§ 17. Динамическое нагружение

Хотя анализ динамического нагружения, вообще говоря, выходит -за пределы данного обзора, имеется один частный вид динамических задач, который в последнее время привле­ кает к себе особое внимание. Когда конструкция, изготовлен­ ная из идеально-пластического материала, подвергается действию нагрузки, превышающей нагрузку текучести, то конструкция приобретает столь большие деформации, что выходит из строя. Однако если нагрузка прикладывается в течение короткого периода времени, то инерция деформи­ рующейся конструкции может оказаться достаточной, чтобы удержать деформации в некоторых умеренных пределах.

В качестве типичного примера1) рассмотрим свободно опертую пластинку, подвергнутую действию равномерно рас­ пределенного давления Р, которое является монотонно не­ возрастающей функцией времени, стремящейся в конце кон­ цов к нулю. Используя безразмерные переменные, введенные в § 14, обозначим начальное значение Р через В и предпо­ ложим, что В > PQ. Предполагается, что материал пластинки жестко-пластический. Так как начальное значение Р больше разрушающей нагрузки, то для идеально-пластического ма­ териала не может быть статического решения задачи. Сле­ довательно, уравнение равновесия (14.1) необходимо заме­ нить уравнением движения

(17.1)

О

Здесь точки обозначают дифференцирование по безразмер­ ному времени т, определяемому формулой

(17.2)

где о — плотность единицы поверхности пластинки.

В качестве начальной гипотезы примем, что вся пластинка находится в режиме ВС (см. фиг. 13) в течение всего периода деформации. Так как влияние инерционных членов на за­ кон напряжений —деформаций ранее не учитывалось, мы

Левая часть неравенства удовлетворяется всегда, и так как предполагается, что Р — монотонно невозрастающая функ­ ция, то этого предположения достаточно для удовлетворения правой части неравенства при т = 0.

Очевидно, что необходимое условие выполнения (17.36) состоит в том, что начальное значение Р должно быть больше единицы. Однако решение может сохранять силу и после того, как значение Р станет меньше единицы!. В самом

Так как Р — 1 есть монотонно невозрастающая функция вре­ мени, которая на бесконечности стремится к —1, то оче­ видно, что неравенство (17.10) будет справедливо для всех 0 < т < т2, где Т2— однозначно определенное положительное решение уравнения

Далее, поскольку P(iz) < 1, то нагрузка оказывается меньше разрушающей и дальнейшего движения не будет.

Зададим для примера давление в виде

Из (17.9), (17.10) и определения разрушающей нагрузки за­ ключаем, что решение (17.6) будет справедливо лишь при условии

Следовательно, полное решение для всех значений В, удовле­ творяющих (17.13), будет иметь вид

р * И ? = 1 2 ( 1 — &)[BpT — р * . £ — £ ( 1 - е - * ) ] , 0 < т < х 2, } (17Л4)