книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм
.pdfЗначение индукции магнитного поля прямого провода мы знаем:
2пх |
^ |
2п ) |
|
Распишем уравнение (1) в проекциях на оси X и Z : |
|
||
dvx |
|
Р |
|
т1 Г - « |
? |
(2) |
|
dv |
|
Р |
|
|
|
||
m~ ^ r =qv*~- |
|
||
dt |
|
х |
|
Совместное интегрирование этих уравнений позволит нам найти, как x(t) и z(t), так и вид траектории x(z) . Нам же нужно найти только точку максимального удаления элек трона от провода. В этой точке х = и vz = v0 (магнитное
поле работы не совершает!). Поэтому нам достаточно только второго уравнения в (2), которое можно представить в виде
mdvz - q$— .
Проинтегрируем обе его части по х от а до xmax и со ответственно по vz от нуля до v0:
mv0= 9p in ^ i..
а
После потенцирования находим точку наибольшего уда ления
=аехр г2птуЛ
кРоЯ1 )
4-3,6. Пролет электрона через конденсатор. Плоский конденсатор помещен в однородное магнитное поле с индук
цией В , которое параллельно пластинам. Внутри конденса тора есть также электрическое поле, перпендикулярное маг нитному, с напряженностью Е . Перпендикулярно этим по лям на равном расстоянии от пластин конденсатора влетают электроны, ускоренные напряжением U При каком уско ряющем напряжении U электроны будут проходить через конденсатор, если его длина много больше расстояния между пластинами Л? Считать электрическое поле слабым по от ношению к магнитному ( Е « сВ, с - скорость света).
Заложенное в задаче условие Е « сВ означает, что мы имеем право использовать формулы нерелятивистской дина мики. Для ответа на поставленный в задаче вопрос нам необ ходимо, прежде всего, разобраться в характере движения электронов. В отсутствие электрического поля траекторией движения была бы окружность радиусом R -m vlq B ( v -
скорость входа электрона в конденсатор). При наложении электрического поля скорость электрона в разных точках бу дет разная. При его перемеще нии вверх (рис. 4.29) она ниже, чем при перемещении вниз за счет совершения электрическим
полем |
работы. Кроме того, |
в точке |
А силы электрическо |
го и магнитного поля действу ют на электрон в одном направ лении, а в точке В - в разных направлениях. Оба этих об
стоятельства приводят к тому, что радиус кривизны г траек тории в верхней ее части уменьшается, а в нижней увеличи вается. В результате окружность переходит в незамкнутую кривую, двигаясь по которой электрон медленно перемеща ется вправо, совершая дрейфовое движение.
Попытаемся теперь описать вид траектории. Для этого обратимся ко второму закону Ньютона:
dv
т— = qE +q[vB~^. dt
В проекциях на оси X и Y это уравнение распадается на два уравнения:
dv
т— - = -ev В,
dt у
( 1)
dv,
т— - = evB - еЕ. dt
Опираясь на наш качественный анализ движения элек трона, предположим, что проекции его скорости имеют вид
vx =b +acos(Ot, v = a sincor, |
(2) |
где величины а,b и со можно определить после подстанов ки (2) в (1) с учетом начального условия уДО) = v0 ( v0 - ско рость входа электрона в конденсатор). Проделав это, находим
ЯВ
( 0 |
= - |
|
(3) |
|
т |
|
|
a=vQ---- , |
b = — . |
||
0 |
В |
|
В |
Таким образом, проекции скорости электрона изменя |
|||
ются как |
|
|
|
Vx вч 0 в |
coscor, |
||
|
л |
sincor. |
|
v ,= \V o -~ |
|||
После интегрирования с учетом начальных условий х(0) = 0, у(0) = 0 находим уравнение траектории в парамет рическом виде:
x(t) =—t + — |
- * l ssinoM, |
|
В со |
B ) |
|
|
ЕЛ, |
% |
V°~~B J ( 1_cos' |
|
|
y (t)= - |
|
|
где значение со определяется выражением (3).
Заметим, что этот же результат можно получить и иначе, перейдя в систему отсчета, движущуюся вправо со скоро стью v = E /B . В данной системе отсчета исчезает электри ческое поле и остается только магнитное поле (это достаточ но подробно мы рассматривали во введении к данному пара графу). Теперь мы готовы к ответу на поставленный в задаче вопрос. Один ответ очевиден. Если скорость электрона v0 = Е /В , то траектория является прямой линией, т.е. элек трон движется равномерно и прямолинейно и без труда пройдет через конденсатор. Но есть и другой вариант. Даже двигаясь по незамкнутой кривой (см. рис. 4.29), электрон пройдет конденсатор, если выполнить условие
Е_ со Уо В
Оно означает, что удвоенный радиус окружности дол жен быть меньше или равен полуширине конденсатора. Знак модуля здесь поставлен из-за того, что скорость электрона v0 может быть как больше Е /В , так и меньше Е /В . Таким об разом, двигаясь в интервале скоростей
Е |
hBe |
^ hBe |
Е |
---------- < vn < ----- + — , |
|||
В |
4т |
4т |
В |
электрон не заденет пластины конденсатора, каким бы длин ным он ни был. Тогда для ускоряющего напряжения U должно быть выполнено условие
m f E _ hBe V |
^„ т тп (Е |
+ |
hВеЛ |
|
2e \B Am J |
< и < — |
В |
Ат у |
|
2е |
|
|||
43.7. Магнетрон. Магнетрон - это эвакуированный прибор, состоящий из нити накала радиусом а и коаксиаль ного цилиндрического анода радиусом Ъ, которые находятся в однородном магнитном поле, параллельном нити. Между нитью и анодом приложена ускоряющая разность потенциа лов U Найти значение индукции магнитного поля, при ко тором электроны, вылетающие с нулевой начальной скоро стью из нити, будут достигать анода.
В отсутствие магнитного поля электроны в любом случае будут достигать анода, так как их движе ние будет прямолинейным. Включе ние магнитного поля приводит к ис кривлению траектории, и при неко тором граничном значении индукции магнитного поля В электроны бу дут подходить к аноду со скоростью,
касательной к окружности анода |
Рис. 4.30 |
|
(рис. 4.30). Для нахождения этого поля нам, естественно, нужно обратиться к уравнениям динамики движения элек
трона. Это либо второй закон Ньютона f =F J , либо урав-
нение моментов |
r dL |
' |
. Как будет видно из дальнейшего, |
■= М |
|
||
|
dt |
|
|
более удобным является уравнение моментов, которое в про екции на ось Z , параллельную вектору В , имеет вид
dL. ■= Мг. dt
Здесь Lz - проекция момента импульса L =\rp\ ; Mz - про
екция момента силы М = [ г ^ ] . Так как на электрон действу
ет сила Лоренца F -д Ё + |
то |
|
|
М, =[гр]_ = «[*6], +«[*'[»В]]< |
|||
Первое слагаемое, очевидно, равно нулю, так как векто |
|||
ры г и £ коллинеарные. Раскроем теперь второе слагаемое, |
|||
являющееся двойным векторным произведением: |
|||
й [ 7 [ Щ \ г = 9(v(rfi)- £ (rv)| = |
|||
|
|
„ Ы 2 |
|
|
=-qB -----г2 |
||
|
4 |
|
2 dt |
Таким образом, уравнение (1) приобретает вид |
|||
dL |
R l d |
|
2 |
— - = -qB ---- г |
|
||
dt |
2 dt |
|
|
Осталось только проинтегрировать по траектории дви жения, помня, что в начале движения Lz =0, а при касании электроном анода (т.е. при г =b) Lz =bmv. В итоге получа ем
bm v= ^-[b2- а2)
(мы учли, что q = -e). Подставляя сюда значение скорости
/2eU
v= .l----- , находим окончательно величину индукции маг-
V т
нитного поля, при которой электроны еще будут достигать анода:
b l8mU В< b2 - а2 Т ~ 7 ~ '
43.8. Циклотрон. Заряженные частицы ускоряют так, что максимальный радиус орбиты R. Частота генератора циклотрона v , эффективное напряжение между дуантами U Пренебрегая зазором между дуантами и начальной энергией частиц, найти полное время ускорения частиц и приближен ное значение их пути за весь цикл ускорения.
Принцип работы циклотрона, как ускорителя заряженных частиц (рис. 4.31), основан на независимо сти периода обращения частицы в магнитном поле от ее скорости. В задаче 4.3.4 нами были получены выражения для радиуса окружно сти г , по которой двигаются час тицы, и периода обращения Т (для нерелятивистских скоростей):
mv |
т -2 топ |
~qB' |
(1) |
~~qB |
Так как на каждом обороте за время Т частицы приоб ретают энергию 2qU , то их полное время разгона t до ок
ружности радиусом R можно найти как |
|
|
|
t =T- W |
(2) |
|
2qU ’ |
|
где |
W =m \r/2 - кинетическая энергия частиц, движущихся |
|
по окружности радиусом R. Подставляя в (2) значения R |
||
и Т из (1), получаем |
|
|
|
nR'B |
(3) |
|
t = ------- |
|
|
2U |
|
|
Нам неизвестно значение индукции магнитного поля В , |
|
но |
задана частота генератора циклотрона v = l/T, |
которая |
в силу соотношений (1) связана с В |
|
|
2ltm\
Я
Используя эту связь, находим время ускорения:
n2mvR2 t= ---------- .
qU
Несколько сложнее дело обстоит с расчетом полного пу ти S , так как частицы движутся по окружности радиусом г„, который с каждым оборотом увеличивается:
5 = Х 2яг„
Здесь суммирование проводится от л = 1 до п = N - полное число оборотов. Значение N можно найти, умножая полное время t на частоту v :
„ ™R2B N = -------- .
2U
Осталось найти закон изменения радиуса гл :
qB '
На каждом последующем обороте частицы приобретают дополнительную энергию 2qU , поэтому значение скорости на л -м обороте
Тогда
„ _ 2дш . \qU ^ qB \ т
Так как N велико, то сумму по п можно заменить инте гралом
ч 3/2
m/R2B 2U /
с учетом (4) окончательно получаем
4n3mv2R3
3qU
43.9. Бетатрон. В индукционном ускорителе электро нов - бетатроне разгон электронов совершается вихревым электрическим полем. Такой ускоритель подобен трансфор матору, у которого роль вторичной обмотки из одного витка играет пу чок электронов. Этот ускоритель состоит из тороидальной эвакуиро ванной камеры, расположенной между полюсами электромагнита специальной формы (рис. 4.32). Из меняющееся со временем магнит ное поле, созданное переменным током обмотки электромагнита, ро
ждает вихревое электрическое поле. Это поле ускоряет элек троны и одновременно удерживает их на равновесной круго вой орбите. За время нарастания магнитного поля (порядка нескольких миллисекунд) электроны приобретают энергию порядка 400 МэВ и их скорость приближается к скорости света. Но для движения электронов по равновес ной круговой орбите необходимо, чтобы индукция магнитно го поля на этой орбите В0 была равна половине среднего по
площади орбиты значения магнитного поля (2?), т.е. В0 =(в )/2 . Покажем это.
Значение индукции магнитного поля в заданной точ ке В0 можно определить из второго закона Ньютона, так как