книги / Теория автоматического управления техническими системами

чение всего переходного процесса, т. е. выполняются условия dx/dtX) при О и \x{t)—х(оо) |^д при *>7’п.п,

где Тп.п —время переходного процесса.

быстро изменяющиеся случайные функции времени (например, шумы или помехи).

Рис. 2.14. Воздействие, являющееся случайной функцией времени

Вкачестве примера рассмотрим следящуюсистему для управления угло­ вымположением антеннырадиолокационной станции. На входной сигнал системы, воспроизводящей движение цели, накладываются помехи, или флук­ туации, представляющие собой быстро изменяющиеся случайные функции времени. Флуктуации входного сигнала создаются непрерывнымизменением коэффициента отражения самолета вследствие рыскания и качки последнего, а также вследствие неоднородности его отражающей поверхности идругих причин. Такого рода воздействия при анализе системне могут быть заменены типовыми воздействиями в виде заданных функций времени, но этим слу­ чайными факторами нельзя пренебречь, так как от них зависит общее зна­ чение ошибки системы. Такие показатели качества, как время переходного процесса, статическое отклонение регулируемой величины, число колебаний, перерегулирование, при этомтеряю смысл. Сохраняет значение или макси­ мальное отклонение хтах регулируемой величины, которое характеризует динамическуюточность системыв неустановившемся состоянии, или среднее ее значение ~хза достаточно большой промежуток времени.

2.8. Системы автоматического управления

Начиная с середины60-х годов термин ТАР исчез из названий отечест­ венных монографий и учебников, так как был почти везде заменен терми­ ном«теория автоматического управления» (ТАУ). Это представляется нам

неоправданным, ибо в термин ТАУбыло вложено другое содержание, чем в термин ТАР (например, в работах [2, 9, 12] излагается обычная проблема­ тика ТАР и пренебрегается ранее установившейся терминологией в класси­ ческих трудах отечественных ученых). Поэтому необходимо пояснить раз­ личие между ТАР и ТАУ, состоящее в том, что ТАУявляется дальнейшим принципиальным, существенным этапом развития ТАР.

Основная проблема ТАР (см. подразд. 2.1) в векторной фор­ ме ставится так: заданы воздействия на входе системы, т. е.

Система автоматического управления (САУ) представляет собой совокупность объекта управления и управляющей подси­ стемы (системы), подчиненных общей цели управления. Однако САУ могут состоять из нескольких объектов, объединенных единством цели управления (рис. 2.15). В качестве таковых можно рассматривать, например, участок производства, цех за­ вода или даже сам завод.

Поведение САУ в процессе нормальной эксплуатации опре­ деляется целью управления, внешней средой или внешними ус­ ловиями, а также внутренними свойствами управляемой и управляющей подсистем.

Система управления называется автоматизированной, если основные функции, необходимые в процессе ее работы для до-

САУ, описываемых дифференциальными уравнениями, уравне­ ния (2.5) и (2.6) можно привести к следующему виду:

Уравнение (2.7) —стохастическое векторное уравнение системы, где f(/) —вектор возмущений и помех, имеющий случайный ха­

рактер.

Часто на изменение вектора состояния х(<) (или его произ­

водных) и вектора управления и(/) накладываются ограничения вида

которые означают, что изменения векторов х(/) и и(/) должны быть ограничены замкнутыми областями \ (t) и B(f) векторных пространств состояний и управлений соответственно.

Пусть цель управления как конечный результат функциони­ рования САУ определяется экстремумом некоторого функцио­ нала Е, называемого показателем цели управления:

и одновременно удовлетворяющий ограничениям и связям, на­ лагаемым внутренними (собственными) свойствами системы и внешними возмущениями и помехами.

Так как в правую часть уравнения (2.7) системы (объекта) входят случайные переменные f(0, то и процесс изменения век­ тора состояния х(0 или вектора выхода у(0 оказывается слу­ чайным.

Таким образом, общей задачей теории управления является управление случайным (стохастическим) процессом. Эта задача в общей постановке представляет собой математически почти непреодолимые трудности. Поэтому решение оптимальной зада­ чи управления (2.10) обычно основывают на методе последова­ тельных приближений, причем первую и вторую итерации опре­ деляют поэтапно:

1) этап первичной оптимизации —состоит в нахождении оп­ тимального вектора управления uopt(0 без учета влияния воз­ мущающих воздействий и помех, характеризуемых вектором f(/). Экстремальная задача решается в упрощенной детермини­ рованной постановке, учитывающей лишь основные свойства системы, т. е. без учета влияния случайных переменных или по­ мех f(f);

2) этап вторичной оптимизации, или оптимизации качества

чем проблема ТАР.

Во-первых, необходимо сформировать управляющее воздей­ ствие или вектор u(£) на основании цели управления Е объек­

том, представляющей собой, в достаточно общем случае, конеч­ ный технический или экономический результат, который может

быть достигнут САУ на определенном временном интервале ее функционирования. Функционал Е(-), характеризующий цель

управления, может представлять собой сложную функцию, ко­ торую трудно формализовать (представить в аналитической

(2.4).

Во-вторых, сложность проблемы управления состоит в ана­ литическом решении задачи определения оптимального значения

(2.12), между тем как в математике не существует регулярных средств для решения задач такого рода.

Рис. 2.16. Вариант построения САУ

2.9. Проблема управления

Стремление обеспечить минимум функционала ошибки Qo, характеризующей качество управления, обычно вступает в про­ тиворечие с условиями технической реализуемости, зависящей от сложности системы, ее стоимости, надежности и т. д. Дейст­ вительно, чем выше качество управления, т. е. чем выше точ­ ность аппроксимации оптимального алгоритма управления, тем сложнее, дороже и ненадежнее управляющая система. .

Проблема управления является даже не двух-, а многокри­ териальной задачей, что обеспечивает наивыгоднейшие условия компромисса между противоречивыми условиями качества и реализуемости управления. Вопросы проектирования САУ здесь не рассматриваются3.

Проблема управления может быть пояснена схемой, показан­ ной на рис. 2.17. Цель управления задается функционалом Ео (блок /); в блоке 2, представляющем собой ЭВМ, определяется экстремум функционала

в блоке 3 осуществляется сравнение оптимального значения Ео с его действительным значением ЕдейСтв при использовании функционалов (2.12) и (2.13) и вычислении на ЭВМ:

Qo=extr[Е,(t)- Е,ейст (<)]=extrДЕ. U U

Функционал Qo определяет качество управления при на­ личии случайных возмущающих воздействий.

Реализация управления по этому принципу представляет

собой большие технические трудности. Одна из наиболее су­ щественных—необходимость формирования ошибки АЕ по показателю цели управления Е0.•

• См.: Солодовников В. В., Бирюков В, Ф., Тумаркин В. И. Принцип сложности в теории управления. М.: Наука, 1977,

Едейстб {**,{/} Рис. 2.17. Схема проблемы управления

Действительно, определение ДЕ требует измерения всех переменных величин, от которых зависит результат и ко­ торые входят в выражение для цели управления Е(0- Боль­ шинство из них не может быть оперативно определено в ходе процесса управления (либо из-за недостатка измерительных устройств, либо из-за того, что вычисление этих переменных может быть выполнено лишь за большой промежуток времени). Поэтому задача управления в изложенной ранее постановке заменяется более простой задачей, когда показатель качества управления

Q“ Q[E0—Ере»льн]=Q[AЕ]

не зависит явно от ошибки в показателе цели управления Q(AE). В этом случае необходимость формирования сигнала об ошибке ДЕ отпадает и задача значительно упрощается. Та­ ким показателем может служить точность управления, опреде­ ляемая следующим образом. Рассмотрим вектор ошибки

е„(0=Уо(0-У(0, где х0(0» Уо(0—оптимальные векторы состояния и выходной

переменной соответственно (получены на основании первичной оптимизации функционала Е, определяющего цельуправления).

Вектор состояния x(f) можно найти по результатам наблю­ дения или по данным измерения вектора наблюдения (см. рис. 2.16). Тогда этап вторичной оптимизации (собственно за­ дача регулирования) не требует вычисления показателя цели управления Е(/) и сводится к определению оптимального

управляющего воздействия

û(<)=ki«).

где х(/)—оценка вектора состояния; к —некоторый перемен­

ный коэффициент.

Другими словами, необходимо получить корректирующее

воздействие

V(/)=u0Pt(/)+Ди(/),

которое компенсирует все случайные возмущения, вызывающие отклонения от оптимального режима xOpt(0 или от траектории объекта, вычисленной согласно первичной оптимизации, прене­ брегающей этим возмущением.

На рис. 2.18 показана возможная схема адаптивной (приспосабливаю­ щейся) системыуправления, в которой экстремум цели управления E(t) мо­ дифицируется под влияниемнаблюдения действительных управляющих воз­ действий и(/) и вектора состояния х(/). Эта схема представляет собой двух­ контурнуюсистему управления.

этапе оптимизации). Но это —траектория, вдоль которой полет самолета не осуществимиз-за различных возмущений, действующих на самолет в полете. Эти возмущения, отклоняющие самолет от оптимальной траектории, необхо­ димо компенсировать.

Отметим, что если бывеличину одного из функционалов, например пока­ зателя цели управления Еможно было ограничить затратами на энергетику, расходуемыми рулями управления самолетом, то зависимости второго этапа оптимизации от первого не существовало быиотпала быпроблема одновре­ менной оптимизации двух взаимозависимых функционалов. Но на самом деле функционал Е, а также функционал Q*, зависящий от отработки САУопти­ мальной траектории и тоже требующий затрат на энергетику, т. е. формиро­ вания корректирующего воздействия v(/), взаимосвязаны.

2,10. Примеры САР и САУ

В различных отраслях промышленности и народного хо­ зяйства широкое применение нашли два класса автоматичес­ ких систем: циклические, или разомкнутые, действующие тю

;—усилители (суммирующий имощности); 2—электрический привод; 3— реостат; 4—электропечь; 5—высокотемпературный нагревательный элемент; б—термопара

Врассматриваемом примере обратную связь осуществляет измери­ тельное устройство —термопара. Она является чувствительным элементом, реагирующимна действительное значение регулируемой величины(темпера­ туры0) иформирующим сигнал ошибки Au.

Автоматическое управление летательным аппаратом (рис. 2.20). Отклоне­ ние действительного угла тангажа 0 от требуемого определяется с помощью свободного гироскопа, снабженного потенциометром. Нулевое положение по-

4Циклические (цикловые) системырегулирования подробно рассмотрены (см., например Коровин Б. Г., Прокофьев Г. И., Рассудов Л. Н. Системы программного управления промышленными установками и робототехннческим комплексами. Л.: Энергоатомиздат, 1990. 352 с.).