книги / Методы планирования экспериментов в области резания металлов и математической обработки результатов
..pdfОпределим сначала общую сумму квадратов. Для: этого необходимо сложить квадраты всех -показаний и вычесть поправочный член, который равен суммевсех наблюдений, возведенной в квадрат и деленной на число наблюдений 32.
SS06IU= 441—'- t p = 435,72.
С целью получения суммы квадратов, соответст вующей типам инструмента, нужно сложить резуль таты наблюдений для каждого типа. Для нашего примера:
а) для Т15К6 |
—10-)-13 = 3 |
|
б) для Т5К10 |
—2 2 6 = |
—16. |
Следовательно, |
За + (-16)2 |
(—13)2 = 11,28. |
55т пне — |
||
|
16 |
32 |
Сумму квадратов для переднего угла можно по лучить, производя те нее операции с суммами покаждому варианту, т. е.
а) для 7 = 15° —10—22 = —32 б) для т = 30° 13 + 6=19, следовательно
со |
_ - 3 2 + 19 |
- 1 3 |
= 81,28. |
|
|
пер угол — |
16 |
32 |
|
|
|
|
||
Сумма квадратов для типа резания определяется: с помощью тех же операций для 25 и —38.
оо _ 25 — 38_____ —13 • | суд по
Теперь определим взаимодействия между фак торами. Так, например, определим сумму квадратов
взаимодействия для ТХВ |
{Т—эффект инструмента,. |
||||
В—эффект переднего угла). |
Ее |
значение можно по |
|||
лучить, игнорируя |
тип резания |
и используя суммы |
|||
по вариантам для |
всех Т х В |
ячеек, |
т. е. —10, 13„ |
||
—22, 6. Тогда |
|
|
|
|
|
ТхВ = |
(—10)а +13=» + |
(—22)а |
0з ^ |
||
|
В |
|
|
|
|
(—13)2 |
|
|
|
|
|
—11,28 -81,28 = |
0,78. |
||||
32
Для ТхС (С—соответствует эффекту типа реза ния) взаимодействия, игнорируя 55 переднего угла, используем суммы для Т х С ячеек, т. е.
для Т15К6 |
2 + 1 5 = 1 |
7 |
|
_12Н----2 = |
—14 |
для Т5КЮ |
- 5 + 13.= 8 |
|
Следовательно: |
- 1 7 + - 7 = - 24-. |
|
|
|
|
SSTXC = |
J P + (-M )» + 8 '+ (-2 4 )» _ |
|
|
|
8 |
— (~ 13)J -11.28 -124,03 = 0,03.
32
Для ВХС взаимодействия, игнорируя тип инстру мента, используем суммы для В х С ячеек, т. е.
для непрерывного |
(при 7 = |
15° |
2—5 = —3 |
резания |
\ при ? = |
30° |
15+13 = 28 |
для прерывистого |
f при if— 15° |
—12 —17 = —29 |
|
резания |
| при т = |
30° |
- 2 - 7 = —9. |
Следовательно,
с с |
_ |
( - 3 ) 2 + 282+ ( - 2 9 )2 + (-9 )2 |
О О вхС = |
---------------------------------- ------------------------------------------ |
|
_ J b ]3 £ — 81 28 _124,03 = |
3,78. |
32 |
|
Наконец, для тройного Т Х В Х С |
взаимодействия |
рассмотрим суммы по ячейкам минимального разме ра: 2, 15, —5, 13, —12, —2, —17, —7. Из суммы квадратов по ячейкам вычтем не только суммы квад ратов главных эффектов, но также суммы квадратов трех двойных взаимодействий.
55ТхВхС— 2 2 + 1 5 2 + (-5 )2 + 1 3 2 + (-1 2 )2 + (—2)2+ ( —17)2+ ( - 7 ) 2
4
(-13)2
32
11,28—81,28—124,03—0,78—0,03—3,78=0,79.
Сумму квадратов ошибок получим, вычитая из полной суммы квадратов все полученные величины.
55ош= 435,72-11,28- 81,28-124,03-0,78 - -0,03-3,78-0,79 = 213,75.
Исходя из этого расчета, результаты анализа
можно привести |
в таблице |
39. |
|
|
|
|
|
|
Та б ли ц а 39 |
||
Источник изменчивости |
Степень |
Сумма |
Средний |
||
свободы |
квадратов |
квадрат |
|||
|
|
||||
Тип инструмента (Тj) |
|
1 |
11,28 |
11,28 |
|
Передний угол (Bj) |
|
1 |
81,28 |
81,28 |
|
ТХВ взаимодействие (ВГу) |
1 |
0,78 |
0,78 |
||
Тип резания (Ск) |
(ТСiu) |
1 |
124,03 |
124,03 |
|
Т х С взаимодействие |
1. |
0,03 |
0,03 |
||
ВХС взаимодействие (£Cji<) |
1 |
3,78 |
3,78 |
||
Т х В х С взаимодействие (7’BCjjk) |
1 |
0,79 |
0,79 |
||
Ошибка em (iJk) |
|
24 |
213,75 |
8,91 |
|
Сумма |
|
31 |
435,72 |
|
|
Приведем еще один пример. Требуется определитьосевую силу при сверлении в зависимости от скорости резания и подачи, при обработке различных обраба тываемых материалов. Используются пять скоростей и три значения подачи для двух типов материала,, причем для каждого сочетания условий снимаются по два показания. Порядок проведения эксперимента берется полностью рандомизированным, уровни всех факторов фиксируются. Ниже, в таблице 40, записаны данные для осевой силы после вычитания 24 из каж дого показания.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
40 |
|
|||
Обрабаты |
|
|
П |
о д |
а |
ч |
а |
|
в |
мм/ об |
|
|
|
|
||
|
0,004 |
|
|
0,008 |
|
|
|
0,014 |
|
|||||||
ваемый |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
_____с к о р о с т ь |
р е з а н и я |
в лг/мии |
|
|||||||||||||
материал |
|
|||||||||||||||
100|220.475|715|870|100|220|475|715|870|100|220 475 715|870' |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||
Сталь 45 |
- 3 - 4 |
0 - 2 - 2 |
3 2 |
|
1 0 —1 |
7 6 |
4 2 |
8 |
||||||||
- 1 |
0 - 1 |
- 1 |
—1 |
- 1 |
- 4 |
- 2 |
0 |
- 2 —1 - 2 - 2 —5 - 4 |
||||||||
|
- 4 - 4 - 1 - 3 - 3 |
2 - 2 - 1 |
|
0 - 3 |
6 |
4 |
2 - 3 |
4 |
||||||||
Сталь У8А |
- 1 - 3 |
1 —1 |
0 |
1 |
2 |
|
3 0 |
2 |
6 9 8 |
5 И |
||||||
1 |
0 |
0 - 1 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
1 |
2 |
2 - 6 |
- 2 |
—I —7 |
||||
|
0 - 3 |
1 - 2 |
0 |
1 |
2 |
|
5 1 |
4 8 3 G 4 4 |
||||||||
Сумма |
- 4 |
- 7 |
0 - 5 |
- 3 |
3 |
0 |
|
4 |
1 |
1 |
14 |
7 |
8 |
1 |
8 |
|
В этой задаче рассматривается факторный экспе римент типа 2x3X5 = 30 с двумя наблюдениями в
каждом эксперименте.
^ Для дисперсионного анализа сначала найдем об щую сумму квадратов, как и в предыдущем примере.
SSo6ul=755---- ~ = 743.
Потом можно получить сумму квадратов, соот ветствующей подаче:
с с |
( - 4 - 7 + 0 - 5 - 3 ) 2+ (3 + 0 + 4 + 1 + 1 )2+ (1 4 + 7 + 8 + 1 + 8 )2 |
П°д |
20 |
282 = 81,3.
60
Сумма квадратов, соответствующей скорости ре зания, ; равна:
о с |
__ (-4 + 3 + 1 4 )2+ (-7 + 0 + 7 )2 + (0 + 4 + 8 )2+ < -5+ 1+ 1)2+ |
||
°°скр<?з— |
^ |
|
|
|
+ ( - 3 + l + 8 J ^ ____ » L |
e i 6(8. |
|
|
12 |
60 |
|
|
Сумма квадратов |
для марки |
материалов опреде |
ляется: |
|
|
|
|
|
-----тг~ — 26,7. |
|
|
|
30 |
60 |
Теперь гможно определить сумму квадратов для' взаимодействий:
SStxB == ( - 4 ) 2+ ( - 7 ) 2-Ю2- К - 5 ) 2+ ( - 3 ) 2+ 3 2+02+4,2+ 1 2+ 1 Ч :
гхв
4-I42_fr_72_J.82_f.l2,_}.83 |
30 |
282 |
|
30 |
б0~"- —81,3-16,8 = 94,5. |
SSTXC = J - 4-4-l-3-3)2+(2-2-I+0-3)2+
10
+ (6 + 4 + 2 -3 + 4 )2 + (Q -3 + I -~ 2 + 0 )4 -(l+ 2 + 5 + l+ 4 )2+
10
+ (8+3+6+4+4)2 |
282 |
Q 1 0 ос-т |
1 |
io--------------- |
_ - 8 1 ,3 - 2 6 ,7 = 1 . |
||
+ (_ 3 - 3 + 4 ) з + ( 0 + 1 + 8 ) з + ( - 3 + 2 + 3 ) 2 + ( 1 + 5 + 6 )з + ( -2 + 1 + 4 ) * + 30
|
+ |
(0+ 4+4)з |
28з |
16,8—26,7 — 44,5. |
|
|
30 |
60 |
|
|
|
|
||
SS т х в х с = |
1 - 4> "-Н -4) Н ( — 1)2+ ( - 3 ) Ч - ( — 3)2+ 2 з-н - 2 ) з+ |
|||
|
|
* |
|
2 |
|
|
|
|
|
+ |
(~ 1 )3+ 0 + ( -3 )з+ б з+ 4 * + 2 з+ ( -3)»+ 4Н -( - 4 )з + ( - 7 )з + 0 + |
|||
|
|
|
|
2 |
+ |
( - 5)3-f (-3)3 -^ 33+ 0 + 4 3+ 12+ 124 .14 4 -74 -8 3 -1-134 .8 3 _ 28з |
|||
|
|
2 |
|
60 |
— 81,3—26,7—16,8—94.5—1—44,5 = 47,2.
Наконец, можно получить сумму квадратов оши
бок:
55ош= 743—81,3—26,7-16,8-94,5—1—47,2—44,5=431.
Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 41.
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 41. |
|
|
Источник изменчивости |
Степень |
Сумма |
Средний |
||
|
свободы |
квадратов |
квадрат |
|||
|
|
|
|
|||
Подача |
(74 |
|
1 |
81,3 |
81,3 |
|
Скорость резания (В\) |
1 |
16,8 |
16,8 |
|||
Т х В |
взаимодействие (7\Bjj) |
I |
94,5 |
94,5 |
||
Марка обрабатываемых материа |
|
26,7 |
26,7 |
|||
лов (Ск) |
(T’Cjk) |
1 |
||||
Т х С |
взаимодействие |
1 |
I |
1 |
||
В х С |
взаимодействие |
(ЯСцО |
1 |
44,5 |
44,5 |
|
Т х В х С |
взаимодействие ( Т В С ц к) |
Т |
47,2 |
47,2 |
||
Ошибка |
Em(|Jk, |
|
52 |
431 |
8,29 |
|
Сумма |
|
|
59 |
743 |
|
|
Когда проверяются гипотезы об отсутствии влия ния подачи, марки материалов, скорости резания, а также эффектов взаимодействия этих факторов, все наблюденные средние квадраты должны быть сопо ставлены со средним квадратом ошибки, равным 8,29
•с 52 степенями свободы. Подходящей статистикой для проверки гипотез будет F—статистика с 1 и 52 сте пенями свободы.
Сравнение каждого среднего квадрата со сред ним квадратом ошибки показывает, что молено от вергнуть все гипотезы. Это означает, что все факторы влияют на силу резания.
§2. Факторный эксперимент типа 2°
А.Эксперимент типа 22
В§ 1 данной главы были рассмотрены факторные эксперименты и дан общий метод их анализа. Здесь рассматривается несколько специальных случаев, ко
торые представляют значительный интерес. Сущест вует, например, случай, который включает п факто ров, причем каждый фактор устанавливается только на двух уровнях. Последние будут рассматриваться как фиксированные. Это связано с тем, что два уровня выбираются не случайным образом; а в точках, близ ких к граничным значениям. Двумя уровнями могут быть, например, два граничные значения микротвер дости поверхности, два граничные значения плотности, дислокаций (средние значения) в прирездовом слое! ■стружки‘и т. д.
Самым простым является факторный эксперименттипа 2x2 = 2, т. е. случай, когда два изучаемых фак
тора устанавливаются на |
двух |
уровнях. |
Обращаясь^ |
||
к примеру, изложенному |
в |
§ |
1, можно |
сказать, что! |
|
факторы—скорость резания |
и |
|
подача, должны уста-; |
||
навливаться на двух уровнях (скорость 50 и 100 л*/мин,| подача—0,07 и 0,15 мм/об), чтобы получить фактора ный эксперимент типа 22. Это дает четыре варианта! испытаний, приведенных на фиг. 8.
С целью обобщения постановки задачи рассмат-' ривается скорость как фактор А, а подача—как фак-*
тор В. Модель |
в этом случае для полностью рандов |
|
мизированного |
плана имеет вид: |
|
Хц = |
+ Л -f- В] + ABij + гц, |
(42) |
где / = 1,2 у = 1,2.
Из фиг. 8 видно, что в случае установления ско рости (Л) и подачи (В) на нижнем уровне сила ре-
86
фактор д
Фиг. 10.
зания принимает значение 55 кг. Это можно обозна чить-следующим образом:
Л0б0=55 кг, A ^ Q— 50 кг, А0Вг=:75 кг, Л1£ 1 = 65 /сг..
С другой стороны, в связи с тем, что эксперимент типа 22 очень часто встречается в технической лите ратуре, многие авторы ввели другие обозначения для этих вариантов испытаний. В этих, новых по существу,, обозначениях индексы при АВ ставятся в показателе
при строчных буквах |
a b . В случае если оба фактора |
на нижнем уровне, |
а °Ь °= 1 . Аналогично axbQ^ a ^ |
сРЬг= Ь, сАЬг= аЬ. Эти величины представляются-как отклики эксперимента.
Варианты испытаний и обозначения представлены
на фиг. |
10. |
|
|
|
На графике нижний и верхний уровни факторов |
||||
А и |
В |
представлены |
как |
0 и 1 соответственно на |
осях |
А |
и В, причем |
при |
пересечении этих уровней |
в плоскости фигуры получится четыре комбинации
условий. |
Например, |
точка 00— (1) представляет оба |
фактора |
на нижних |
уровнях, точка 10 = а, 01=6,. |
l \ = ab. |
План эксперимента, можно представить в таб |
|
лице 42. |
|
|
№ |
V |
5 |
Обозначения |
|
пп |
||||
|
|
1 |
||
|
|
|
||
1 |
50 • |
0,07 |
00 |
|
2 |
100 |
0,07 |
.10 |
|
3 |
50 |
0,15 |
01 |
|
4 |
100 |
0,15 |
11 |
Если включается еще третий фактор (допустим, тлубина резания), он помещается в конце последова тельности, после чего умножается на все предшест вующие члены. В случае, есуш фактор С (глубина
резания) |
также устанавливается |
на |
двух уровнях |
(£— 1; 2 мь), то вариантами испытаний |
будут: (1), а, |
||
b, аЬ, с, |
ас, be, ahc, причем они |
представляют собой |
|
вершины куба. Получаем факторный эксперимент типа 23.
Обращаясь к фиг. 10, видим, что эффект фактора определяется как изменение отклика при изменении уровня этого фактора. Если фактор В установлен на нижнем уровне, влияние А равно (50—55) или а—(1). Влияние А при верхнем уровне В будет (65—75) или (ab—b). Следовательно, средний эффект фактора А
.равен:
А |
нли а - |
, |
(43) |
|
2 |
2 |
|
Как видно, когда А в испытании находится на верхнем уровне (1Л=100 м/шн), коэффициенты в вы ражении для эффекта фактора А равны (-j-l), а когда А находится на нижнем уровне (К=50 .м/мин)—(—1). Для доказательства возьмем
А — |
^ или 2А — — (l)-J-a — Ь~\-аЬ. |
Здесь а и ab соответствуют уровню 1^=100 лг/мин (верхний уровень), а (— 1) и —b соответствуют уровню У = 50 м/мин (нижний уровень). Аналогично можно получить средний эффект для фактора В.
Вт. М } У + « - 1 ' или |
(44) |
Здесь (1) соответствуют нижнему уровню фак тора Л (К=50 л//мин), a (ab—а)—верхнему уровню А
(V=*100 м/мин).
В .тех испытаниях, когда фактор В находится на
нижнем уровне, коэффициент |
будет |
(—1 ), а когда |
||
на верхнем уровне —(+1). С |
целью |
доказательства |
||
возьмем выражение |
|
|
|
|
в |
[ - ( 1 )-.а+Н-д*] |
|
(4 5 ) |
|
Здесь [—(1)—а] соответствует нижнему уровню |
||||
•фактора В (S =0,07 |
мм/об), |
а |
(b-\-ab) — верхнему |
|
уровню фактора # ( S —0,15 мм/об). |
|
|||
Когда фактор В |
установлен |
на верхнем уровне, |
||
эффект будет ab—b, а когда па нижнем — [а—(1 )]. Если аЬ—Ьфа—(1) (т. е. эффекты факторов А и
В различны), то между А и В существует взаимодей ствие. Последнее можно записать в следующем виде:
.4£» = -’- |[ ( a & - & ) ] - [ « - ( l) ] ] . |
|
или |
(46) |
АВ = -j- [(1) — а — Ь+ ab). |
|
После определения всех эффектов можно запи |
|
сать: |
|
2А = —•(I) —J—л — b —J—ab, |
|
2В = — (1) — а + Ь + аЬ, |
,(47) |
24B = + ( i ) - a — b-{-ab. |
|
Составим таблицу коэффициентов для эффектов факторного эксперимента типа 22 (таблица 43)*
|
Т а б л и ц а |
43 |
Варианты Испытаний |
Э ф ф е к 1• ы |
|
|
|
|
А |
В |
А В |
(1) |
__ |
|
— |
|
|
а |
— |
|
Ь |
+ |
— |
a b |
+ |
+ |
Между прочим, взаимодействие между факторами
А и В |
можно подсчитать иначе. Эффект фактора В |
|||
(когда |
А установлен |
на верхнем уровне), |
равном |
|
аЬ —а, сравнивается |
с эффектом фактора В, равном |
|||
b — (1) |
(когда А установлен на нижнем уровне). Их |
|||
полуразность |
равна: |
|
|
|
|
ЛВ = |
у ( [ ( а & - а ) ] - [ * - < 1 )]) = |
|
|
|
= |
у Н -< 1 ) - а - Ь + аЬ), |
(48) |
|
что совпадает с выражением (46), полученным выше. Теперь можно вычислить эффекты тех значений
откликов, которые приведены на фиг. 1 0 .
А = |
— 5+50-75+65 |
в _ 15 |
|
2 |
|
5 = |
- 5 5 — 50-1-75+65 |
= 35 кг |
|
2 |
|
4 |
5 5 -5 0 -7 5 + 6 5 = —5 кг. |
|
“ |
2 |
|
Ввиду того, что 2А, 2В, 2АВ являются контраста ми, сумма квадратов, соответствующая контрасту, определяется IU-
со |
(контраст)2 |
|
|
|
55С1П= |
—— — -—, следовательно, |
|||
|
fiCjm |
|
|
|
55а = |
(2/1)з |
^ |
(2 (—15)]2 |
, _ 0р5 |
гТС2im |
|
1 -2з |
|
|
|
|
|
||
55в= |
(2В)з |
_ |
|2(35)р _ _ 10о5 |
|
|
rlChm |
|
1-2* |
|
55ди = |
(2+В)2 |
_ |
[2(—5)]з |
_ _ o g |
|
г2Сз|т |
|
Ь22 |
|
где г—число наблюдений в каждой ячейке (для дан ного случая г — 1 ), варианты испытаний или план 2 2.
550бщ= 225 +1225 + 25 *= 1475.
Поскольку каждый эффект и взаимодействие имеют только одну степень свободы и ошибку нельзя
90