книги / Нейронные сети для обработки информации
..pdfНа нем видно, что при соответствующем подборе показателя степени Ь (зависимость (11.25)) она может определять как функцию Гаусса, так и треугольную или трапецеидальную функцию. Значение 6 * 1 , очевидно, соответствует стандартной гауссовской функции. Обобщенная гауссовская функция также может быть представлена в рациональной форме:
»л(*)= ■ - 1 чЦ> |
(П.26) |
которая аналогична описываемой выражением (11.25).
Помимо гауссовской функции принадлежности, на практике часто приме няется симметричная треугольная функция, которую можно записать в виде
мЛ*) |
д п « х б (с -^ ,с+ ^ ) |
(11.27) |
|
О |
для остальных |
ДМ
1
Т~В |
с |
с * л к |
Рис. 11Л. Треугольны форма функции принадлежности
Интерпретация центральной точки с и ширины <1 для треугольной функции представлена на рис. 11.8. Эта функция тоже нормирована и пршшмаст единичное значение в центральной точке с.
Обобщением треугольной функции является трапецеидальная функция при надлежности, форма и обозначения кото рой показаны на рис. 11.9.
Если определить у
+ где г обозначает угол наклона, то
трапецеидальная функция описывается зависимостью
Рис. 11.9. Трапецеидальны форма функции принадлежности
Н.У Системы нечеткого вывода Маыдани-Эаде |
|
293 |
|
|
для |
х> г или х< у |
|
|
ДЛЯ с ~ ~ < х < , с У - ^ |
|
|
Яям(*1 > = 5(7-х) |
для |
с + ^ $ х < 2 |
(11.28) |
Г (2-у) |
ДЛЯ |
у ^ х й с - ^ |
|
Выбор значения / = 0 редуцирует трапецеидальную функцию до треугольной формы.
11.5.2. Дефуззификатор
Дефуэзнфикатор трансформирует нечеткое множество в полностью детерми нированное точечное решение у. Нечеткое множество представляет зависимость /Г(у) = Цл-*в(у) как функцию от выходной переменной у. Преобразование этого множества в единственное точечное решение возможно многими способами. Наиболее известны среди них:
• дефуээифнкация относительно центра области (ант.: СеШег о/Агеа)
1р{у)у<Ъ>
|
_ > |
(Н.29о) |
|
|
с |
|
|
либо в дискретной форме |
У |
|
|
|
|
||
|
Е*<(я)Я |
(11,296) |
|
|
|
||
Л |
‘ 11Л й ) |
1 |
|
дефуззифнкация относ1ггслыю среднего це]гтра (англ.: Сеп/ег Ачега&е) |
|||
|
Ь»(Уч)Ун |
(11.30) |
|
У‘ |
Т.Щу„) |
||
' |
|||
|
4 |
|
|
где ус\обозначает центр *-по нечеткого правила, а ^(у^) - значение функции принадлежности, соответствующей этому правилу; дефуээифнкация относительно среднего максимума (англ.: Мест о/Махюш)
I Я
(1131)
где т обозначает количество точек переменной у, в которых /1(у<|) дости гает максимального значения. Если функция р(у) имеет максимальное значение только в одной точке уот, то ум = Ушм* Если /!(у) достигает своих максимальных значений между у» н ур, то ум = ^(У1+ яЖ
•в форме выбора минимального из максимальных значений у
у, - наименьшее значениеу, для которого { р (у) = шах }; |
(II .32) |
• дефуээификацкя в форме выбора максимального из максимальных значений у
у\ - наибольшее значениеу, дян которого { р (у) =тах ). |
(II .33) |
На практике чаще всего применяется дефуэзнфикацця относительно среднего центра.
ПРИМЕРНО
На рис. 11.10 представлен нечеткий сигнал, полученный после актирования двух правил вывода из примера 11.4.
Рис. 11.10. Иллюстрация влияния различных способовдефуэшфикацнл на итоговое решение
Применение перечисленных выше способов дефуээификации приводит х получению результатов, соответствующих точкам ус, уи, у , и у^ па этом рисунке.
11.5.3. Модель Мамдани-Заде как универсальный аппроксиматор
Результат, интересный с точки зрения его применения в нечетких сетях, может быть получен при использовании в качестве а1регатора оператора алгебраи ческого произведения с последующей дефуззификацней относительно среднего центра. Следует отмстить, что р(у) состоит нз суммы нечетких функций для импликаций всех М правил, образующих систему нечеткого вывода. В модели Мацдаии-Эаде каждое из этих А/ правил определяется уровнем активации условия, р (и )= Й Л тогда каку, - это значение у, при мотором величина р(у)
становится максимальной (либо принимает среднее нз максимальных значений). Пусть величина у( обозначает центр с> нечетного множества заключения /-го
правила вывода. Тогда дсфузэификацня относительно среднего центра ведет к модели Мсндсля-Ввпга [173], в соответствии с которой
У= |
(П.34) |
Допустим» что существует нечеткая система, описываемая зависи мостью (11.34), на вход которой подастся последовательность векторов л = [*|, ...........хл']г- При использовании фуэзификатора в виде обобщенной
гауссовской функции ц (х) = е х р Г - в ы х о д н о й сигнал у этой системы оп-
<х
ределлсгся по формуле
(П.35)
в которой с У Х 11,*}0 обозначают параметры центра, ширины и формы (условия) ;-го компонента вектора дг для г-го нечеткого правила вывода. Выражение (11.35) определяет непрерывную функцию, которая может использоваться для аппроксимации произвольно заданной непрерывной функции &(х) от многих переменных х\, образующих вектор х. В [160,173) было доказано, что при соответствующем подборе параметров условия ) и заключения (с,) функция (11.35) может аппроксимировать заданную функ цию #(х) с произвольной точностью е. Способность нечеткой системы, характеризующейся рядом нелинейных функций от одной переменной, к аппроксимации нелинейной функции от многих переменных свидетельствует о возможностях практического применения нечетких систем. В следующем разделе мы рассмотрим представление формулы (11.35) в виде многослойной сети со структурой, подобной структуре нейронной сети, которая в дальнейшем будет называться нечеткой нейронной сетью.
11.6. Модель вывода Такаги-Сугено-Канга
Наибольшую популярность среди нечетких систем адаптивного типа приобрела модель вывода Такаги-Сугено-Канга (Т8К) [153]. В этой модели функция заключения определяется нечетким, но точечным образом. Благодаря
этому дсфуээнфнкагор на выходе системы не требуется» а модель вывода значительно упрощается. Общая форма модели ТЗК может быть пред ставлена в виде
еашх\ это А\1х1этоА11"-1хн это Ац, тоу (х,, л2,.. хр). (11.36)
В векторной записи ее можно записать еще проще:
есяи х это А, тоу= /{х) |
(1 1 .37) |
где /ДО « /( х |, X},..., ху) - четкая функция. В этой зависимости часть, относя щаяся к условию, точно такая же» как и в модели Мамдвнн-Задс. Принципиальное отличие хасаетсл заключения, которое представляется в форме функциональной зависимости, чаще всего - а виде полиномиальной функции нескольких пере менных. Классическое представление этой функции, чаще всего используемое на практике, - это полином первого порядки
N
У= А х) = Ро +1р,х( |
(11.38) |
в котором коэффициенты до р\, ...,рц - это цифровые веса, подбираемые в про цессе адаптации (обучения). Еще более простая модель вывода ТЗК получается, если применять функциюДг) в виде полинома первого порядка, в котором
> = /( * ) = /* . |
(П.39) |
В этом случае значение ро можно отождествить с центром заключения а модели Мамдани-Заде, присутствующим в формуле (11.35).
Если в модели вывода ТЗК используется несколько (АО правил, то выход системы определяется как их средневзвешенное. Приписывая каждому правилу вес ну, получим выходной сигнал, представленный в виде
ХОД
(11.40)
3 > .
п
(11.41)
х> /
>|
Необходимо отмепгть, что в выражении (11.41) веса иу отвечают условию
иц|
нормализации: Х-77— = 1 . Бели для каждого /-го правила (щс / = 1 , 2 , ...» АО
'" 'Х " , /->
реализуется функция ТЗК первого порядка
У* =Рю + 2Рух/ , |
(11.42) |
№ |
|
И.6. Модель вывода Такаги-Сугено-Канга |
297 |
||
то можно получить описание выходной функции модели Т8К в форме |
|||
которая |
линейна относительно |
всех входных переменных |
системы ду |
для > = 1 ,2 , ...,М |
|
|
|
Веса |
присутствующие о |
формуле (11.43), являются |
нелинейными |
параметрами функции у. В адаптивных системах они подвергаются обучению для достижения наилучшей приспособленности модели к заданным значениям, тоща как в неодолтнвных системах они уточняются для определения уровня активации условия в правиле вывода непосредственно в процессе анализа данных. Подбор этих уровнен - это результат афегирования правил, соответствующих конкрет ным компонентам вектора дг условия; он выполняется с использованием логического или алгебраического произведения так же, как это имело место в модели Мамдани-Звде.
ПРИМЕР 11.6
Этот пример (рис. 11.11) иллюстрирует модель Т8К с двумя правилами выводи для системы с двумя входными переменными х\ и хг (аналогично примеру 11-3
Минимум
Ркс. 11.11. }[ллюстрацня системы вывода Т8К
для модели Мамдамн-Залс). Левая часть рисунка относится к условию. Уровень активации /тДдг) в этом примере определяется как логическое произведение (минимум) от {^Дт|), дДхг)}. Веса и>| и иъ которые учитываются при агретроваини обоих правил вывода в модели Т5К, соответственно равны: и'| « Ц н'2 = р ?(* ). В правой части рисунка представлены соответствую щие формы линейкой функциональной зависимости Т8К, описывающей заключения обоих правил вывода. Таким образом, окончательный (агрегированный) результат вывода но этой модели Т8К в соответствии с (11.43) можно представить в виде
IV, |
+ 1И2 |
11\ + IV) |
ГДС_>>| = р ю +РцДГ1 + Р \ 2 ХЪ У 2 |
= /;20 + Р 11 Г1 + Р п х 2-СлСДуСГОТМСТИТЬ, ЧТО ВОТЛИЧИС |
|
от модели Мамдани-Эаде выражение, описывающее выходной сигнал, является четким и соответственно отсутствует необходимость дефуээификоцни.
Раздел 12
НЕЧЕТКИЕ НЕЙРОННЫЕ СЕТИ
Представленные о предыдущем разделе модели вывода Мамдаии-Эадс и ТЗК позволяют описать выходной сигнал многомерного процесса как нелинейную функцию входных переменных лг,- (г = 1,2......Ы) и параметров нечеткой системы (формула (И .34) в модели Мамдони-Зодс и (11.43) в модели ТЗК). О литературе [67, 160] отмечается, что эти выражения позволяют аппроксимировать с произвольной точностью любую нелинейную функцию многих переменных суммой нечетких функций одной переменной. Формулы (11.34) л (11.43) имеют модульную структуру, идеально подходящую для системного представления в виде равномерной многослойной структуры, напоминающей структуру клас сических нейронных сетей. В дальнейшем мы будем называть их нечеткими нейройными сетями (англ.: неиго/иггу пеЫ’Огкз). Характерной особенностью этих сетей является возможность использования нечетких правил вывода для расчета выходного сигнала. В отличие от классических нечетких систем (акт.:/игху /о#гс) в них вместо непосредственного расчета уровня активации конкретных правил вывода выполняется адоптивный подбор параметров функции фузэификацни. Мы обсудим структуру таких сетей, а также алгоритмы обучения, способные адаптировать и линейные веса (аналогично тому, как это производилось в классических сетях), и параметры нечетких функций фузэификвтора (аналогично параметрам гауссовской функции в сетях КВР).
12.1. Структура нечеткой сети ТЗК
Обобщенную схему вывода в модели ТЗК при использовании М правил и N переменных X}можно представить в виде
ГГ (Ху18. Л \]}).А Ш (х г.13. А {").А№ ..... Л№ .(хн.18. А § \ #
ТНЕН У, = р,о + Ъ>Р\)Х1
м
( 12. 1)
!Р(хА\^.АЫ0.(х1.13 Л^УЛШ.... ЛЫО.(х»&Л§\
ТНЕЫ ум - Рмо + |
• |
Условие 1Р\Х(. 13. Л/) реализуется функцией фуэзкфнкацин, которая пред ставляется обобщенной функцией Гаусса отдельно для каждой переменной х<:
( 12.2)
где д<(х*) представляет оператор А/. В нечетких сетях целесообразно задавать это условие в форме алгебраического произведения, из которой следует, что для
к-го правила выводя
(12.3)
При М правилах вывода агрегирование выходного результата сети производится по формуле (II .43), которую можно представить в виде
|
Л=1 |
гае Ук(*) = Ло + |
N |
. Присутствующие в этом выражении веса щ интер |
претируются как ^значимость компонентов /1^(х), определенных формулой (12.3). При этом условии формуле (12.4) можно сопоставить много слойную структуру сети, изображенную на рис. 12.1. В такой сети выделяется пять слоев.
■Первый слой выполняет раздельную фузэификацню каждой переменной х,(/ = 1, 2, ..., АО. определяя для каждого *-го правила вывода значение
коэффициента принадлежности 0}*(х#) в соответствии с применяемой функцией фуэзнфикации (например, (12.2)). Это параметрический слой с параметрами »Г , подлежащими адаптации в процессе обучения.
•Второй слой выполняет агрегирование отдельных переменных х;, определяя результирующее значение моэффицногта принадлежности н<* = ^ ( х ) для вектора х (уровень активации правш1а вывода) в соответствии с формулой (12.3). Это слой непарамстричсский.
•Третий слой представляет собой генератор функции Т8К, расщипывающий значения у*(х) = рхо+ Ъ?цХ} . В этом слое также производится умножение сигналов у*(х) на значения щ, сформированные в предыдущем слое. Эго
лараметрюгесхнн слой, в котором адаптации подлежат линейные веса рц для к - I, 2, ..., М и > = 1,2 ......М, определяющие функцию следствия модели Т8К.
•Четвертый слой составляют два нейрона-сумматора, один из которых
рассчитывает взвешенную сумму сигналов у*(ж), а второй определяет сумму
и
весов X . Эго ненарамстрическии слон.
Рис. 12.1. Структура нечеткой нейронной сети Т8К
■Последний, пятый слой, состоящий из единственного выходного нейрона, - это нормализующий слой, л котором веса подвергаются нормализации в соответствии с формулой (12.4). Выходной сигнал у(х) определяется выражением, соотаетствукшнгм зависимости (11.43),
И*)-Л») = 4 |
(12-5) |
Л
Эго также непараметрнчсскнй слой.