книги / Механика композиционных материалов

___L f,a „

)\

г* д г

(

^00 - т ( т [

2

а’ Кф>

___ д

( г* а>д.Ф

\

а’е"

1

дел

дгдф

дг

\

дг

J

дф*

J

дг

Л фф =

-

f

—

д2К

0) + г - дгГг■+

2 c t g q > - ^ ^ ------

га

ц sin ф

дгдв

дг

Or

— С^ф

а2ег<

д

дей1

J ___ -J 4 ,

дф

_

/ Г2 _!fe0_\

дг

\

дг

)

5Шаф

д0* ]•

1

(2

да

0*е,

]гв =

—

-Sin фЕ,в

_ чрф

sin ф

дгдф

двдг

+ — [ - —

•(sin фЕ^) —ctg ф

дф

(sin фе*)) — -О6гг. ___

г

|_

дфа

дЭ

аа|

(iii-ii)

•sin ш -------

\

sin Ф

] а

.

дфд0

да (sin фЕее)

д2е(

де

+

Ч г ф =

т

( 81я ф [

^

0ф

- C O S ф •

>рФ

1 г aaerm

дгд0

дг

да (sin фел0

-81п2ф

дъгг

"7" [~~^Г + 2 sin2

д0дф

дф

])■

д0а

1

Sin Ф

д0дг

_ м „ ф J L ( ~ L U

д2

f - i s - 1 ]

дфд0

дгдф

\

sin ф /

\

sin ф /

J

Пусть

на бесконечном интервале — о о < / < + оо задана функ­

ция /( /) ,

интегрируемая на любом конечном интервале и для ко­

торой выполняется равенство

П т М °7 ( 0 = 0 ,

(IV. 1)

1/1-00

/* (со) = f f ( t ) e ~ l <“

d t .

(IV .2 )

Функция (обобщенная функция)

(со)

называется

фурье-образом

разование Фурье, которое

каждой спектральной

функции ставит

в соответствие фурье-оригинал по закону

00

f (t) =

j* /* (со) еш dec.

(IV.3)

---00

Воспользовавшись формулой Эйлера, получим из (IV.2) коси­

нус-преобразование Фурье:

00

/ ' (ш) = 2 J / (<) cos

(IV.4)

О

а из (IV.3) — обратное-преобразование Фурье

00

f ( t ) =

— j* /с (©) SOD M e n .

(IV .5 )

/* (ш) = 2 J / (<) sin atdt,

(iv.6).

0

/ (0 =

-i-J / s(o>) sinMat.

(IV.7).

0

Заметим, что если f(t) — четная

функция, то

(IV.8)

/*(0))=/с(и).

Если f(t) — нечетная функция, то

(IV.9>

H<o)=tfs(co).

Подставив выражениеf(t)

через

спектральную функцию

(IV.3)

в формулу (IV.2) и производя

формальную замену порядка ин­

тегрирования, получим

JГ ( р )

e w - ^ d t j dp,

(IV.10)

откуда видно, что

(IV.11)

_ j_

j

gi/(p—(D) (ft — 6 (р — со),

где б(р) — дельта-функция

Дирака.

Аналогично,

подставляя

(IV.2) в (IV.3), получим

_ L

j*

ef<DW-x) dco = 5

— x).

(IV.12)

— so

Точно так же устанавливается справедливость формул

ОО

00

— J* cos t (р — <£>)dt=b{p — (о),

- L j c o s c o O 1 — т) d(a =

6 (t — т).

о

о

(IV. 13)

Фурье-образ производной

я-го

порядка

от функции f(t) (обоб­

/<п>(t) = _ L j (jfljjn ((0) еШ f a

(IV. 14)

Т а б л и ц а

IV. 1

фурье-образ

00

Н О

(*(<■>) = J f(t)

---00

оо

(i 0 )n f* (0 )

J f(i-x)g(x)dx

Г(о>)Я*И

—00

1

2 яб (0 )

С

2 я c 6 (0 )

6 ( 0

I

tn, п^О

2 я (—l)n 6 (n>(0 )

elat

2 я6 ( 0 + a)

sin a t

я i[b (0 —a) — 6 ( 0 +

a)]

cos at

я [6

( 0 — a) - f 6 ( 0 - f

a)]

Пусть функция f(x) может

быть

преобразована по Фурье:

F(u>) = j7 (х) e~ ^ d V x .

(IV. 15)

=

(IV.16)

да тензор-функция

g (x ), комплексно сопряженная к

с ней

совпадает. Поэтому

имеем

J/,(*): £ Й dVx = J Ц х) : g Й dVx = -JL -

( Т о

) d V ^ :

: [J а (р) (j

dV,) dVp] dVa>-

(IV.18)

Учитывая

(IV. 16), получим из (IV. 18)

J / Й

: g (Т) d V , =

J > Й : G Й

dV*,.

(IV . 19)

Формула

(IV. 19)

носит название

обобщенной

формулы

Парсева-

ля.

З а м е ч а н и е .

Иногда функцию g(jc), комплексно

сопряжен­

ную к # (* ), мы обозначаем £ *(*).

Е \ ,

(у/ ( 1 - у)«

/ (1

2V) у

\

£ (1 —v)

/

h —

Г (0)

h

г (0)

(V.4)

” 2222 —

'-'2222>

'‘1122

^2211,

Лц

2

\ 1+

v '

Ciili = £ +

у

( у )

< ^ >

740)

(V.5)

О2222 — '

< ^ >

( ^ г )

(V)

г ( 0)

^1212 = 2 ( 1 + V )

(у)2

", ^2222 — ^2222

(V.6)

< £ > + - 1— V2

^1122 — ^2211» h.

-

1

-

М .

2

(

\

1 4- у /

2. Задача в напряжени

а)

Общий случай.

Тензор упругих податливостей нулевого приближения:

j IJKL = J1JKL + ■

WKJ J\\\\)

(V.7)

Эффективный тензор упругих податливостей:

HUKL= ( J ] ; KL) +

( A ^ ) -

(JI\KLIJU\0 _ /

(у .8)

7MI111ill

0 / 7 11П>

7l111

где J)JKL= JIJKL

для плоской деформации и

J]JKL= JJJKL

для плоско-напряженного состояния (§ 8 гл. 4).

б)

Все компоненты композита

изотропны. Плоско-деформиро­

ванное состояние.