книги / Теория автоматического управления техническими системами

где I—единичная (п, п) матрица:

'1 0 . .. СП 0* •.1 ... 0

0 0 .. !..

Аналогично лолучим следующее решение неоднородного век­ торно-матричного уравнения (4.7):

t

где матричная функция еА*может быть представлена в виде ряда, т. е.

е«=1+ А<+^Г-+...+-ТГ-+..

ставляющей вектора состояния x{(t), вызываемое начальными условиями х<(0), а каждый из членов правой части выражения

*у(0'-ф«(*)^(0).

представляет собой изменение i-й составляющей вектора со­ стояния xt(t), вызываемое /-м начальным условием.

Следовательно, каждый из элементов ф„(/) переходной матрицы q>(0 можно рассматривать как реакцию i-й перемен-

lit

ной состояния при х*(0)='1(*) и при нулевых начальных зна­ чениях всех остальных переменных состояния.

Выражение (4.14) с учетом матрицы (4.16) можно пред­ ставить также в виде суммы общего и частного решения:

х(0=ХСп(0+Х»ып(0==ф(0Х(°)t +

+/ф(^—т)Ви(т)^т, (4.18)

о

q>(t—т)=еА(,_т).

Составляющая хвын(£) является частным решением диффе­

ренциального векторно-матричного уравнения (4.7).

Методы вычисления переходной матрицы. Вычисление пере­ ходной матрицы ф(/) линейной системы в случае, когда мат­ рицы А и Вне зависят от времени, можно выполнить одним из следующих трех методов.

1-й —метод разложения в ряд. Переходную матрицу мож­ но представить в виде бесконечного ряда

кЧг . \чз ?(*) =еА'= 1+А г + ^ + ^ + ...

Ограничившись конечным числом членов ряда и произведя их суммирование, найдем приближенное выражение для ф(/).

2-й —метод, основанный на определении собственных зна­ чений матрицы. Применяя к уравнению (4.16) преобразование Лапласа, получим

O*(s)=L{Ç(0}=L{eA‘}=[sI—А]-1,

где Ф* (s) —изображение переходной матрицы (см. (4.22)) и, следовательно,

Определение ф(0 сводится к вычислению собственных значе­ ний матрицы А.

Пример. Пусть необходим вычислить переходную матрицу системы, уравнения которой имеют вид

Х\=Х2

х2=—Ьх\—ах2. Втаком случае

результате обращения этой .матрицл получим

Ф* (s)=[si—А]-1=s (s+а)ь [ —fis]-

Пусть матрица Аимеет действительны и различные собственны значения Я1==—-j +y Yas—46 ; Я2=—у —Уа8—46,

где л2>46.

Тогда переходная матрица системы

3-й —метод, основанный на теореме Сильвестра. Предполо­ жим, что имеется некоторая функция f{А) от матрицы А, ко­ торую можно представить в виде степенного ряда:

СО /(А)= 2 е*А*.

где А—квадратная матрица размерностью (л, л) с л —раз­ личными собственными значениями Я;.

Тогда, согласно теореме Сильвестра,

п

/(a i=i где

/+1

Вчастном случае, когда /ЧА)=Ф(/)=еА‘,

имеем Я

*<0= 2*V f<xi)- /=1

Пример. Предположим, что уравнения линейной системыимеют вид x\=xi—Зх2;

X2=Xi—X2. Вэтом случае

[’7х _71х]-о

или Я*+2=0, так что корни Я,=УУ2 ; Яг=—/У2 . Имеем матрицу перехода

(МПФ) многомерной системы.

выход y(t), то матрицы В и С в уравнениях (4.20) превраща­ ются в скаляры, которые обозначим через b и с соответствен-

*Ту Ю.Современная теория управления. С.64—65.

ния требуется обращение матрицы (si—А). В случае высокой

размерности матрицы А это может представить определенные трудности.

Один из способов решения задачи основан на так называе­ мом алгоритме Леверье.

Пусть

(si—А)_1= ‘ф~|(s)R(s),

где

ijj(s)=sn+fln-iSn_,+ ... +aiS+a0;

R(s)=sn-1I-fsn_2Ri+• • - +R«-i.

Тогда ai и Ri можно вычислить по следующим формулам: АХ=А-*а„.1= —spurAj Ri= А|+ ап_хI; Аг=ARi~>Дд-2——~2spurA2->R2==А24-CLn-^\

Ап1 = AR„>2-^°\——n—isPur^л-i R/i-i= А.л_14-Oil;

A„=ARn! —Q>q'=: —■ spurAn—>- R„=0.

Таким образом,

®W=STF) 2 CR'BS""' (i-0)

Пример. Рассмотрим линейнуюдинамическуюсистему, описываемуювек­ торнымуравнением:

Решение обратной задачи —определение уравнений состоя­ ния по заданной передаточной функции, в особенности для мно­ гомерных систем, связано с более существенными трудностями.

4.3. Управляемость и наблюдаемость

Предыдущий этап развития теории автоматического регули­ рования, до широкого использования в ней понятия переменных

состояния, был связан с описанием САР при помощи перемен­

ных вход —выход. Этот способ описания удобен для решения задач прикладной математики и4автоматики. Однако развитие

метода переменных состояния показало, что метод вход —вы­ ход имеет и существенные недостатки. Они связаны в основном

с понятиями управляемости и наблюдаемости, которые не учи­ тывались в рамках данного метода.

При получении передаточной матрицы сложной многомерной системы по передаточным матрицам или передаточным функци­ ям ее подсистем или элементов возможно сокращение полюсов или нулей, оказывающих существенное влияние на динамику системы. Пренебрежение этим фактором при расчете систем уп­ равления, как показывает опыт, может привести к ошибочным

управления.

1. Можно ли, выбрав соответствующим образом входы и(0> перевести объект управления из некоторого произвольного со­ стояния x(f0) в другое произвольное состояние х(^)?

ных происходит независимо от управляющих воздействий щи

целиком определяется начальными условиями, а также внеш­ ними возмущениями.

Таким образом, система (4.24) является управляемой, если

матрица В не содержит строк, все элементы которых равны ну­ лю.

Наименьшее значение v, при котором имеет место равенство (4.28), называют показателем управляемости.

Наблюдаемость. Как было показано в рассмотренном ранее примере, переменная х2является ненаблюдаемой, так как она не соединена с выходом. Но для управления необходимо распо­ лагать сведениями о всех текущих значениях вектора состояния. Поэтому возникает вопрос: при каких условиях, наблюдая век­ торы выхода и входа, можно найти переменные состояния?

Систему (4.24) называют наблюдаемой, если по данным из­ мерения или наблюдения векторов у(t) и и(/) на конечном ин­ тервале времени t0^t^t\ можно однозначно определить началь­ ное состояние х(to). Систему (4.24) называют полностью наблю­ даемой, если все ее состояния наблюдаемы в любые моменты времени.

Предполагая, что уравнения системы приведены к нормаль­ ной форме, рассмотрим уравнение связи между вектором выхо­ дау и вектором состояния х:

(4.29)

где

Уравнение (4.29) в развернутой форме имеет вид

*;■является наблюдаемой переменной, если элементы /-го столб­ ца матрицы Сне все равны нулю, или линейная стационарная система является наблюдаемой, если матрица выхода С не со­ держит столбцов, элементы которых равны нулю.

Условия наблюдаемости в общем случае, когда уравнения (4.20) не приведены к канонической форме, определяются сле­

имела ранг п.

Из выражения (4.30) видно, что наблюдаемость определяет­ ся свойствами матриц А и С. Так же как и в случае критерия управляемости, если матрица R имеет ранг п для некоторого liCn, т. е.

rangR„=rang[CT, АТСТ, ..., (Ат)"-1Ст]=п,

то наименьшее ц, при котором имеет место равенство (4.30), называют показателем наблюдаемости.

Дуальность критериев управляемости и наблюдаемости. Очевидная аналогия между критериями управляемости и на­ блюдаемости позволяет сделать вывод об их дуальности.

Назовем два объекта S и S* дуальными, если они описыва­ ются соответственно уравнениями

Из уравнений (4.27) и (3.30) —(4.32) видно, что если 5 управ­ ляема в *о, то S* наблюдаема в to и наоборот.

Таким образом, наблюдаемость одной из систем можно про­ верить анализом управляемости дуальной ей системы.