книги / Проектирование стальных мостов с учетом пластических деформаций

Отсюда значение кинематической нагрузки qK = 16 M T/l2t т. е. совпадает с точным значением.

Второй метод дает нижнюю оценку предельной нагрузки и на­ зывается с т а т и ч е с к и м м е т о д о м . При использовании этого метода вводят статически возможные напряженные состояния текучести о,'/, удовлетворяющие внутри тела уравнениям равнове­ сия. Напряженное состояние а и может быть в общем случае раз­ рывным.

Внешние нагрузки на Sp представляем условием: X'nt = ксХ П[( \ где кс — значение параметра нагрузки. Состояние разрушения опи­ сывается уравнением

Здесь ксвыступает в качестве искомого статического коэффициен­ та предельной нагрузки.

Для рассмотренной балки, защемленной по двум концам, необ­ ходимо построить эпюру изгибающих моментов, не превосходящих JWt , и уравновешенную с внешними силами. В данном случае будет иметь место криволинейная эпюра с отрицательными значениями Мт в заделке и положительным в середине пролета. Уравнение для определения разрушающих нагрузок будет то же, что и в кинемати­ ческом методе.

Тогда статическая нагрузка qc = 16 Мт//2, т. е. совпадает с точ­ ным значением.

Пластическая деформация в размере до 0,0025 служит критерием эксплуатационной прочности, т /е .рсостоянием, при котором еще не происходит разрушения 1(см. п. 1.4). Д е ф о р м а ц и о н н ы й к р и т е р и й можно использовать также в случае пластического (вязкого) разрушения. Именно деформация, а не напряжение, мо­ жет наиболее полно отразить ухудшение свойств металла, накопле­ ние повреждений, учесть вид напряженного состояния. Особенно яр­ ко это видно на диаграммах деформирования при а > сгт, когда большим изменениям деформаций соответствуют малые приращения напряжений. При одноосном растяжении разрушение наступает при определенном напряжении а = араз и некоторой предельной плас­ тической деформации ер> Пр-

свойством аддитивности и удовлетворяет условию постоянства объ­

ема, T. е. 81р + Е2р + 8ЗР = 0.

Если задана истинная диаграмма деформирования а — 8 при одноосном растяжении, можно перейти к истинной диаграмме от* —

— е1р (рис. 1.3). Обозначая главные пластические деформации slp, е2р, езр при одноосном растяжении имеем а = ах; <т2 = сг3 = 0;

В общем случае главная пластическая деформация

После подстановки значения eip из уравнения (1.19) получим

Используя формулы (1.19) и (1.20), можно через компоненты глав­ ной деформации выразить интенсивность пластической деформации

Подставим данное выражение в уравнение (1.17) и последнее приравняем выражению (1.18). Таким образом выразим максимальное главное напряжение через максимальную главную компонен­ ту деформации е1р, т. е.

т

&1Р

üx= a (I—0,5аа—0,5а3)от (1+ а а+ а 2 а 3+ а ! - а а а 3)0’5 ( т - 1)- (1-22)

Так как разрушение происходит при ах = <траз, то пластическая деформация разрушения (искомая величина) будет е1р = e1Pi„p.

При осевом растяжении разрушающему напряжению <траз’ на обобщенной диаграмме соответствует предельная деформация e;Pi пр.

Приравняем выражение араз = агТр, пр уравнению (1.22). После преобразований получим для случая трехосного напряженного со­ стояния значение предельной деформации разрушения:

Из анализа полученных формул устанавливаем, что при сложном напряженном состоянии и положительных а 2 и а 3 предельная пла­ стическая деформация уменьшается, т. е. отношение e1Pi Пр/e iPi, пр<--I • Ф и з и ч е с к и и с м ы с л этого: развитие пластических дефор­ маций начинается на более высоком уровне напряжений, чем при осевом растяжении, однако при этом пластичность стали, как ма­ териала уменьшается. Степень снижения пластичности существенно зависит от показателя упрочнения m стали. Для высокопрочных сталей (m « 0,05) с двухосным растяжением имеет место резкое (до 20 раз) снижение предельной пластической деформации разру­ шения в широком диапазоне отношений компонентов главных на­ пряжений и сг2. При трехосном растяжении пластическая дефор­ мация разрушения может стать очень малой и для обычных плас­ тичных сталей (m «w 0,3). При равномерном трехосном растяжении (а2 = а 8 = 1) по изложенной теории пластическая деформация разрушения для всех сталей равна нулю, т. е. разрушение проис­ ходит только при упругой деформации (хрупкое разрушение).

Для высокопрочных сталей при трехосном растяжении область отношений компонентов главных растягивающих напряжений, спо-

собных вызвать хрупкое разрушение, достаточно обширна, что нуж­

но-деформированного состояния вокруг трещины — весьма важная задача, в значительной степени определяющая разрушение. Крите­ рий начала распространения трещины составляет основу механики разрушения и он не следует из уравнений равновесия или движения механики сплошной среды. Это физический критерий и одновремен­ но дополнительное краевое условие при решении вопроса о предель­ ном равновесии тела с трещиной. Под предельным равновесием здесь понимается состояние, когда трещина получает возможность рас­ пространяться.

Отсюда следует, что для оценки разрушения обычных физико­ механических характеристик материала недостаточно. В частности, традиционная диаграмма деформирования о — е не отражает в до­ статочной степени процесс разрушения. Поэтому в дополнение к диаграмме деформирования рассматривают диаграмму разрушения материала, для получения которой испытывают плоские образцы с начальной центральной сквозной трещиной. В процессе нагруже­ ния образца наблюдается увеличение трещины до определенной дли­ ны (называемой критической) и размера напряжения в неослаблен­ ном сечении образца (называемым к р и т и ч е с к и м и а п р я- ж е и и е м), когда происходит разрушение. Совмещенная диаграм­ ма разрушения и деформирования для пластичного материала пока­ зана на рис. 1.4, а. Если длина трещины не превышает некоторого размера /т1п, то имеет место общая текучесть материала и происхо­ дит его пластическое разрушение. При большем размере трещины разрушающее напряжение (для хрупкого или квазихрупкого раз­ рушения) будет меньше предела текучести.

Критическая диаграмма разрушения (см. рис. 1.4, а) — предель­ ная по отношению к докритическим диаграммам разрушения. По­ следние получают на образцах с начальными трещинами как зави­

симость напряжения в неослабленном сечении образца от длины ус­ тойчивой трещины для заданной толщины образца. Таким образом на докритической диаграмме разрушения наблюдаются два характер­ ных размера трещины: начальная lQt и конечная (критическая) l l{i длина. Критической длине соответствует критическое напряжение разрушения а К£. Можно отметить, что докритическая диаграмма раз­ рушения оценивает способность материала тормозить трещину. Распространение (рост) трещины связано с состоянием материала в окрестности вершины трещины. Для хрупких (стеклоподобных) материалов в вершине трещины при ее росте имеет место разрыв материала, близкий по характеру с разделением атомных слоев. Именно со случая идеально упругого тела, рассмотренного А. Гриф­ фитсом, и начала развиваться механика разрушения.

Для таких материалов, как сталь, продвижение трещины связа­ но с пластическим деформированием по ширине трещины. При ма­ лых размерах пластической зоны в вершине трещины разрушение (по предложению Г. Ирвина) можно условно рассматривать как квазихрупкое. *

Вопросы хрупкого и квази-хрупкого разрушения изучает л и- н е й н а я механика разрушения. Разрушение, связанное с раз­ витием протяженных пластических зон (или занимающих значитель­ ные объемы), имеющих одинаковый порядок с длиной трещины, рас­ сматривает н е л и н е й н а я механика разрушения.

Рассмотрим условия, при которых трещина получает возможность распространяться.

При развитии трещины на величину ÔS (приращение площади)

где дГ — энергия разрушения, необходимая для образования новой по­ верхности разрыва ÔS, Для стали это в основном работа пластической дефор­

Величина G определяет поток энергии в вершину трещины (на единицу площади), т. е. представляет собой освобождающуюся уп­ ругую энергию тела при развитии трещины. Если линейные разме­ ры пластической зоны не превышают 20% от длины / трещины, то поток упругой энергии можно вычислить на основе упругого реше­ ния задачи. Такой подход соответствует концепции квазихрупкого разрушения Гриффитса — Орована — Ирвина применительно к пластичным материалам.

Прежде чем перейти к вычислению соответствующих пара­ метров разрушения, необходимо ввести характеристики трещины (рис. 1,4, б). Полудлину трещины обозначим /, а длину пластичес­ кой зоны в одной из вершин трещины — d. Берега трещины получа­ ют расхождение на величину 2v > бк в зоне длиной 21 и на величи­ ну*^ < 0К в пластической зоне. При х = I раскрытие трещины рав­ но бк и оно считается критическим. Разрыв перемещений в преде­ лах пластической зоны происходит вследствие текучести материала

и образования своего рода «шейки» при растяжении. При х = а, V = 0, т. е. за пределами пластической зоны материал работает уп­ руго. Длина d пластической зоны находится из решения упруго­ пластической задачи и для растягиваемой бесконечной плоскости с трещиной ее можно определить из выражения

где о — невозмущенное напряжение (на бесконечности).

Общий случай напряженно-деформированного состояния у вер­ шины трещины можно получить путем наложения напряжений трех частных видов деформаций, которые обычно рассматривают самосто­ ятельно. Первый их вид связан с отрывным смещением, когда по­ верхности трещины расходятся во взаимно противоположных на­ правлениях. Второй вид деформаций соответствует перемещениям, при которых поверхности трещины скользят друг по другу вдоль. Третий вид связан с антиплоской деформацией, по типу возникающей при разрезании ножницами.

Рассмотрим только первый вид деформации, однако рассуждения будут носить общий характер.

Вернемся к определению потока энергии в вершину трещины. При продвижении трещины на величину Ах формула имеет вид:

д*

о

Для бесконечной растягиваемой плоскости при плоской деформа­ ции

при плоском напряженном состоянии

где К — коэффициент интенсивности напряжений вблизи вершины тре­ щины, Н/см3/2.

Этот коэффициент определяется для каждого вида деформаций и зависит от марки стали, толщины образца, условий нагружения. Для рассматриваемого случая бесконечной растягиваемой напряже­ нием а плоскости

Отсюда при известной критической величине К (характеристика материала) и заданном а можно найти допустимую (предельную) дли­ ну трещины. Возможна иная постановка — при заданной длине трещины можно вычислить допустимый уровень напряжений.

где 6 — знак вариации; шо — перемещение в дополнительном разрезе d; dF — дифференциал площади; — напряжения от нагрузок qg в теле, не содержащем трещину (мысленно прикладываются к контуру S трещины); qt — заданные распределенные нагрузки на поверхности тела 2 ; и% — пере­ мещения точек поверхности трещины для тела, которое нагружено только на поверхности трещины S давлением рг + q(\ Й — поверхность дополнитель­ ного разреза.

Э н е р г е т и ч е с к и й к р и т е р и й в форме уравнения (1.31) позволяет решать целый класс задач теории трещин. Из него также следует частный случай идеально упругого хрупкого разру­

Вкачестве примера рассмотрим у п р у г о п л а с т и ч е с к о е

ра з р у ш е н и е неограниченной плоскости с одиночной прямо­

линейной трещиной у = 0* \х\ I. Растягивающее напряжение на бесконечности равно р. Пластические зоны занимают отрезки у = 0, / <1 \х\ ^ а. В пределах пластических зон действует напряжение сг0,

+ (дs - l ) T ( x , / ) - ( * + / ) T ( x - l )

al—xl—V (a?—x*) (a2—P)

при T (x , /) = ln

a*—x l+ V (a?—x2) (a?—P)

Для размера пластической зоны используется выражение

lia =cos (пр/(2а0)у