книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

А =

Ац

Ац

Лз1~|

А\2

^22

-^32 1 •

_^13

^23

^^33^

В нашем

случае

),+1

2

‘1 == И;

Л . =

( - 1>1+в

Аи = ( - 1

—

1

5л

_ ? ] - - Ю ;

А ,

=

( - ! ) ■

«

[ _

! 3 ; Л

А

, - 1-) ——(

- [ з

Л

=

А

. - ( - 1Г '[ 2

-

5;

Л „ =

( - 1Г *[4

Л = _ 1 ,;

А . = ( - 1)» * [^

‘] = 2

составляем матрицу (2)

11

— 17 — 10]

—3

21

6 .

5

-1 1

2]

Транспонируем ее и получим союзную матрицу

11

—3

5 ]

Д = — 17 21 — 11 .

(3)

-1 0

6

2]

Задача 5,39. Найти матрицу А~\ обратную

матрице А преды­

дущей задачи.

Чтобы воспользоваться

формулой (5,2), надо знать

Р е ш е н и е .

союзную

матрицу А

для матриц А и определитель матрицы А.

В предыдущей

задаче союзная

матрица А найдена. Это матрица

(3). Осталось найти \А\, Воспользуемся

правилом Сарруса

3

1 — 2

М 1 =

4

2

1 = 3 • 2 • 5 + 4 (— 1) • (—2) +

1 - 1 - 3 -

3 — 1

5

— (—2) - 2 - 3 — (— 1) • 1 - 3 — 4-

1 ' 5 - 3 0

+

8 + 3 +

«

+ 12 +

3 — 20 =

36.

11

— 3

5'

— 17

21

— 11

А -' =

_— 10

6

2

36

~

11

1

6

38

” 12

38

Аг1=

“

17

7

11

38

15

” 38

5

1

1

”

18

Т

18

Г8

1 -

2'|

11

1

5

38

” 15

36

1*1

0

0

17

7

11

[о

10

А • А~1= I 4

2

1

,

”

36

15

“ 35 -

1.3

- 1

5 ]

5

1

1

|_0

0

1

“

18

Т

18

Задача 5.40

(для

самостоятельного

решения). Найти обратную

'2

1

3

/1 =

1*1

О

3

1

и показать, что АА~1 = А~1А =

Е.

О т в е т .

1 - 2

-

1

Л-» = |

4

1

2

1

1

3

2

1

1

2

0

2

0

2

Найти для нее обратную матрицу

Аг1

и проверить,

что

АА~1=»

= А-'А = Е.

А удобно

У к а з а н и е .

Определитель

вычислить

по

формуле

(4,14). Применение этой формулы

приведет к вычислению опре­

делителя

1

-

1

6

3

— 1

4

= 7 .

О т в е т

— 2

2

2

• 2

_6

4

7

7

т

А =

3

1

2

Т

7

7

1

о

— 1

1

4

2

1

ат

т

о

47-_

Задача 5,43.

Для

матриц

'0

1

0'

О

]

А = 0

0

1

и В =

0

найти обратные.

1

0

0

1

О т в е т .

'0

0

Г

О

А -' = 1

0

0 ;

В-* =

0

0

1

0

1

где <х„ и аи — квадратные матрицы, а матрицы

а» и

могут

быть как квадратными, так и прямоугольными.

Пусть

Р = «22 — “««П1®!»-

(5*4)

_

I V

+ 1* Р _1***!««а »1Я|*11

——®Г11®я»12Нрр_Я1 1Ч

(5,5)

- [

-

г 1® ^

1

Г '

.1

Непосредственным

умножением

А на

А~1 легко

усмотреть, что

АА~ 1 = Е.

Будем обозначать через Аг, А3, Аь

. . . квадратные

матрицы

порядков, соответственно

равных 2, 3,

4, . . . (т. е. индекс при

названии матрицы указывает ее порядок).

Если обозначить

7 ”

Р” 1®»!.

(5.6)

то формула (5,5) примет более простой вид:

Гяи

+ яи Я«Т«»

- « « « п Г 1]

(5,7)

"

I

7® ! ! *

1

У

Г

2

1

1

0

А =

3

2

1

3

1

2

0

2

2

0

2

1

дена самостоятельно. Здесь мы определим

обратную матрицу

по

формуле (5,7).

А разобьем

Р е ш е н и е . Матрицу

на блоки и представим ее

в

таком виде:

" 2

1

1

1

0

“

_ 3__

- П

1

3

_

Га 11

Ч .

1 "

2

1

0

~ 2

Ь * 2 1

а 22->

_ 2

0

!

2

1 _

“ 7 - К

I ]

о

]

-

Г21

м

] .

1 М2

з

о ]

’

в п ' 1а» —

[ 3 "

Я

и

я

: -

-

] .

и

6 Г

1 4 1 .

- 1

1 —Г 31

1 1

21

1141

1

1[

И

о Г ?

[ _ 9

—14Г

М

. 2

*1

« Й1® » * ^ 1 * =

т

М

1

“ 4

=

1

Г— 12

13

•1э[ _ --и \ ц

2]

7

Ч

24

- 19.

Г-т

V3!

1 Ц

-*Г

Первый

элемент

первой строки

в

матрице (5,7)

равен

[

12

13"]

2 Г

' 6 1

“и1+ «Й1®!*1ап

»

_»]•

Второй элемент

первой строки

- ^

г

-

и

и н

к

-

к

т ь

Первый элемент

второй строки

в формуле (5,7)

-я г-н * * я - и - я - Щ ] -

Второй

элемент

второй строки

г -м г

Н

•].

Подставляя

найденные элементы матрицы (5,7), получаем окон­

чательно

2

6

4"

7

у

— 1

“ У

1

3

5

1

1

У

“ У

“ У

0

— 1

1

1

4

2

0

1

_ ~ Т

т

У.

2

1

1

°1

" 2

1

1

1

0

_

3

2

1

1

3

3

2

1

3

1

2

0

2

1

2

° 1 2

_ 2

0

2

1_

_ 2

0

2

! 1 _

Теперь уже

"2

1

1

'о '

«1 1 =

3

2

1 *

«12 =

3

»

1

2

0.

2

«41 =

12 о

:2];

«22 ■■

!•

'2

I

!]

Л ,=

3

2

О

1

2

и найти ей обратную по той

же

формуле, разбив ее на блоки

следующим образом:

"2

1

I ГI

з _ л ! _ |

I.

Здесь

I

2 1о]

«и =

“ [3

2] * ®и = [ 1 1 1

®н “ П» 2); *я = 0.

Матрицу,

обратную

А9=»

2] * наД° на®ти непосредственно по

— 2

2

— 1

V - 1

- 1

1

4

—3

1

"5

7

6

5 '

7

10

8

7

•

6

8

10

9

5

7

9

10

Разобьем матрицу А на блоки

~5

7

6

|

5“

А3

1

5"

7

10

8

|

7

|

7

6

8

10

I

9

=

'

9

_5

7

9 | 10_

_5

7

9 | 10_

Здесь

61

Г 5

1

^3 =

5

7

«и

7

10

^

1 г

«12 —

7

;

6

8

ю

]

ы

- 15.

7 ,

9 );

а 2г -

10.

а 21 1

Для применения формулы

(5,7)

надо найти матрицу а " 1, обрат­

ную матрице аи =

А3, т. е. найти сначала Л "1. Сделаем это также

по формуле (5,7).

Представим

А3 в виде блочной

матрицы

5

7

I

6~|

Г

I

6"

Е1

>0

|

»

-

‘

!

8 .

6

8 | 10_|

|_6

8 | 10_

Полагаем,

что

здесь

«11 =

А* =

[у

!о] •

«12 -

[ з ] ; «21 =

[в, 8);

а32 = 10.

При вычислении А3 1 получим (1 =

2,

18

— И —2“

-1

- 1 1

7

1

А3

читатель может познакомиться по книге Р. Ф р е з е р ,

В. Д у н к а н

и А. К о л л а р .

«Теория матриц и ее приложения к дифференциаль­

ным уравнениям

и динамике» (ИзД*во «Иностранная

литература»,

Москва, 1950).