книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

При

этом размер

матрицы АВ равен (р х р), а матрицы ВА —

(п х

л).

что

для

двух квадратных матриц одного и того же

Укажем,

порядка

это

условие

выполняется, но подчеркнем, что и в этом

случае,

как

правило,

ВА ф АВ.

Две

матрицы

А

я В называются перестановочными (иначе

коммутативными),

если имеет место равенство ВА = АВ. Приме­

Пример.

5

3 —2

1 2

3

5

1

— 1

0

2

1

3

—2

2

1

3

4

2

3

- 4

4

—2

2

5 1 + 3 - 2

- 2) • 4

5 • 2 + 2М + ( - 2) 2

1 • 1 + (—1)

+ 0 • 4

1 • 2 + (- 1)- 1 + 0 • 2

2 1 + 1 - 2 - 1 • 4

2 ■2 + 1 - 1 + 3 - 2

4 1 + ( - 2 )

+ 2 - 4

4 2 + (-- 2) • 1 + 2 • 2

3 + 3 • 3 + (—2) •

5 - 5 - 1-3 • (- -2) + (—2) (—4)

3 + (— I) *3 + 0 -

1 •5 + ( - 1) • ( - -2 ) + 0 - ( - 4)

3 + 1 - 3 + 3 3

2 - 5 + 1 - ( - -2) - Ь 3 • ( - 4 )

3 + ( - 2 ) 3 + 2 -

4 • 5 + (—2) • ( - •2) + 2 • (—4)

3

9

15

27

- I

1

0

7

•

18

16

11

- 4

8

10

12

16

Здесь умножение было

возможно,

так как число столбцов в

первом сомножителе равно числу

строк

во втором. Первый сомно­

житель был

размером 4 x 3 ,

второй 3 х 4, а матрица-произве­

дение имеет

размер 4 x 4 , как

это следует из (4,35).

6. Произведение нескольких матриц. Если перемножить две

матрицы А

и В, чо мы получим в общем случае матрицу С —

Произведение трех

матриц АВО следует понимать так: матри­

ца

А

умножается справа на матрицу В, а полученная матрица

умножается справа на матрицу Г). Количество перемножаемых

матриц может быть любым, лишь бы можно было

перемножить

каждые две рядом стоящие матрицы.

7.

Законы умножения матриц.

АВ

а) Если можно перемножить матрицы А и В и

произведение

этих матриц

можно умножить на

матрицу С,

то допустимо

составить и произведения (АВ)С и

А (ВС). В таком случае полу­

чается равенство, выражающее ассоциативный (сочетательный) за­

кон

произведения

матриц.

Имеют место также:

А(ВС) = (АВ)С.

(4,36)

б) сочетательный закон относительно

скалярного сомножителя

о (ЛВ) =* (аЛ) В »

А (аВ)

(4Д7)

и два

дистрибутивных

закона:

в)

(А +

В) ■С =

А ■С +

В

С;

(4,38)

г)

С • (А + В) =

С

А +

С ■В.

(4,39)

8.

Возведение матрицы в степень. Если А — квадратная матри­

ца,

а

п — целое положительное

число,

то

А" = А- А - А - А . . .

А

п

множителей

Матрица А" называется п-ой степенью

матрицы А. При этом

А2 — А ■А\

А2 = А ■А2 = А2 ■А;

'

з '

' —5

'

' 1

‘

и =

1

; у = 6

; Г =

1

2

0

1 .

сочетательности сложения,

получаем

У +

К _ Ц 7

= [2, - 1 ,

21 + [ - 1 ,

0, 5] — И. 4,

3] =

= (2 + (— 1)

— 1,

- 1

+

0 - 4 ,

2 +

5 - 3 ] =

[0,

- 5 , 4].

4)

2У +

К - Г

= 2(2,

- I , 2] +

С— 1, 0,

5 ] - ( 1 ,

4,

3) =

= [4, - 2 ,

4] +

(— 1, 0,

51— (1,

4,

3] =

= [4 + ( _ ! ) _ ! ,

—2 +

0 —4,

4 +

5 — 3] =

(2,

-

6,

6].

5)

У +

2К + З Г =

(2,

- 1 , 2] +

2 [— 1 , 0, 5| + 3(1,

4,

3] =

того же размера

равна 11, т. е.

что

У +

0 = У.

(4,40)

Докажите также, что равенство (4,40) остается верным

для

случая,

когда

У — вектор-строка, а

0 — нулевой

вектор-строка

того же размера, что и 11.

Задача 4,5 (для самостоятельного решения).

Докажите,

что

нулевой

вектор-столбец или нулевой

вектор-строка

не изменяется

от умножения его на любое число.

Задача 4,6 (для самостоятельного решения).

Докажите,

что

если У и V — два вектора (оба векторы-столбцы или оба векторы-

строки) с

одинаковым числом компонент, то

у + 0 У =

У;

ос/ +

V =

V.

Задача 4,7. Какое соотношение связывает компоненты векто­

ров У и

V, если имеет место равенство

Р е ш е н и е .

Под

0 следует

понимать нулевой вектор тех же

размеров, что и векторы 6/ и V,

размеры которых равны между

собой. Элементами

вектора

36/— 2V

являются

числа

3(7/ — 2У,.

Две матрицы равны, если равны

их размеры

и

соответствующие

элементы (стр. 94).

Значит,

должно

выполняться

равенство

3( / , _

2 К, =

0,

а отсюда следует,

что между

компонентами

матриц

существует

зависимость

_

2У,

6Л “

~Г*

Задача 4,8 (для самостоятельного решения).

Если

векторы 6/,

V и 0 имеют один и тот же размер, то

какое

соотношение

свя­

зывает компоненты векторов II и V при наличии следующих

равенств:

1) 26/+

У — 56/ +

4У = 0;

2) 10У — 36/ + 3^ + 46/ =

0;

3) 6/ +

V — 26/ — 2У -

0.

О т в е т .

1)

6/, -

2) 6/, -

— 13У,;

3)

6/, = — V,.

Задача 4,9. Найти указанные суммы, а в случаях,

когда

это

невозможно сделать,

объясните причину:

1)

7

3) [7, 8,

2 .

1

Задача

4,10.

Найдите аи аг и а3,

если

01

а 2 +

- ° 3 .

Р е ш е н и е .

Складывая

первую и

вторую

матрицы

в левой

части равенства

и

приравнивая

сумму

правой

части,

получаем

01 +

2

02 +

3

_а3

1

откуда

о, + 2 =

7; а2 + 3 =

8; а , — 1 = —3,

01

— 5; а2 — 5; Оз = —2.

Задача

4,11

(для самостоятельного решения). Найдите компо­

ненты Ьи

62 и

Ь3 вектора-столбца

Ь, если

V

з '

5 ь2 =

0

— 4

Фиг. 4,1

О т в е т .

Ьг = 0; Ь3 = — ± .

компоненты да,; даа; щ вектора-столбца

да, если

'0'

'да,'

'0'

0 +

да2 =

0

01

0

аг =

0

аз

0

_04_

_0

_

О т в е т . а1г а2, а3 и а« — любые

числа.

Точки,

определяемые произведением

числа С на вектор [а, Ь],

т. е. точки С • [а,

Ь) лежат на

одной

прямой,

проходящей

через

начало

координат

и точку

[а,

Ь].

На

фиг. 4,1

показаны

точки,

соответствующие

вектору

х =

(3,

б]

и векторам 2х, —х,

—2х,

показанными на

фиг. 4,2, для случая, когда х * (2, 3) и у= [7, 2].

Задача

4,14.

Построить точки, соответствующие векторам х =

- [2, 3] и

у = ( - 3 , 8].

2) х + у, 3) 2х — 3у; 4) Зж +

2#; 5)

у — 2х.

Задача 4,15.

Сложить

матрицы

А =

2

3

1

— 2

3

—5

4 5

2 ; в =

0 4

7

— 1

2

—4

—3

5

1

0

5

—7_

1

1

2_

Р е ш е н и е .

По формуле

(4,25) для

матриц

получаем

А + В =

0

6

—4

4

9

9 .

—4

7

—3

1

6

—5

Задача 4,16. Вычислить матрицу

5

2'

—4

5'

3

7 — 3 -

1

1

- 4

5

2

0

А =

10

4"|

1Г - 12

15"

22

— и "

6

14 -

3

3 =

3

11

-

8

>о.|

0

— 14

10

|1. 6

2

5

41

,

Г2

4

5

- 3 ]

1

0

51

[б

0

—3

1.Г

О т в е т .

—48

0

15

33]

—33

6

9

2 7 /

Задача 4,18. Матрицу

А

5

0

0

0

5

0

0

0

5