книги / Нейронные сети для обработки информации
..pdf4.Равенствомножеств А и В
Нечеткие множества Л(л) и Й(.г) равны между собой, когда для всех элементов т, обоих множеств выполняется условие рА(.г,) = рв (.ту).
5. Операция концентрации СОЫ (И)
НсоМ = Шх))г. |
(П.5) |
Эта операция весьма часто выполняется при действиях с лингвистической переменной, в которых она отождествляется с шгтенсифнкатором "очень”.
6.Операция растяжения Б1ЦЛ)
Рш.<х)-1И((т)]м . (11.6)
Лингвистическое значение этой операции формулируется как "примерно" либо "приблизительно".
7. Алгебраическое произведение двух множеств А* В
/^ •в(* И д а* )* Я в (х ). |
(П.7) |
8.Ограниченная сумма двух нечетких множеств А\ + \В
Я* |»1Д (*) = |
(1. Ра (*) +Рв(х)). |
(II .8) |
9.Ограниченная разница двух нечеткихмножеств А \ - \В
|
Ра |- |я(*) = тах (0, рА(.г) -^ (.т )} . |
(11.9) |
10. |
Ограниченное произведение двух нечетких множествА | • | В |
|
|
Рл | • |в(х) - шах {0, /<*(*) +Дв(х) - 1} |
(11.10) |
11. |
Нормализация множества МОИМ (А) |
|
( П . Н )
Следует отметить, что множество Л считается подмножеством мно жества В, т.с. А с В, когда для всех элементов выполняется неравенство Ра (*) ^ Рв(*,). Например, если А = {0,5 / х\, 0,3/х2, 0,1/ж3) и В = (0,6/хи 0,5/хг. 0,4/ ,тз), то А с В.
Определенные на нечетких множествах операции обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности, причем эти свойства понимаются следующим образом:
•ассоциативность: (А* в)*С = А* (В*О;
•коммутативность: А*В = В* А (за исключением ограниченной разности);
•дистрибутивность: А* (В* О = И*Д) о (А*С),
где операторы * и ® обозначают любую определенную выше операцию ив нечетких множесгвах. Из свойств нечетких множеств следует, что в отличие от произведения обычных множеств логическое произведение множества и его
отрицание необязательно образуют пустое множество, что можно записать в виде
А г \А * 0 |
(11.12) |
Точно так же и логическая сумма нечеткого множества А к его отрицание ие образуют полное множество 1/, что можно записать в виде
А и А * 1 / |
(11.13) |
11.2.Меры нечеткости нечетких множеств
Для определения степени нечеткости множества введено понятие меры нечеткости, отвечающей так называемым условиям А.ДеЛукн и С.Тсрмини [173, 181], сводящейся к измерению уровня различия между множеством А и его отрицанием В.
Наиболее популярна мера Р.Егсра, в соответствии с которой степень нечеткости множества А в метрике р, обозначаемая РШр (Л), определяется
выражением |
|
|
|
|
|
г о г ,о « ) = 1 - З ^ М . |
(11.14) |
где |
А ) - |
зто мера расстояния между множествами А и А , содержащим |
|
п элементов. Значение р = 1 соответствует метрике Хсммннга, в которой |
|
||
|
|
, |
(11.15) |
а значение р = 2 |
соответствует метрике Евклида, в которой |
|
|
|
|
|
(11.14) |
ПРИМЕР 11.2 Если нечеткое множество А определяется дискретным способом как
1*1 ‘ ж ,’ *,
то, принимая во внимание, что
л Л м М М А м м
[Ж, Ч Ч Ч Ч Ч Ч Г
в соответствии с мерой Егера получаем:
РУ2Х{А) = 1-^(0,8+0+0,б+1 +0.6+0+ОД) = 0,457 ,
« /2 ,( 3 ) = 1 - ^ - (0,64 + 0 + 0,36 + 1+ 0,36 + 0 + 0,64)= 0,347
Другую меру нечеткости (энтропийную) предложил Б.Коско [173]. Она основано ив понятии кардинального числа множества. В соответствии с этой мерой
(11.17)
г т А ) = 17ГГ^Г\- М(ЛиА)
|дс М{Г) обозначает кардинальное число множества К Для множества А \ примера 11.2 получаем меру Коско, ровную
= 0.1 +0,5+0,2 +0+0,2+0,5+О,1_ I* _
0,9+0,5+0,8+1 + 03+0,5+0,9 5,4
Следует обратить вшшаиие, что обе меры - Егера и Косно - для четких множеств дают один и тот же нулевой результат, поскольку в мере Коско М{Л, А ) = 0, а Ор {А, А ) - п|/р, что вследствие зависимости (11.14) даст в результате также РШр(А) =0.
11.3.Нечеткость и вероятность
Втеории вероятности событие и е V либо происходит, либо нет, а вероятность р{и) представляет меру того, что оно состоится или что случайная переменная х примет значение и. Оценка вероятности р[и) может быть рассчитана как огношс1ше количества экспериментов, в которых указанное событие свершилось, к общему количеству экспериментов. НалрнМср, если день 21 ноября в течение последних 100 лет был дождливым 82 раза, то вероятность дождя в этот день в настоящем году оценивается как 0,82. Следует подчеркнуть, что вероятность события относится исключительно к будущему. Когда соответствующий день наступит, данное событие либо произойдет, либо кет, и в этот момент понятие вероятности его свершения утрачивает смысл (например, в момент начала дня 21 ноября все еще нс ясно, будет этот день дождливым или нет, однако когда он завершится, мы будет говорить о том, произошло или нет событие, а не о его вероятности).
Понятие нечеткости оценивается совершенно по-другому. Оно измеряется степенью, с которой событие х = и (например, только что происшедшее) принад лежит к некоторому множеству событий А. Фактически измеряется степень, в которой универсальное множество У содержится о подмножестве А. Например, если 21 ноября дождь шел на протяжении 15 ч., то степень его принадлежности к множеству дождливых дней можно определить как 15/24. С этой точки зрения понятие нечеткости относится не только к прошлому, как это имеет место в случае вероятности, но также к настоящему и к будущему.
Следует отмстить, что вероятность может быть определена как нечеткое значение, особенно тогда, когда оно оценивается приближенно, а не точным способом. Поэтому можно сказать, что вероятность наступления определенного события составляет, например, "около 0,7", поскольку переменная "около 0,7" является лингвистической. Если же нечеткое понятие относится к будущему, ему можно приписать некоторую вероятность.
»Ы |
9 к » |
Рис. 11.2. Графическая иллюстрация данных из примера выбрасывания кости: а) функции принадлежности; б) вероятность выпадения соответствующего номера
ПРИМЕР 11.3 Рассмотрим вероятность выпадения кости с определенным номером из интервала
[1 -6]. Допустим, что имеются три нечетких множестве чисел: "малое", "среднее" н "большое", функции принадлежности к которым представлены на рис. 11.2а. Вероятность р(дг) наступления нечеткого события, что х - это малое, среднее или большое число, определяется по формуле [67, 173]
ы
гдер(х/) обозначает вероятность выпадения определенного числа из [1 - 6]. Если допустить равномерное распределение вероятности выпадения каждого числа (р(я>) ~ 1/6) так, как это представлено на рис. 11.26, получим:
р(х ="малое?') = 4-(1 + 0,5) = 0,25,
о
р(х ="среднеё')=^(0,5 +1 + 0,5)=0,333,
о
р(х ="большое") = ^(0,5 +1 + 1) = 0,418.
В приведенном результате учитывается понятие нечеткости лингвистической переменноЛ: "малое число", "среднее число", "большое число", а каждому событию приписывается вероятность его наступления.
11.4. Нечеткие правила вывода
Базовое правило вывода типа "если - то" (ант.: г/- (кеп гик) называется также
нечеткой пластикацией, принимающей форму
если х зю |
А, по у зю В , |
(11.18) |
где А и В - это лингвистические |
значения, ндс1гп|ф|щирооаш1ыс |
нечетким |
способом через соответствующие функции принадлежности для переменны* х и у. Часть "х это А" называется условием (предпосылкой), а "у это Вп - следствием (заключением). Импликацию (11.18) можно записать в сокращенном веде А -> В.
Нечеткое рассуждение - это процедура, которая позволяет определить заключение, вытекающее из множества правил "если - то". Такое множество при N переменных х может принять вид
если х, это |
А, п х2 это Аг и ... и хы зю |
Ац, по у зто В (11.19) |
Переменные хь |
.... ху образуют //-мерный входной вектор х, составля |
|
ющий аргумент условия, в котором А\, А.......Ау |
и В обозначают величины |
|
соответствующего коэффициента пр]П1адлсжиости Щ (х)) и [1в (у). Необходимо обратить внимание, что здесь присутствуют индивидуальные функции принадлежности для каждой переменной Х{и отдельно дляу. Случайное значение функции принадлежности д* (*), ще х - это вектор дг = [х|, хг, .... ху\ отно сящееся к условию импликации (уровень активации правила), должно в последующем интерпретироваться с использованием введенных ранее нечетких операций. Возможна интерпретация в форме логического ироизве-1 дения множеств либо в форме алгебраического произведения:
• . интерпретация в форме логического произведения |
|
/г/|(х) = шт(цл (х/)), |
(11.20) |
Г=1...N
• интерпретация л форме алгебраического произведет
(И-21)
(=1
Приписывание единственного эначешм функции принадлежности, описы вающей многомерное условие, будем называть агрегированием предпосылки. Каждой импликации А -+ В, определенной выражением (11.19), можно приписать также единственное значение функции пр1шадлсжиостн Рл-*в (*, у). Наиболее популярные интерлретац1П1 этой функции также имеют форму логического или
алгебраического произведения: |
|
|
• |
форма логического произведения |
|
|
^ , = т1лО(ч(х)^,0 -М , |
(11.22) |
• |
форма алгебраического произведения |
|
|
Рл-в = РлШ ь(у). |
(11-23) |
Приписывание единственного значения функции принадлежности всей импликации будем называть процедурой агрегирования на уровне импликации.
11.5. Системы нечеткого вывода Мамдани-Заде
Элементы теории нечетких множеств, правила импликации и нечетких рассуждений образуют систему нечеткого вывода. В ней можно выделить множество используемых в системе нечетких правил, базу данных, содер жащую описания функций принадлежности, а также механизм вывода и агрегирования, который формируется применяемыми правилами импликации. Следует упомянуть, что в случае технической реализации в качестве вход ных и выходных сигналов выступают измеряемые величины, однозначно сопоставляющие входным значениям соответствующие выходные зна чения. Для обеспечения взаимодействия множеств этих двух видов вводится нечеткая система с так называемыми фуззификаторт (преобразо вателе»! множества входных данных в нечеткое множество) на входе и дефуззчфикопюром (преобразователем нечетких множеств в конкретное значение выходной переменной) на выходе [160, 173]. Структура такой систе»1Ы представлена на рис. 11.3. Фуззификятор преобразует точное
Рис. П.Э. Структура нечеткой системы с фуэшфикатором и дефузэнфикотором
множество входных данных в нечспсос множество, определяемое с помощью значений функций принадлежности, тогда как дефуззификатор решает обратную зпдачу - он формирует однозначное решение относительно значения выходной переменной ип основании многих нечетких выводов, выраба тываемых исполнительным модулем нечеткой системы. Выходкой сигнал этого модуля может иметь вид М нечетких множеств, определяющих диапазон
изменения выходной переменной. Дефуззнфикптор преобразует этот диапазон в одно конкретное значение, принимаемое в качестве выходного сигнала всей системы.
Необходимо отметить, что также существуют системы нечеткого выводя, в которых исполнительный механизм непосредственно генерирует четкие значения, которые уже не требуется подвергать дефузэифнхвции. В качестве примера назовем систему Такати-Сугсио-Каига, которая будет подробно описана в следующем подразделе.
Правило 1
Рис. 11.4. Организация вывода в нечетной системе при наличии М правил вывода |
|
|||||
Обобщенная |
функциональная |
структура системы, |
приведенная |
на |
||
рис. |
11.3, |
может |
быть представлена в расширенной |
форме, которая |
в |
|
явном |
виде |
демонстрирует правила |
нечеткого вывода |
так, как это изо |
||
бражено на рис. 11.4. Поскольку допускается применение множества нечетких правил, в ней также предусмотрен блок агрегирования, чаще всего реали зуемый в виде логического сумматора (олервтор Мах). Описываемая система вывода называется системой Мвмданн-Задс. Она очень популярна о обыч ных (неадвптивных) нечетких системах. Как правило, в модели Мамдани-Заде присутствуют следующие операторы:
•оператор логического или арифметического произведения для определения результирующего уровня активации, в котором учитываются все компоненты вектора х условия;
•оператор логического или арифметического произведения для определен! значения функции принадлежности для всей импликации А -> В\
•оператор логической суммы как агрегатор равнозначных результатов импликации многих правил;
11.5.1. Фуэзификатор
Фуззифнкатор преобразует //-мерный входной вектор .* = [.Г), Х2, |
.... х/у]г |
& нечеткое множество А, характеризуемое функцией принадлежности |
с |
четкими переменными. Несмотря на то, что нечеткие системы могут иметь функции принадлежности произвольной структуры, с практической точки зрения
Ряс. II.б. Иллюстрация влияния параметров гауссовской функции на ее форму:
а) влияние размещения центра с при о - I;
б) влияние значения (Гири постоянном значении с - I
наибольшей популярностью пользуются функции гауссовского типа, а также треуголыгые и трапецеидальные функции.
Общая форма гауссовской функции для переменной х с центром с н
вариацией а для множества Р имеет вид: |
] |
|
**л(х) Ч - М |
(11.24) |
На рис. 11.6 представлена форма типовых гауссовских функций при различ ных параметрах с и <г, причем на рис. 1 1 .6а показано влияние размещешея центра с при неизменном значении <т,а на рис. 11.66 - влияние значения о при фиксиро ванном положении с. Параметр с обозначает центр нечетного множества, а его из менение соответствует смещению функции принадлежности по горизонтальной оси. Прамстр <т„ иногда называемый коэффициентом широты, отвечает за форму функции. Чем меньше его значение, тем больше крутизна функции. Следует отмс тить, что при соответствующем смещении центра гауссовская функция может реализовать и сигмоидальную функцию (чаще всего при смещении вправос с =4).
В нечетких сетях также применяется обобщенная гауссовская функция, которая определяется формулой
р , М = е * р [ - ( ^ ) |
(11-25) |
Она оперирует тремя параметрами: с, а и Ь. Значение параметра Ь сущест венным образом влияет на форму криоой, что демонстрируется на рис. 11.7.
Рис. 11.7. Иллюстрация влияния параметра Ьна форму гауссовской функции