрат |
||
ной по отношению к передаточной функции |
(3.34) колебатель |
||
ного звена. Переходную функцию дифференцирующего звена |
|||
2-го порядка определяют с помощью выражения |
|||
А(<)= А{т„2 |
+25Л 6 (<) +1 (<)}. |
|
(3.52) |
График переходной функции (3.52) изображен на рис. 3.20,а. шЦ %
Рис. 3.20. Динамические характеристики дифференцирующего звена 2-го порядка:
а—переходная функция; б—АФХ
Если входное воздействие изменяется скачкообразно, то на вы ходе получаются импульсы бесконечно большой амплитуды, соответствующие бесконечно большой скорости изменения вход ного воздействия и его производной в момент скачка. Затем выходная величина принимает постоянное значение.
Частотные характеристики идеального дифференцирующего звена 2-го порядка описывают формулой
^(У©)=Л|/(1-т/ш2)2+ (2^а))2 e |
(3.53) |
Модуль функции (3.53) является амплитудно-частотной харак теристикой
Н(ш)=А Vi} —т/ш2)2+ (2Qdxd(ù)\
аее аргумент представляет собой фазовую частотную харак теристику
АФХ дифференцирующего звена 2-го порядка представляет собой параболу, которая начинается из точки К (рис. 3.20,6).
Дифференцирующее звено 2-го порядка при частотах, стре мящихся к бесконечности, вносит опережение по фазе, стремя щееся к 180°. Это звено необходимо для введения первой и вто рой производных в закон регулирования для улучшения дина мических свойств системы.
Запаздывающее звено. Описывают уравнением
x2(t)=Xi(t—T:o). |
(3.54) |
которое показывает, что входной сигнал |
воспроизводится на |
выходе запаздывающего звена без искажений, но с запаздыва нием то (рис. 3.21,а).
jVtui i
|
I |
Рис. 3.21. Динамические характеристики |
запаздывающего |
звена: |
|
а—входнойсигнал *,({) иреакция звена Ха(<): б—АФХ |
|
Уравнению (3.54) могут соответствовать: |
|
трансцендентная передаточная функция |
(3.55) |
W (s)= e“T»s; |
|
частотная характеристика
82
W(уш)= е~'г®/(В, |
(3.56) |
где то —постоянное запаздывание.
Амплитудно-частотная характеристика запаздывающего зве
на #(©)= 1, фазово-частотная характеристика 0(©)=—то©. Согласно формулам (3.55) или (3.56), АФЧХ представляет
собой окружность единичного радиуса с центром,в начале коор динат (рис. 3.21,6). При увеличении частоты вектор №(/©) вра щается по часовой стрелке.
На рис. 3.22,а изображена схема системырегулирования концентрации смесикомпонент Ли В. Датчик (Д) измеряет состав смеси и через время то—IIVв зависимости от состава смеси регулирующее устройство (Р) воз
"А
Рис. 3.22. ПримерыСАР с запаздывающим звеном
действует на заслонку, открывая или закрывая ее. (Здесь /—расстояние измерительного элемента Д от заслонки; V—скорость движения жидкости).
На рис. 3.22,6 изображена схема САР толщиныпроката. Регулирующее воздействие поступает на валки через время то=4V (где /—расстояние Д от валков, V—скорость проката).
Большинство звеньев САР обладает направленным (детек тирующим) действием. В общем случае выражение для переда точной функции последовательно соединенных звеньев имеет следующий вид:
е“т«*. (3.57)
где П —знак произведения.
Выражение (3.57) состоит из произведения передаточных функ ций типовых звеньев, рассмотренных ранее.
3.6. Логарифмические частотные характеристики
Исследование САР значительно упрощается, если пользо ваться .не обычными, амплитудно-фазовыми частотными харак теристиками, а логарифмическими.
Амплитудно-фазовые частотные |
характеристики |
системы |
|
(3.57) определяются с помощью |
выражения: |
(3.58) |
|
Г(/и)=Я(ю)е*и>“, |
|
|
|
где Я(<а) —амплитудная частотная |
характеристика; |
0(©)~ |
|
фазовая. |
(3.58), получают |
|
|
Прологарифмировав выражение |
|
||
In №(/ю)=1пЯ(©)+/е(со).
Кривые, соответствующие функциям 1пЯ(©), 0(ш) и построен ные в логарифмическом масштабе частот In ©, называют нату ральными логарифмическими (амплитудной и фазовой) частот ными характеристиками (ЛЧХ). На практике обычно пользу ются ЛЧХ, основанными на десятичных логарифмах.
Рассмотрим ЛЧХ системы, описываемой выражением (3.27). Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) разомкнутой системы №(/©) называют кривую, соот ветствующую двадцати десятичным логарифмам модуля пере даточной функции, построенную в логарифмическом масштабе частот. ЛАЧХ обозначают через Lm(co) или L\W(j(ù) |:
Lm (©)=201glW{j(ù) \ —L\W(j(ù)I. |
(3.59) |
Логарифмической фазовой частотной |
характеристикой |
(ЛФЧХ) разомкнутой системы W(ja) называют фазовую час
тотную характеристику 0(ш), построенную в логарифмическом масштабе частот. Логарифм модуля передаточной функции си стемы W{j(ù) отсчитывают в децибелах1.
Двукратному изменению частоты соответствует октава, а десятикратному —декада. Число октав в интервале частот (ю2... (Di) определяют соотношением
lg(©2/<ùi)/lg 2«3,32ffi2/cûb
число декад в том же интервале частот составляет lg(©2/coi)- Рассмотрим логарифмические частотные характеристики ти
повых звеньев САР.
Усилительное звено. Так как передаточная функция усилительного звена W(s)=k, то ЛАЧХи ЛФЧХэтого звена не зависят от частотыи их опреде ляют по формулам Lm(«û)=201gé=const и 0(ю)=О во всем частотном диапазоне.
Апериодическое звено. Частотнуюхарактеристику апериодического (инер ционного) звена определяют по формуле
1Децибел, заимствован из теории связи, где он является единицей изме рения усиления или затухания. Если усиление или затухание определяется числомА, то это соответствует 20 lgАдецибелам. Втеории связи децибел яв ляется безразмерной величиной. Втеории автоматического регулирования децибел выражает 20 десятичных логарифмов отношения амплитуды выход ной величинык амплитуде воздействия на его входе. Эти величинымогут иметь разные размерности.
Логарифмические амплитуднуюи фазовуючастотные характеристики апе риодического звена при k=l определяют в соответствии с выражениями (3.59) и (3.60) по следующим соотношениям:
Lm(©) =20 lg>'r2©4-l; |
|
(3.61) |
|
0(©)=—arctg 7©. |
|
(3.62) |
|
Если в выражении (3.61) для Lm(©) |
пренебречь величиной Г2©2по сравне |
||
ниюс единицей в частотном диапазоне, в котором |
и пренебречь еди |
||
ницейпо сравнениюс Г2©2при 7©>1, то |
|
||
Lm(©)=—20 1g Утг& + 1«0, |
“ |
(3.63) |
|
Lm(©)s—20 1g 1^2 =—3 дБ. |
.. |
||
апериодического звена |
|||
Соотношения (3.63) показывают, |
что ЛАЧХ |
||
Lm(©) приближенно может быть представлена двумя прямолинейными от резками (асимптотами ЛАЧХ) :
Lm(©)s0, ©< 1/Г;
Lm(©) =—201gTtù,
которые сопрягаются друг с другом при частоте ©а=1/Т. Эта частота назы вается сопрягающей. Максимальная ошибка, которая допускается при такой аппроксимации, имеет место при сопрягающей частоте и составляет —3дБ, т.е.
Наклон, который имеет асимптота при частотах ©>©. по отношению к осичастот,определяют следующим образом:
при(|)>>©а
Lm(<ûi) =—201g Тип, приш=2й>.
Lm(2(0i) =—201g274oi. Следовательно,
Lm(2©<)—Lm(o)i) =—201g2s—6.
При двухкратном изменении частотыхарактеристика затухания апериодиче ского звена Lm((o) уменьшилась на 6 дБ, или асимптота имеет наклон, рав ный —6дБ на октаву.
Если изменить частоту ©*на декаду,т.е.©=10©;, то Lm(10(ûi) =—201g ЮГ©,,
Lm(10©,)—Lm(©,) =—20. |
|
|
|
|
|
На рис. 3.23 приведеныЛАЧХи ЛФЧХапериодического звена, вычис |
|||||
ленны по точной (сплошная |
линия) и |
приближенной (штриховая линия) |
|||
формулам. Вне интервала, равного двум октавам вправо ивлево от сопря |
|||||
гающей частоты, обе характеристики |
(точная и приближенная) не отличаю |
||||
ся друг от друга. |
|
|
|
|
|
Значения ошибки Ôдля различных отношений ©/©., которые получаются |
|||||
при замене точной ЛАЧХдвумя сопрягающим асимптотами, следующие; |
|||||
©/©....0,10 0,25 0,40 0,5 |
1,00 |
2,0 |
2,50 |
4,00 |
10,0 |
б,дБ...0,04 0,32 0,65 1,0 |
3,01 |
1,0 |
0,65 |
0,32 |
0,04 |
L(cù)—ЛАЧХ; 0(a)-ЛФЧХ
0,1 |
0,1 |
0,5 |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
5,0 |
|
10 |
|
|
|
|
ш/шв~Таи> |
|
|
шТ |
|
||
Рис.3.24.Кривые зависимости поправки б аперио |
|||||||||
дического звена от отношения <£»/©, |
|
б |
от отношения |
||||||
На рис. 3.24 показана кривая зависимости |
поправки |
||||||||
o/û>i, ЛФЧХапериодического звена определяют по формуле |
(3.62), т. е. |
||||||||
0(ю) =—arctg(co/co,). |
|
|
|
|
|
|
|
(3.64) |
|
Влогарифмическоммасштабе частот эта характеристика является кососим |
||||||
метричной относительно сопрягающей частоты(оа, при которой она имеет |
||||||
ординату —45° (см. рис. 3.23). Для построения ЛФЧХможно пользоваться |
||||||
тригонометрическим таблицами. |
|
|
|
|
|
|
Так, например, при (о/со»<0,5 фазовая характеристика (3.64)0(©)^0)/©а: |
||||||
при со/сОа>2 0(<и)«—(я/2—ей/©»). Эти формулыполучают разложением |
в |
|||||
ряд arctg ш/ы»а при отбрасывании членов выше |
1-го |
порядка |
малости. |
|
||
Неустойчивое апериодическое звено. Частотные характеристики неустой |
||||||
чивого апериодического звена при k=l могут быть описанывыражением |
|
|||||
m //0\__1 |
-a-/(n-arctgra) |
|
|
|
|
|
wVw>-yT*©*+ 1 |
|
|
|
амплитудные |
||
Сравнив это и выражение (3.60), видим, что логарифмические |
||||||
характеристики устойчивого и неустойчивого апериодических звеньев совпа |
||||||
дают, а фазовые отличаются друг от друга. |
звена |
при |
малых |
значениях |
м |
|
ЛФЧХустойчивого апериодического |
||||||
асимптотически стремится к нулю, а при ©-»-оо |
к (—я/2). ЛФЧХнеустой |
|||||
чивого эвена при малых значениях ©асимптотически стремится к (—я), |
а |
|||||
при <j)-»-ooк (—я/2). Эти характеристики |
строят по тем же правилам, что |
|||||
н характеристики устойчивого апериодического звена. |
|
|
|
|||
Устойчивое колебательное звено. Логарифмические амплитудная и фазо |
||
вая частотные характеристики устойчивого колебательного звена определяют |
||
спомощьювыражений: |
(3.65) |
|
Lm(ю)=—20 lg ■ул(1-Гкгхог)г +(2§к7'кй))г; |
||
0 (ш)=—arctg 2£„7\гй> |
(3.66) |
|
Семейство кривых Lm(co) и 0(<о) для различных значений |
коэффици |
|
ента демпфирования ^K^const показано на рис. 3.25 и 3.26. Значения ЛФЧХ |
||
колебательного звена |
при £*=0,5 даныв табл. 3.1. Кривые Lm(<o) в зави |
|
симости от значения |
могут иметь существенный пик при Тка>—1.Поэтому |
|
представить Lm(о) в |
виде сопрягающих прямолинейных отрезков |
в окрест- |
|
|
ЛФЧХколебательного звена (|к=0,5) |
ш |
|
|||
“к |
ф.” |
(1) |
Ф.° |
К |
Ф.° |
ф.° |
|
“к |
|
||||||
0,01 |
-0,6 |
0,5 |
-33,7 |
1,25 |
—114,2 |
7,0 |
—171,7 |
0,04 |
-2,3 |
0,6 |
—43,1 |
1,50 |
—129,8 |
8,0 |
—172,8 |
0,06 |
—3,4 |
0,7 |
—53,9 |
2,00 |
—146,3 |
9,0 |
—173,6 |
о.ов |
—4,6 |
0,8 |
—65,8 |
3,00 |
—159,4 |
10,0 |
—174,2 |
0,10 |
-5,8 |
0,9 |
-78,1 |
4,00 |
—165,1 |
20,0 |
—177,1 |
0,20 |
-11,8 |
1,0 |
—90,0 |
5,00 |
—168,2 |
30,0 |
—178,1 |
0,30 |
|
1,1 |
—100,8 |
6,00 |
—170,3 |
50,0 |
—178,8 |
0,40 |
|
|
|
|
|
100,0 |
—179,4 |
- ч
ностях точки 7'Kû)=l не всегда возможно. Однако при значениях (0<С1/7„ и®»1/ГкЛАЧХ(3.65) может быть приближенно заменена прямыми ли ниями,т.е.
1лп(©)«0, оХ1/Гк; Lm(œ)«—201g (Гк®)2, со»1/7к.
ЛАЧХколебательного звена при малых значениях шасимптотически стремится к оси частот (т. е. к прямой, имеющей нулевой наклон), а при больших—к прямой, имеющей наклон —12 дБ на октаву -или—40 дБ на декаду.
Для облегчения построения логарифмических частотных характеристик колебательных звеньев в таком интервале частот, в котором они не могут быть замененыпрямолинейными асимптотами, пользуются кривыми поправок (рис. 3.27) или табл. 3.2.
Рис. 3.27. Кривые поправок 6 для асимптотических частотных характери стик колебательного звена
|
Поправки 6 |
к асимптотическим |
логарифмическим |
амплитудны характеристикам колебательного звена |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Поправки 0, дБ |
|
|
|
|
|
|
|
О-1 |
| |
0,2 |
0,3 |
причастотеш, с-1 |
0.6 |
| |
0,8 |
| |
1.0 |
||
|
| |
0,4 |
0.5 |
|||||||||
0,05 |
0,087 |
|
0,353 |
0,814 |
|
1,505 |
2,480 |
3,838 |
|
8,665 |
|
20,000 |
0,10 |
0,086 |
|
0,348 |
0,802 |
|
1,480 |
2,425 |
3,728 |
|
8,094 |
|
13,980 |
0,15 |
0,083 |
|
0,338 |
0,781 |
|
1,430 |
2,330 |
3,546 |
|
7,280 |
|
10,460 |
0,20 |
0,080 |
|
0,325 |
0,744 |
|
1,360 |
2,201 |
3,305 |
|
6,345 |
|
7,960 |
0,25 |
0,076 |
|
0,312 |
0,708 |
|
1,274 |
2,040 |
3,016 |
|
5,380 |
|
6,020 |
0,30 |
0,071 |
|
0,292 |
0,658 |
|
1,179 |
1,857 |
2,687 |
|
4,439 |
|
4,439 |
0,40 |
0,059 |
|
0,240 |
0,533 |
|
0,927 |
1,414 |
1,940 |
|
2,680 |
|
1,940 |
0,50 |
0,044 |
|
0,170 |
0,371 |
|
0,627 |
0,902 |
1,137 |
|
1,137 |
|
0,00 |
0,60 |
0,024 |
|
0,092 |
0,190 |
|
0,292 |
0,354 |
0,326 |
|
—0,217 |
|
-0,217 |
0,80 |
-0,025 |
|
-0,103 |
—0,245 |
-0,474 |
-0,800 |
(—1,240 |
|
—2,474 |
|
-4,080 |
|
1,00 |
—0,086 |
|
—0,340 |
—0,748 |
—1,29 |
—1,938 |
—2,670 |
|
—4,296 |
|
—6,020 |
|
>
Правила вычисления и построоения ЛАЧХколебательного звена: |
|
||
1) на оси частот отмечают точку, соответствующуюсопрягающей частоте |
|||
©К=1/ГК, н из нее проводят две асимптоты: с наклоном 0 дБ/дек влево |
и |
||
>-40 дБ/дек вправо. Врезультате получают первое приближение для лога |
|||
рифмической амплитудной характеристики в виде прямолинейных асимптот, |
|||
которые сопрягаются в точке оок=1/Гк; |
со |
||
2) для уточнения ЛАЧХиспользуют или кривуюпоправок, которой |
|||
ответствует значение параметра |
наименее отличающееся от рассматривае |
||
мого, или табл. 3.2. Поправки откладывают с соответствующим знаком от |
|||
сопрягающих асимптот. |
ЛФЧХв соответствии с выражением (3.66) |
||
Для вычисления |
значений |
||
можно использовать тригонометрические таблицыи следующие приближен |
|||
ные формулы: |
|
|
|
arctg 2l«TK(ù,=2§к7’к©. Тко<0.4; |
|
||
1 TK*tù* |
|
|
|
2§K7> |
2|k |
T|£©^2|5a |
|
arctg1—7У©*“ Л Tk(ù’ |
|
||
Ошибка при вычислении фазыпо этим формулам при любом значении ©не |
|
превышает 2°. |
|
Неустойчивое колебательное звено. Вслучае неустойчивого колебатель |
|
ного звена, имеющего передаточнуюфункциювида |
(3.36), выражения для |
ЛАЧХи ЛФЧХсоответственно при 6=1 имеют вид |
|
Lm(©)=-20lg /(1 +7V©2)2+ (2|к7»г; |
(3.67) |
е(“>=агс1гттЙ%г |
(3.68) |
Кривые отклонений точных ЛАЧХот асимптотических, определяемых форму |
|||
лой (3.67), данына рис. 3.28; семейство ЛФЧХ, определяемых |
формулой |
||
(3.68),показано на рис.3.29. |
|
|
|
Для неустойчивого колебательного звена, имеющего передаточнуюфунк |
|||
циювида (3.35), ЛАХи ЛФЧХсоответственно при 6=1 имеют вид: |
|||
Lin (©)=-201g V(1—7У©г)г + (2§к7»г. |
|
|
(3.69) |
2ёи7’к© |
|
|
(3.70) |
6 (co)=arctg fllyy©»» |
|
|
|
Сравнивая формулы(3.69) и(3.70) с формулами (3.65) |
и (3.66), отметим, |
||
что амплитудные характеристики Lm(©) рассматриваемых |
неустойчивого и |
||
устойчивого колебательных звеньев одинаковы, а фазовые характеристики отт |
|||
личаются лишь знаком. |
можно пользоваться |
||
Таким образом, при построении ЛАЧХ (3.69) |
|||
рис. 3.30, а при построении ЛФЧХ(3.70) —рис. 3.31, зеркально |
отобразив |
||
последние относительно оси ш. |
|
|
|
Интегрирующее звено. ЛАЧХи ЛФЧХинтегрирующего звена при 6=1, |
|||
в соответствии с выражением (3.43), определяют по |
формулам: |
|
|
Lm(©) =—201g©; |
|
|
(3.71) |
6(©) =—ii-=const. |
|
|
(3.72) |