книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци
.pdfрасходящийся процесс. Приведем две рекомендации для улучше ния вычислений в тех случаях, когда приближение к искомому корню происходит медленно шли «колебательно», т. е. не моно тонно.
А. Если при определении вещественных корней уравнения (1,5) последовательные значения
(1.18)
меняются не монотонно, а «колебательно», то следует брать новое приближенное значение корня для следующего деления равным полусумме предыдущего значения и того, которое получается из остатка выполненного деления, т. е. брать в этом случае, напри мер, третье приближение равным
(1.19)
Б. Если же при определении вещественных корней значения (1,18) меняются, хотя и не монотонно, но очень медленно, надо следующее, например, третье приближение корня, брать в этом случае в виде
* * Г , — |
Ж|Г , |
*э |
( 1.20) |
где г1 н г2 — остатки от деления левой части уравнения (1,5) соответственно на х — и на х — хг.
2. Если окажется, что корни уравнения (1,10) комплексны, то для вычисления пары комплексных сопряженных корней посту паем так: представляем его левую часть в виде трехчлена
а |
а |
(А) |
ж» -З=±х + — |
||
Этот трехчлен будем считать первым приближением к тому трехчлену, из которого мы впоследствии определим пару корней. На этот трехчлен делим левую часть уравнения (1,5), пока не останется трехчлен вида
*>«-»** + Ьп_хх + Ьп,
который уже целиком не делится на (А). В качестве второго приближения выделяемого трехчлена принимаем трехчлен
(В)
и на него снова делим левую часть уравнения до тех пор, пока не получится остаток вида
сп-гХг + С„_,Х + сп.
За третье приближение выделяемого трехчлена принимаем трех член
х*+ |
(С) |
Л-“* |
Л—в |
По коэффициентам трехчленов (А), (В) и (С) судим о том, схо дится ли этот процесс. Останавливаемся на каком-либо прибли жении, коэффициенты которого мало отличаются от коэффициен тов предыдущего. Если это будет трехчлен
х* + Ьх + с,
то решение уравнения
|
х* + Ьх + с •-* О |
|
|
даст два корня исходного уравнения. |
На |
странице 17 указана |
|
удобная схема для деления многочлена |
на |
квадратный трехчлен, |
|
которая значительно облегчит процесс |
деления. Подробное изло |
||
жение указанных |
выше способов можно найти, например, в книге: |
||
И. С. Б е р е з и н |
и Н. П. Ж и д к о в . |
Методы вычислений, Физ- |
|
матгиз, 1959. |
|
|
|
Схема Горнера
Чтобы не отсылать студента к учебникам, где изложен способ Горнера для деления целой рациональной функции
/ (ж) = |
айхп+ |
а,Xя- ' + агх"~2 + |
• • ♦ + а„_,х + ап |
|||||
на линейный двучлен |
х — х0, |
приведем |
этот вывод здесь. |
|||||
При делении |
многочлена |
|
|
|
|
|
||
Яох" + а,х7*-1 + |
а2хя“ 2 + • • • + а„_,х -|-ап на |
х — хо |
||||||
получится в частном многочлен степени (п— 1) |
|
|||||||
Ь,хя- 1+ 6 ,х " -2 + Ьгх"~3 + |
- - - + |
Ьп_^с + |
Ьп_ х |
|||||
и остаток г — число, |
так |
что |
|
|
|
|
|
|
а0хп + й1хя_| + |
агХя“ 2 + |
• • • + |
а„_,х + ап — |
|||||
— (х— х0) (бох""1+ |
ЬгХГ-* -}- ЬгхГ~3 4------- }- Ь "-*х + 6"-») + г. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,21) |
Определению |
подлежат |
коэффициенты Ь0, Ь1г |
Ьг.......... |
|||||
частного и остаток от деления г. |
|
|
|
|
||||
Сравнивая |
коэффициенты |
при одинаковых |
степенях |
буквы к |
||
в левой и правой частях равенства (1, |
21), |
получим: |
|
|||
|
а0— Ь0\ |
|
|
|
|
|
|
в» — — Ь0х0+ Ьх\ |
|
|
|
||
|
а2 — — Ьххо + б*» |
|
|
|
||
|
в. - |
— Ьп-*хо+ |
г. |
|
|
|
Решая эти |
равенства относительно |
Ь0, |
Ь1г |
Ьг, . . . . |
и г, |
|
найдем: |
Ь0*= а0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
— |
0 0ДСо "4* 011 |
|
|
|
|
|
■ ■ |
|
|
|
|
|
|
^п—1“ |
*Ь ®(|—И |
|
|
|
|
г = ьп_,ж0 + о;.
Эти равенства показывают, что каждый последующий коэффи циент Ь1 получается умножением предыдущего Ь<_| на дс0 и при бавлением соответствующего коэффициента О/. Остаток г из Ь„_| находится также. Вычисления удобно располагать по схеме, в ко торой принято а0=* 1.
Схема Горнера для деления многочлена
х" + О]х*-' + а2хп~г+ • • • + аЛ_|Дг + а„ на двучлен х — х0
Оо - 1 Я|
-Го Ьвх„
= |
<*г |
< н |
< ** |
|
^ 2 * 0 |
ЬдХ а |
Ьг |
Ьг |
Ьг |
а п - \
... |
^л—2 Л * |
|
... Г
В первую строку вписываем коэффициенты делимого. Из схемы видно, что коэффициенты частного получаются в третьей строке от сложения чисел, стоящих над ними в первой и второй строках.
Приведем пример использования схемы Горнера. Разделим много член
/ (х) = х* + 5х® + 4х* — 3* + 2
на х — 3. У нас х0 *= 3.
О
1 |
5 |
4 |
3 |
3 1 = 3 |
3 8 = 24 |
1 |
8 |
28 |
- 3
со |
ё |
и 00 |
81
2
3 • 81 = 243
245
Коэффициенты частного равны 1; 8; 28; 81; в частном полу чаем х3+ 8** + 28* + 81, а остаток г = 245. Схемой Горнера удобно пользоваться также для вычисления значений многочлена
/ (ж) = |
а0хп + а,*"-1 + а 2*"-г Н------+ |
а„_ хх + а„ |
при * = *0, т. е. |
значения I (ж0). Вычисление |
/ (*0) требуется при |
нахождении корней по способу Ньютона, способу линейной интер
поляции и при использовании способа № 4. |
Следует |
помнить, что |
||||
/(*о) равно |
остатку от деления |
многочлена |
/(*) на |
ж— *о. |
Так, |
|
в |
приведенном примере значение / (ж) при х = 3 будет } (3) = |
245, |
||||
т. |
е. равно |
остатку от деления |
/ (ж) на ж — 3. |
|
|
|
Случай кратных действительных корней уравнения
Известно, что если многочлен /(ж) последовательно л раз де лить на ж— а, то в остатках будем получать: после первого де
ления /(а), после второго |
(а), |
после третьего — /* (а) |
. . . » |
после |
||||
п-го. деления |
^ | |
(а). |
|
|
|
|
|
|
Если а, — корень кратности |
к уравнения |
(1,1), то |
не |
только |
||||
( (а,) = 0, но и |
Г («») = |
0; Г («.) = 0 . . . ; /<*-’>(а,) = 0. |
|
|||||
Пример. Рассмотрим |
уравнение |
|
|
|
|
|||
|
( (ж) = |
ж8 — 9ж® + |
24*— 16 = 0. |
|
|
|||
Разделим / (ж) на ж— 4 по схеме Горнера: |
|
|
|
|||||
Первое деление |
1 |
- 9 |
24 |
|
-1 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(остаток от деления; 0 |
||
4 |
|
4 |
—20 |
+ 16 |
есть значение функции |
|||
|
|
|
|
|
|
при х = 4). |
|
|
Второе деление |
1 |
—5 |
4 |
|
0 = / (4) |
|
|
|
4 |
|
4 |
—4 |
|
|
|
|
|
1 |
- 1 |
0 = /' (4) |
|
Поскольку не |
только |
{ (4) = 0 , но |
н / ' (4) ■= 0, |
то |
ж — 4 есть |
||
двукратный |
корень |
нашего |
уравнения. |
Частное |
от |
деления Цх) |
||
на |
(ж— 4)* |
равно |
ж— 1, а |
его коэффициенты 1 |
и— 1 |
находятся |
||
на |
последней строке. Поэтому третий корень уравнения получим |
|||||||
из |
уравнения |
х — 1 = 0 ; х «= 1. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
Случай, когда уравнение имеет два близких корня
В способе № 1 (способ Ньютона) употребляется формула (1,3)
Н*«) *
Хп+1
Г Л * п У
Если уравнение имеет два близких по величине корня, то зна менатель дроби в формуле (1,3) будет мало отличаться от нуля, что повлечет за собой резкое изменение правой части этой формулы при изменении х. В этом случае следует решить уравнение /' (ж) * 0,
найти его корень а и разложить ({х) по степеням |
х — а, сохраняя |
|||||||||||
в разложении |
только члены с |
х — а и (ж— а)4, |
т. е. |
разложение |
||||||||
функции / (ж) представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Н х) = /(о) + Г |
(а) (ж — а) + и21(ж —а)* |
|
||||||||||
и рассмотреть |
уравнение / (*) = |
0, |
или |
|
|
|
|
|||||
|
/ (а) + Г (а) (х - |
а) + |
Ш |
(ж- |
а) 4 |
= |
0. |
|
||||
Так как а есть корень уравнения |
/ ' (ж) == 0, то / ' (а) = |
0 и послед |
||||||||||
нее уравнение запишется |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а отсюда |
Ж |
+ |
ф |
( * |
- а)4 =*0, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф ( ж - а ) 4 = - Д а ) ; |
|
|
|
|
|||||||
|
( я - а ) 4 - |
— |
^ |
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Г (а) |
|
|
|
|
|
х — а |
|
|
|
|
|
|
/(°) |
; |
|
|
|
|
|
^ |
\ |
/Г |
~ |
|
1 |
2 Г (а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7(о)~ |
|
|
|
|
|
* , = |
а |
+ |
1 |
/ |
- |
т |
! Г (о) |
|
|
|
(1,22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
/<«> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
(в) |
|
|
|
|
Этими соображениями мы будем пользоваться всякий раз, когда понадобится определить два близких между собой корня.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
После того как определены все действительные корни алгебраи ческого уравнения, следует приступить к определению его комп лексных корней.
Пусть найденные действительные корни уравнения (1,5) есть числа ах, а2, а3, ... , ак (к< п, если к = л, то решение закончено).
Разделим левую часть / ( х) уравнения (1,5) на произведение
|
|
|
{х— а2) (х — а2) (х — а3) . . . |
(х— а*). |
|
|
В частном |
получится |
многочлен о (ж) степени п — к |
|
|||
|
|
о (х) |
_____________ Ш ______________ |
|
||
|
|
• |
' ' |
(ДГ — а,)(х — а2)(* — а3) ...( х — а*)* |
|
|
Деление следует |
проводить по схеме Горнера, разделив сначала |
|||||
/(х) на |
х— а,, |
затем |
полученное частное — на х — а2 |
и т. д. |
||
Так |
как |
все |
вещественные корни уже |
найдены, то |
уравнение |
|
|
|
|
|
о (х) = О |
|
|
вещественных корней не имеет, а потому |
степень п — к многочлена |
||||
<Р (х) |
будет обязательно четной. |
Пусть |
п — к — 2/, а |
многочлен |
|
4>(х) |
записывается |
так: |
|
|
|
9 (х) ■« хп + |
+ йгх“-* + |
• • • + йу-?хг + йу-\х + |
йу = 0. |
||
|
|
|
|
|
(1,22а) |
Для определения пары комплексных корней <? (х) следует вы делить квадратный трехчлен, являющийся делителем ®(х). Этот делитель в первом приближении принимаем равным
|
|
и2 1 -2 |
(1,23) |
|
|
|
|
и делим |
на него многочлен ® (х) до |
тех пор, |
пока не останется |
трехчлен |
вида |
|
|
|
ех1 + {х + кг |
(1,24) |
|
не делящийся на трехчлен (1,23). |
|
|
|
Трехчлен |
|
|
|
|
** + Т * + |
7 ’ |
(1.25) |
|
|
||
полученный из предыдущего делением всех его членов на е, при нимаем за второе приближение выделяемого трехчлена. Теперь
делим ®(*) на (1,25) до тех |
пор, пока не получится трехчлен |
вида |
Л* + К |
е\хг + |
уже не делящийся целиком на (1,25).
Из этого трехчлена делением всех членов на еуполучаем трехчлен
* + Ь Х + ъ ’' |
(1,26) |
который принимаем за третье приближение выделяемого трехчлена. Обычно уже на третьем, четвертом шаге мы получим хорошее приближение в виде трехчлена
Х2 + 1±Х + ^ ,
|
|
еI ^ |
|
е{ |
|
|
|
приравниваем его нулю и находим |
пару |
комплексных корней- |
|||||
Мы остановимся на том приближении, коэффициенты которого |
|||||||
мало отличаются |
от предыдущего. |
|
Разделив |
<р(х) на (1,26) (соб |
|||
ственно, частное уже получено в |
последнем делении), получим |
||||||
многочлен степени на 2 меньшей, |
чем ю(х), |
и с ним |
поступаем |
||||
точно так же, как и с |
<р(х). |
|
при |
определении |
комплекс |
||
З а м е ч а н и е . |
Если |
вычисления |
|||||
ных корней сходятся плохо, надо многочлен |
(1,22а) преобразовать |
||||||
заменой х = у в |
многочлен |
|
|
|
|
|
|
? (т) = *?1 (2) = ^ |
|
+ ' **+ |
У + &21 |
или |
|
|
|
?, (2) = \г (1 + |
+ |
• • • + йъ-хг*-' + |
й21г“) |
и рассмотреть уравнение |
?,(г) = |
0. |
(1,27) |
|
|||
Корни уравнения <р (д:) = |
О будут обратными величинами кор |
||
ней последнего уравнения (1,27). |
|
|
|
Схема для деления многочлена на квадратный трехчлен
Укажем теперь удобную схему для деления многочлена на трех
член вида хг -+- рх + </. Пусть |
|
|
|
|
|||
/ (х) = |
о0X" + а 1*л- ' + агх"-2+ • • • |
+ ап-\Х + ап — |
|||||
= (дс4 + рх + |
<7) (Ь ^ - 2+ |
Ь1хп~3+ |
ЬгХ"-* + |
• • • + Ь„-Зх + Ь„-2) + |
|||
|
|
|
+ Ьп—\Х -|- Ьп. |
|
|
|
|
Коэффициенты |
|
• • • * |
2» |
■I * ^/| |
находят |
по схеме, |
|
которая легко |
получится, |
если, как и в схеме |
Горнера, |
сравнить |
|||
коэффициенты |
при |
одинаковых степенях х в левой и в правой час |
|||||
тях предыдущего |
равенства. |
|
|
|
|
||
Схема имеет такой вид:
во |
«1 |
в* |
вя |
в4 |
—р |
—Р*в |
—рЬ\ |
—Р*2 |
—рь» |
—я |
|
—<7*0 —Я^1 —Я^г |
||
*. |
*, |
Ьг |
*» |
*4 |
•••
. . .
. . .
. . .
|
2 |
°л-1 |
вя |
~ Р ьп~г |
~РЬп-2 |
|
|
1 |
1 |
-<7*я- з ~ЯЬп-2 |
|
|
*а—2 |
*»-. |
*,. |
В первую строку записываются коэффициенты многочлена / ( х). Коэффициент частного&о — °о* Образование чисел второй и третьей
строки |
ясно |
из |
схемы. |
Искомые коэффициенты |
получаются |
как |
|||
сумма чисел, стоящих в одном и том же столбце. |
|
|
|
||||||
Так |
как |
в описываемом способе |
мы делим до тех |
пор, |
пока |
||||
не останется |
многочлен |
вида |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
« * + / * + |
*, |
|
|
|
|
то с помощью этой схемы |
коэффициенты е, / |
и к можно получить так: |
|||||||
коэффициент |
а — это |
Ь*_г в третьем |
столбце |
схемы, считая |
|||||
справа; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициент / получится в предпоследнем столбце, если не |
|||||||||
вписывать в него произведение— рЬ„_2; |
|
|
|
|
|||||
коэффициент к равен аа — свободному |
члену уравнения. Иначе |
||||||||
говоря, |
|
е «• Ьп—2‘, [ =» Ья—| + |
рЬп-т1 |
к — ап. |
|
|
|
||
Приводим пример деления по этой схеме многочлена |
|
||||||||
1{х) = 5х* + М — *« + 5** — Зх» + 4х + 8 на хг + |
7х + 8 |
||||||||
|
во |
в! |
вв |
«а |
в4 |
в» |
|
«в |
|
1 |
5 |
3 |
—1 |
5 |
—3 |
4 |
|
8 |
|
—7 |
|
—35 |
224 |
—1281 |
7140 |
—39711 |
|
|
|
—8 |
|
|
— 4 0 |
+256 |
—1464 |
8160 |
—45384 |
||
|
5 |
- 3 2 |
183 |
— 1 0 2 0 |
5673 |
—31547 |
—45376 |
||
|
|
--Л. |
|
|
|
|
|
|
|
* • |
*1 |
*. |
*$ |
*4 |
*» |
* 4 |
Итак, |
частное от деления равно б*4 — 32** + |
183** — 1020 * + |
||
+ 5673, |
а остаток равен — 31547*— 45376. |
|
|
|
Если |
же |
производить деление до получения в остатке интере |
||
сующего |
нас |
квадратного трехчлена вида ех2 + [х + к, |
то он ока |
|
жется равным 5673дгг + 8164* + 8, причем 8164 = |
8160 + |
4 (8160 — |
||
выделено жирным шрифтом), а 8 — свободный член (мы сознательно привели несколько громоздкий пример).
Проверка решения
Проверку всех найденных корней следует произвести, пользуясь известными свойствами корней алгебраического уравнения (формулы Виета).
Сумма всех корней алгебраического уравнения (1,1)
|
|
а 1 + ®а + |
®а + * * * + |
ап ~ — 5^ • |
(1,28) |
|||||
а их |
произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а, • а2 • <х,...а„ = |
(—1 |
) |
" ( 1 |
, 2 9 ) |
|||
После этих |
указаний |
приступим |
к решению задач. |
Рекоменду |
||||||
ется пользоваться при этом арифмометром |
или любой |
клавишной |
||||||||
вычислительной машиной. |
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 1,1. |
Решить |
уравнение |
|
|
|
|
|
|||
|
|
/(*) = |
*» — 5*» + |
4* + 0,092 |
|
|
||||
(с точностью 0,001). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р е ш е н и е . |
Используя |
правило |
Декарта |
(стр. 6), |
заключаем, |
|||||
что |
положительных |
корней |
будет два |
или ни одного, так как у нас |
||||||
две |
перемены |
знака |
(-(------- |
|
[- + ), отрицательный же корень только |
|||||
один, поскольку уравнение «полное» (коэффициентов, равных нулю,
в уравнении нет), |
а число сохранений знака |
одно в последних двух |
|||
коэффициентах: + |
+ (см. стр. 6). Будем пользоваться указаниями |
||||
способа № 3 для |
определения |
наибольшего по абсолютной |
вели |
||
чине корня. |
|
|
(1,7). У нас ах= |
|
|
Составляем квадратное уравнение вида |
—5; |
||||
о2 = 4 |
и это уравнение имеет вид |
|
|
||
|
|
*2 — 5* + 4 = 0. |
|
|
|
Решая |
его, находим |
|
|
|
|
|
|
*! = 4; |
*2= 1. |
|
|
Принимаем хх= 4 за первое приближение наибольшего корня, Теперь мы должны отделить корень (см. стр. 6). Делим /(*) на * — 4 по схеме Горнера (стр. 13^
|
1 |
—5 |
4 |
|
|
0.092 |
|
|
4 |
|
|
4 |
—4 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
—1 |
0 |
|
|
0.092 = / ( 4 ) |
|
|
|
|
|
(остаток от деления 0,092 есть |
||||
|
|
|
|
значение левой |
части уравне* |
|||
|
|
|
|
нии |
при дг==4) |
|
|
|
У нас |
/(4) = 0,092 > 0. Возьмем |
х ** 3,9. Разделив |
теперь |
/ (*) |
||||
на х -— 3,9, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
- 5 |
4 |
|
|
0.092 |
|
3.9 |
|
|
3.9 |
—4.29 |
—1.131 |
|
||
|
1 |
|
—1,1 |
—0.29 |
—1.039 = |
/ (3.9) |
||
|
|
|
|
(остаток от деления —1,039 есть |
||||
|
|
|
|
значение левой |
части уравне |
|||
|
|
|
|
ния |
при х в 3,9) |
|
|
|
и /(3,9) = |
— 1,039 < 0. |
|
|
|
|
|
|
|
Значит, |
/ (3,9) < 0 , а |
/ (4) > 0 и |
корень |
содержится |
между 3,9 |
|||
и 4. Из рассмотрения остатков деления 0,092 и — 1,039 заключаем, что искомый корень ближе к 4, чем к 3,9. Уточним корень ли нейной интерполяцией (способ № 2).
Второе приближение корня получим по формуле (1,4), которая для нашего случая запишется так:
х’ ~ х‘ - ' м т й = т ш -
Здесь |
и |
х(— концы отрезка (3,9; 4], |
в котором находится |
|||
корень. В формулу (1,4) подставим |
|
|
||||
|
|
х, = |
4; |
= |
3,9; |
|
|
/ (*1> - |
1(4) = 0,092; |
а |
/(*,) = /(3,9) = - 1 ,039; |
||
|
|
. . . |
0.092 - (4 — 3.9). |
|
||
|
|
2 |
0.092— (—1.039)’ |
|
||
|
|
|
. |
0.0092 |
|
|
|
|
|
|
ш г |
|
|
|
|
** = 4 — 0,008 = |
3,992. |
|
||
Значит, |
вторым |
приближением |
корня |
будет |
хг = 3,992. |
|