книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов

Конечно-разносная аппроксимация уравнения энергии не зави­ сит от конкретного вида функции р = р (V, U), хотя возможно и приводит к незначительному снижению точности вычислений.

При записи уравнений движения предполагалось, что в них вхо­ дит истинный тензор напряжений, правильным образом, ориентиро­ ванный относительно осей координат (г, г).

Рассмотрим движение расчетной сетки за время At. Зная старые и новые координаты ее узлов, можно по соотношениям (8.34) определить тензор приращений деформаций, правильным образом ориентирован­ ный относительно системы координат (г, z).

Движение ячейки кроме чистой деформации включает в себя также перемещение и поворот в плоскости (г, z), вместе с которым поворачивается и ее напряженное состояние (главные оси тензора напряжений), т. е. меняется вид тензора напряжений по отношению к неподвижным осям (г, г).

Для того, чтобы получить истинное напряженное состояние ячейки в момент t + At, необходимо записать компоненты тензора напряже­ ний в момент t в неподвижной системе координат (г, z) и добавить к ним приращения напряжений, связанные с приращениями дефор­ маций за время At.

Отметим, что приращения девиатора тензора напряжений вида Asrr = 2G [Aerr — AV/SV] и т. д. ориентированы правильным об­ разом по отношению к системе координат (г, г), что вытекает из пра­ вильной ориентации приращений деформаций. Отметим также, что компонента sфф при повороте ячейки в плоскости остается неизмен­ ной.

Известно, что если две системы координат связаны линейным пре­ образованием, при котором точка X переходит в X ' = [со] то компоненты одного и того же тензора второго ранга в этих системах координат связаны между собой соотношением

В нашем случае система X есть исходная неподвижная система координат (г, z), а система X' жестко связана с ячейкой расчетной сетки. В момент i системы X и X' совпадают. В момент t 4 - At си­ стема X ' оказывается повернутой относительно х на угол а, который можно определить, разлагая поле перемещений на чистую деформа­ цию и поворот

Матрица поворота в плоскости (г, z) имеет вид

откуда sin а = At (durldz — диг1дг)12

или

2sin а = {dvT!dt — dvjdr) At.

252

чах о сильных ударных взаимодействиях изделий из реальных кон­ струкционных материалов граничные условия такого рода пред­ ставляют в основном методический интерес, поскольку реализовать их на практике не представляется возможным.

Предполагая, что проскальзывание на границе раздела материа­ лов отсутствует, будем считать, что граница проходит по узлам рас­ четной сетки, в которых определены скорости. При этом один и тот же узел будет участвовать в расчетах деформаций материалов, лежа­ щих по обе стороны границы, чем достигается непрерывность поля перемещений на границе раздела. Массу, ассоциированную с узлом (1—2—3—4) и третьи слагаемые в уравнениях движения в этом слу­ чае следует усреднять с учетом соответствующих масс и плотностей ячеек, окружающих данный узел.

Программная реализация разностной схемы, обсуждаемой в на­ стоящей главе, выполнена на кафедре механики МИЭМ в виде ком­ плекса программ на алгоритмическом языке фортран-4 для ОС ЕС ЭВМ. В состав комплекса входят интерпретатор входного языка, управляющий процессом вычислений, подсистемы генерации рас­ четной сетки и росписи ее начальными условиями, собственно раз­ ностная схема, а также ряд подсистем для анализа результатов рас­ чета. К их числу относятся программы изображения на графопо­ строителе конфигураций расчетной сетки, генератор отсчетов для отображения функций состояния в виде графиков и/или таблиц, программы построения аксонометрических проекций трехмерных графиков функций состояния, вычисления интегральных характе­ ристик решения, обеспечения рестарта.

Оценим достоверность реализации и точность числового метода, обсуждаемого здесь, путем сравнения числового и аналитического решений задачи о колебаниях упругого шара.

Рассмотрим однородный шар, ограниченный свободной поверх­

254

Рис. 8.5. Эпюры компоненты скоро­ сти vr в различные моменты времени

5

О

- 2

Рис. 8.6. Эпюры касательных напря­ жений

первой формы собственных колебаний такого шара со = 2,3768301, период Т = 2л/ш = 2,6435146. Чтобы избежать эффектов, связан­ ных с геометрической нелинейностью задачи, выберем амплитуду формы С = 5-10“6. При этом максимальное радиальное смещение

«шах = max С | rf (г) | ~ С | rf (г) |г=0,8 = 5 • 10“° • 2,87 = 1,435.10"5,

Г

что составляет не более 0,002 % от радиуса шара.

Выберем в качестве начальных условий значения первой соб­ ственной формы колебаний шара в момент = я /2, когда пере­ мещения отсутствуют, и следовательно, равны нулю поля деформа­ ций и напряжений

условиями решалась числовым методом, изложенным выше, на рас­ четной сетке, показанной на рис. 8.4. Сравнение числового и анали­ тического решений иллюстрируется рис. 8.5 и 8.6.

На рис. 8.5 приведены эпюры компоненты поля скоростей vr вдоль Or (сплошные линии) в различные моменты времени с шагом

с течением времени распространяются возмущения, вызванные не­ точностью дискретного анализа граничных условий для свободной поверхности.

На рис. 8.6 в условных единицах приведены эпюры давления и компонент девиатора тензора напряжений вдоль ячеек, прилегаю-

256