книги / Проектирование стальных мостов с учетом пластических деформаций

Эти напряжения должны удовлетворять только уравнениям рав­ новесия, т. е. уравновешивать силу 6P t= 1. Поэтому их, т. е. о*,

Тосу,...» целесообразно определять в простейшей статически опреде­ лимой системе. Следует помнить, что деформации е*,..., ухУ, ... пред­ варительно должны быть найдены в физически нелинейной, в общем случае статически неопределимой системе. Процедура вычисления перемещений по известным деформациям в основе своей чисто гео­ метрическая и поэтому применима как для линейных, так и физичес­ ки нелинейных задач.

Если материал следует закону Гука, то формула (1.6) для стерж­ невых систем переходит в формулу Мора.

Найдем по методу единичной нагрузки прогиб свободного конца консоли длиной /, прямоугольного поперечного сечения с шириной b и высотой Л; сосредоточённая сила Р приложена на конце консоли. Зависимость между напряжением и деформацией для материала— нелинейная а = ае1/2, где а — коэффициент.

Сначала определим кривизну для любого сечения балки. Соглас­ но гипотезе плоских сечений %= sRJh, где едв — удвоенная де­ формация верхнего волокна балки.Тогда выражение для изгибаю­ щего момента в произвольном поперечном сечении балки примет вид:

С учетом нелинейного закона деформирования материала, после интегрирования получим

М= abh2 8дВ2/ (51/2 ),

откуда

едв=50УИ2/(а2 fc2/i4).

В сечении, расположенном на расстоянии х от свободного конца консоли, кривизна

и= 50Р2*2/(а2 6а И .

Поскольку используем метод единичной нагрузки, необходимо иметь выражение изгибающего момента* от единичной силы P = 1, т. е. М = !■*. Используя формулу (1.6), получим перемещение

о

Перейдем теперь к энергетическим методам расчета конструкций.

жения). Предположим, что имеем нелинейную зависимость между силой Р и перемещением Д для растягиваемого стержня. Поскольку

для консервативной системы энергия U деформации равна работе W внешних сил, будем иметь

о в

Удельная энергия деформации и = J* ads.

О

Когда материал следует закону Гука, для растягиваемого стерж­ ня можно записать выражения:

l/= £ M a/(2/); и^О.бЯе3.

Энергия напряжения (дополнительная работа)

когда материал следует закону Гука, для растягиваемого стержня

U*r=P4/(2EF); u* = oV(2E).

Для конструкций с линейным поведением энергия деформации равна энергии напряжения и эти величины представляются квадра­ тичными формами от перемещений или от нагрузок.

Рассмотрим случай нелинейного поведения конструкции, для которой А = аР2, где а — коэффициент. Нелинейность может быть физической или геометрической. Для энергии деформации и энер­ гии напряжений соответственно получим:

Здесь энергия деформации выражается через перемещение, а энергия напряжения — через нагрузку. Однако в случае необходи­ мости нет препятствий для выражения энергии деформации через нагрузку, а энергии напряжения через перемещение.

Используя понятия работы, дополнительной работы, а так­ же определения энергии деформации и дополнительной энергии (энергии напряжения), перейдем к определению потенциальной энергии системы. Дадим определение: п о л н а я потенциальная энергия — это работа, которую совершают как внешние, так и внут­ ренние силы системы при переводе ее из деформированного состоя­ ния в исходное, недеформированное. Для потенциальной энергии также имеет место двойственность ее представления. В соответствии с этим, можно записать: 1) полная потенциальная энергия деформа­ ции П = U — W; 2) полная потенциальная энергия напряжения или полная дополнительная энергия П* = U* — W*.

С использованием понятий потенциальной энергии связаны два фундаментальных принципа строительной механики — принципы

возможных изменений перемещений и принцип возможных измене­ ний напряженного состояния.

Принцип возможных и з м е н е н и й п е р е м е щ е н и й фор­ мулируется следующим образом: если система находится в состоя­ нии равновесия, то сумма возможных работ всех внешних и внут­ ренних сил на всяком возможном бесконечно малом изменении пере­ мещений равна нулю, т. е. ÔП = 0. Состоянию устойчивого равнове­ сия соответствуют условия:

С этим принципом связана формула Лагранжа (1-я теорема Кастилиано)

т. е. частная производная от энергии деформации по обобщен­ ному перемещению равна соответствующей ему обобщенной силе.

Рассматриваемый принцип применим для любых нагрузок, а так­ же для физически и геометрически нелинейных задач. Из него вы­ текает метод перемещений строительной механики. При использова­ нии принципа возможных изменений перемещений энергия деформа­ ции должна быть выражена через перемещения.

Принцип возможных изменений н а п р я ж е н н о г о с о с ­ т о я н и я (сил) формулируется следующим образом: если сущест­ вует совместность деформаций системы, то сумма возможных работ, производимых возможными бесконечно малыми изменениями всех внешних и внутренних сил на действительных перемещениях систе­

Сэтим принципом связана формула Кротти-Энгессера:

ди *

т. е. частная производная от энергии напряжения по обобщенной си­ ле равна соответствующему этой силе обобщенному перемещению. Данный принцип справедлив и для нелинейных задач; из него выте­ кает метод сил строительной техники. При использовании этого принципа энергия напряжения должна быть выражена через силы.

При линейном поведении конструкции формула (1.10) известна как вторая теорема Кастилиано.

Рассмотрим применение принципа возможных изменений пере­ мещений для расчета конструкции (рис. 1.1, а), материал которой имеет нелинейную зависимость напряжения от деформации а — = бе1/2, где b — коэффициент.

Оба стержня (/ и 2) имеют одинаковую площадь F поперечного сечения. Рассчитаем нелинейно упругую ферму методом перемеще­ ний с привлечением формулы Лагранжа.

Рис. 1.1. Схемы к расчету по методу перемещений

Конструкция 2 раза кинематически неопределима, неизвестны перемещения узла Zx и Z2. Для решения задачи необходимо выразить энергию деформации через перемещения Zx и Z2.

Используя геометрические данные, вычисляем деформации стерж­ ней:

укорочение (Z2—zx)/(2/y).

Находим удельную энергию деформации стержней:

Полную энергию деформации системы получим, умножив соот­ ветствующие удельные энергии на объем каждого стержня:

u = - ^ J T ^ zl /2+ ( ^ - Z i) 3l2l

Таким образом энергия деформации выражена через неизвест­ ные перемещения Zx и Z2 в узле. В соответствии с первой теоремой Кастилиано вычислим частные производные от энергии дефор­ мации по перемещениям Zx и Z2 и учтем при этом внешние силы в узле. Тогда получим:

Эти уравнения свидетельствуют, что система находится в состоя­ нии равновесия. После упрощения уравнений и их решения получа­ ем выражения для искомых перемещений:

ZX= P 2 Н/(Гг b2); Z2=5Р2 Hl(F2 b2).

По полученным значениям перемещений вычисляем относитель­ ные деформации стержней:

Далее вычисляем напряжения в стержнях, учитывая при этом нелинейный закон деформирования:

растяжение

сжатие

о2=Ьв2'х 2 = У2Р!Р

Усилия в стержнях конструкции:

N1=<J1F = P , N2 = a2 F = У 2 P.

В приведенном примере рассмотрена статически определимая система, однако ход решения, а также число неизвестных сохраня­ ются и в случае статической неопределимости системы (см. напри­ мер, рис. 1,1, 6).

Проиллюстрируем применение принципа возможных изменений сил на расчете конструкции (рис 1.2, а), материал которой обладает физической нелинейностью а = в&1/2. Найдем усилия в стержнях 1—3. В качестве лишнего неизвестного метода сил примем силу X в вертикальном стержне.

Находим усилия в стержнях основной системы:

где F — площадь поперечного сечения каждого из стержней.

условие для определения неизвестного параметра а:

Покажем, как применяется метод Ритца к решению физически нелинейной задачи. Возьмем консольную балку прямоугольного поперечного сечения, к свободному концу которой приложена сила Р. Закон деформирования материала балки определяется уравне­ нием а = ав1/2. Требуется найти прогиб w0 свободного конца бал­ ки.

Зададим функцию прогибов балки

W= 1 ~ ( X3- 2 P X +2P).

Предположим, что начало координат помещено на свободном кон­ це балки. Выбранная аппроксимирующая функция удовлетворяет как кинематическим, так и статическим граничным условиям на концах балки, что следует признать весьма удачным (принято ли­ нейное решение задачи). Для произвольного сечения рассмотрим точку, расположенную на расстоянии у от нейтральной оси. Дефор­ мации в этой точке

е = х у = 3w0 x y lP l2,

Удельная энергия

и = J ode = J as112 de =2/l/3 a (wQxijllз)3/2.

оо

Полная энергия деформации

Здесь / — пролет консольной балки; b, h — соответственно ши­ рина и высота поперечного сечения балки.

Учитывая, что П = U — PwQt а также используя принцип ста­ ционарности потенциальной энергии, получим

дП 3 V b abhb!2wxJ 2 _ р dwQ 2Ы2

Окончательно имеем для конца консоли прогиб

ю0 = 625Ра /4/(54аа Ь2ЛБ) ,

что на 7% меньше точного значения.

Отметим, что в случае активного процесса нагружения и дефор­ мирования (без разгрузки) методы решения упругих физически нели­ нейных задач полностью применимы для расчетов конструкций с неупругим поведением, вызванным, например, пластическими де­ формациями стали.

Обычный расчет на прочность, в том числе'в упругопластичес­ кой стадии, не гарантирует конструкцию от наступления хрупких разрушений. Наличие в элементах различного рода начальных де­ фектов (трещин, пор, включений, расслоений, непроваров), а также образующиеся в процессе эксплуатации повреждения (циклические, коррозионные, деформационного старения) могут снижать разру­ шающую нагрузку в 1,5—4 раза по сравнению с пределом теку­ чести материала. Особенно чувствительным к начальным дефектам

несколько аспектов проблемы.

Х а р а к т е р р а з р у ш е н и я может быть различным в за­ висимости от свойств материала, условий его нагружения и работы, геометрических параметров и т. п. Поэтому целесообразно выделить некоторые специфические виды разрушения. К ним можно отнести идеально-пластическое и хрупкое разрушения. Эти виды разруше­ ния предельные и между ними лежит широкий класс упруго-плас­ тических разрушений. Практический путь решения данного вопро­ са заключен в рамках феноменологического подхода с использова­ нием соответствующих физических критериев. Расчетный аппарат механики разрушения опирается на теорию упругости и пластично­ сти. Применение феноменологического подхода к расчету разруше­ ния поликристаллических материалов, имеющих неоднородности строения, требует ряда пояснений.

Большинство реальных материалов неоднородны. Если эти неод­ нородности по линейным размерам соизмеримы с размерами всего тела, их называют макроскопическими. Если же неоднородности по

материал. Ее поликристаллическая структура, местные флюктуации химического состава и другие факторы, порождают флюктуации ме­ ханических свойств и соответственно локальные возмущения поля, напряженного состояния [13]. Математической точке сплошной среды соответствует физическая точка — сравнительно малый объ­ ем, содержащий достаточно большое число атомов. Г. Лоренц пред­ ложил различать математически и физически бесконечно малые ве­ личины. ‘ ,.

Учитывая, что междуатомные расстояния в кристаллах имеют размер около 0,1 нм, можно наименьший линейный размер физичес­ кой точки (когда еще сохраняются свойства сплошной среды) при­ нять равным 10—10а нм. Но это не обеспечивает еще сопоставимости результатов расчета и опытных данных, что объясняется различием напряжений и деформаций элементов структуры и средних напряже-; ний. Поэтому [281, кроме указанных физических точек, необходимо5 ввести такие физические точки W, свойства которых определялись