книги / Механика композиционных материалов

плоскости равных фаз ф=£*дс A-(at в направлении единичного век-

—*

тора v, называемого фазовой нормалью) определим:

А — постоянный вектор, длина которого называется амплитудой:

А = |А |= у AtAt Разумеется, (1.5) будет решением уравне­

ний (1.4) не при всех A, k и со. Для физически линейной среды, оператор определяющих соотношений — линейный, и поэтому уравнения (1.4) будут удовлетворяться при любой амплитуде. В этом случае, чтобы (1.5) было нетривиальным решением урав­ нений (1.4), между волновым числом k и частотой ш должна, во­ обще говоря, существовать связь вида

Соотношение (1.8) называется дисперсионным (или частотным) уравнением. Если для всех частот со фазовая скорость распрост­ ранения волны с одинакова, то волна называется недиспергиру­ ющей. В противном случае (фазовая скорость волны зависит от частоты) говорят, что имеет место дисперсия (волна — дисперги­ рующая).

В некоторых случаях волновое число может быть комплекс­ ным:

(например, при введении в определяющие соотношения комплексных модулей для изучения динамики линейно вязкоупругих материалов; § 4 гл. 1). Тогда дисперсионное соотношение (1.8) записывается в виде двух уравнений с действительными пе­ ременными:

причем мы выбрали специальную систему координат, в которой

е

где hq — некоторые постоянные, удовлетворяющие условиям

причем, как обычно,

Тогда уравнение движения при отсутствии «объемных сил» при­ обретает вид

hQvn+ hQ~dF~д2и + а;[v"' + ^ ] +

о

Упражнение 1.1. Показать, что величины hq в (1.18), (1.19) совпадают с величина hq § 1 гл. 4, и поэтому

о

Упражнение 1.2. Показать, что локальные функции Nq(l) в (1.16) (1.20) совпадают с локальными функциями Nq(%) § 1 гл. 4, и поэтому для них справедливы формулы (4.1.58) и (4.1.59).

Упражнение 1.3. Показать, что из (1.18) и (1.19) вытекает справедливость следующих соотношений:

Как и прежде, локальные функции должны удовлетворять усло­ виям

(U „ p = 0,

Нетрудно видеть, что величины h(<7)(0) в (2.5), (2.7) совпадают с величинами h^>, определенными в статической задаче теории уп­ ругости в § 2 гл. 4. Величины h(0)(0) = h являются компонентами эффективного тензора модулей упругости.

По теории эффективного модуля решается динамическая зада­ ча теории упругости для однородной среды:

После ее решения можно найти микронапряжения по теории ну­ левого приближения:

гДе Cify — компоненты тензора модулей упругости нулевого приб­ лижения

а локальные функции ЛД1)(0) находятся из решения дифференци­ альных уравнений

тера распространения плоских гармонических волн в данной среде позволяет ответить на вопросы:

Для исследования однородных уравнений движения теории эф­ фективного модуля (2.16) подставим в них (1.5). Т^гда получим однородную систему алгебраических уравнений

ее определитель нужно приравнять нулю. Используя обозначения

Решая уравнение (2.24), найдем направление вектороВ перемеще­

ний и и соответствующие фазовые скорости упругих эолн в экви­ валентной однородной упругой среде, характеризующейся эффек­ тивным тензором модулей упругости h. Нетрудно видеть, что волновые числа являются действительными, групповая скорость не зависит от частоты, т. е. волны вида (1.5) являются для рас­ сматриваемой среды недиспергирующими и незатухающими, яв­ ление волнового фильтра отсутствует.

Для того чтобы исследовать дисперсию, необходим0 в уравне­ ниях движения (2.9) сохранить члены при достаточно высоких степенях а.

Для решения динамической задачи линейной теории вязкоуп­ ругости достаточно во всех предыдущих соотношениях этого па­

Для теории эффективного модуля получаем уравнения движе­

причем локальные ядра релаксации N(1)(0)(£, t) находятся из ре­ шения уравнений

при выполнении условий (2.6). Из (2.28) можно найти эффектив ный тензор ядер релаксации

Особенности динамического поведения вязкоупругих материа­ лов можно рассмотреть на примере однородного вязкоупругого стержня (теория эффективного модуля). Уравнение движения такого стержня имеет вид

К исследованию этого уравнения можно подойти следующим способом. Подставляя (1.26) в уравнение движения упругого стержня, получим

Заменяя в (2.32) модуль упругости h на комплексный модуль Е* (1.4.16), получим

где J* — комплексная податливость (1.4.24). Представляя эту податливость в тригонометрическом виде (1.4.25) и используя выражение (1.9), получим

Поэтому из (1.12) следует выражение для длины волны Я, и фа­ зовой скорости

Таким образом, в вязкоупругом стержне, даже однородном, воз­ никает дисперсия (вязкая дисперсия), причем гармонические плоские волны затухают. Явление фильтра отсутствует.

Возникающая в упругих композитах дисперсия носит название геометрической дисперсии.

Упражнение 2.1. Показать, что для малой вязкости, т. е. ма­ лых углов <р (1.4.23), из (2.34) и (1.4.24) следует

ti =г=со Кро («Л»+ J5),

2

с

V?o{J-+Js) (И-J4JJ'12

§3. Волновой фильтр

Вслоистых композитах наблюдается явление непропускания некоторых коротких волн (или высоких частот) в направлении, ортогональном слоистости. Это явление названо исследователями эффектом волнового фильтра.

Рассмотрим, например, упругий стержень, выполненный из двухкомпонентного композита, представляющего собой периодиче­ скую структуру.

Пусть длина ячейки периодичности равна 1, «объемная» кон­

центрация одного из компонентов у» а компоненты являются од­ нородными и характеризуются модулями упругости и плотностя­ ми Еа, ра или их комбинациями

После подстановки в уравнение (3.2) выражения (1.26) получим дисперсионное уравнение