книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм

ровать уравнения движения в аналитическом виде удается не всегда. Но если магнитное поле сильное (по сравнению с электрическим), а его изменения в пространстве и времени достаточно медленные, то ситуация значительно упрощается. Ну и наконец, если поля стационарные и однородные, то за­ дача, как правило, становится совсем простой. В этом случае иногда бывает удобно перейти в другую инерциальную сис­ тему отсчета, в которой можно исключить электрическое поле и исследовать движение частицы только в магнитном поле. Связано это с тем, что при переходе от одной системы отсчета к другой поля Е и В определенным образом преоб­

А'-системы со скоростью v0, то в ней исчезает магнитная сила и остается только кулоновская сила F' =qE. Так как при v0 « с сила инвариантна (F ' = F ) , то приходим к первой из формул в (1). Кроме того, для нерелятивистских частиц мож­ но считать, что В' = В .

Рассмотрим для примера движение заряда в скрещенных однородных и стационарных электрическом и магнитном по­ лях. Пусть в момент времени / = О частица с удельным заря­

дом qlm находится в начале коорди­ нат. В это время включаются взаимно

тегрировать записанный в проекциях второй закон Ньютона

m ^ = qE + q\yB \.

Однако это достаточно утомительная задача, поэтому попробуем перейти в такую К' -систему отсчета, в которой будет наблюдаться только магнитное поле. Из преобразова­ ний (1) следует, что электрическое поле исчезает в системе отсчета, движущейся со скоростью v0, удовлетворяющей со­

отношению Ё = - ['v0f ij . Отсюда видно, что движение части­ цы будет наиболее простым, если вектор v0 направить вдоль оси X Итак, если перейти в систему отсчета, движущуюся со скоростью v0 =E/B в направлении оси X , поле Ё' об­ ращается в нуль, а так как v0 « с , то магнитное поле остает­ ся прежним.

Вновой системе отсчета частица будет двигаться только

вмагнитном поле перпендикулярно вектору В, т.е. по ок­ ружности радиусом R , который можно найти из уравнения движения

Таким образом, частица движется равномерно со скоро­ стью v0 по окружности в К' -системе, которая перемещается

валось нами ранее (см. часть 1, подразд. 3.1) и его можно описать как движение точки обода колеса радиусом R , катящегося без про­ скальзывания с угловой скоростью (0= v0/R =qB/m (рис. 4.24, пунк­ тирной линией отражена траекто­

рия частицы). Координаты частицы q в момент времени t

находятся как

x(t) = v0t - R sin (i)t =а ( ш - sin ш ),

(2)

y(t) = R-Rcoscat = a(l-coscof).

Здесь a -m E /q B 2, а значение оi =qB/m называется цикло­ тронной частотой. Уравнения (2) описывает так называемый электрический дрейф частицы, а скорость v0 =[^£flj/fl2 -

скорость дрейфа.

43.1. Преломление электронного пучка. Электроны, движущиеся со скоростью V ,, переходят из области электри­

ческого поля с потенциалом (р, в область с потенциалом <р2. Под каким углом к нормали к границе раздела областей будет двигаться пучок, если он подходит к ней под углом a ?

Выберем направление норма­ ли к границе раздела за ось X (рис. 4.25). Преломление электрон­ ного пучка происходит из-за того,

что в направлении, перпендикулярном границе раздела об­ ластей с разными потенциалами, т.е. вдоль оси X действует сила. Эта сила изменяет только составляющую скорости vx,

где величины, помеченные индексом 1, относятся к первой области, а индексом 2 - ко второй области. Так как Vj^, = v2y,

то приходим к более простому равенству

Из рис. 4.25 следует, что tgP = v2y/ v2x. Найдем v2x из (1):

2^(ф2 ~<Pi) V!' = 4 1+' « г ,

Тогда

tgP =

mvfx

И так как v2 / vu = tg a , a v,x = vcosa, получаем

tgP = tga 1+ 2g((p2 —<Pi) mv2 cos2 a

4.3.2. Угловой разброс электронов. Узкий пучок элек­ тронов, ускоренный напряжением U , входит в плоский кон­ денсатор параллельно его пластинам, расстояние между ко­ торыми d много меньше его длины (рис. 4.26). Каков мак­ симальный угловой разброс электронов, если на пластины подается переменное напряжение U0sinсо/ ?

Таким образом, необходимо интегрировать на самом деле уравнение

mvy = еЕ0coscof

в интервале времени от до . Именно на этом уча­

стке электроны испытывают максимальное возмущение. Проделав это, получаем

Тогда максимальный угловой разброс электронов с уче­ том формул (1) и (2) можно найти как

а = ± a rc tg ГгГ(/о-sin rml т

\m U dm 1 2)12eU J

4.3.3. Расширение электронного пучка. Бесконечно длинная щель шириной d выделяет плоский пучок электро­ нов с энергией W (рис. 4.27). На каком расстоянии х от ще­ ли ширина электронного пучка удвоится из-за кулоновского расталкивания электронов, если электронный ток, приходя­ щийся на единицу длины щели, ра­ вен /?

Будем полагать, что пучок расши­ ряется достаточно медленно, так что продольное электрическое поле Ех

можно не учитывать. Запишем уравне­ ние движения в направлении оси Y для граничных электронов (на краю пучка за щелью):

где Е - напряженность электрического поля на краю пучка. Для ее определения выделим тонкий слой электронного пуч­

дящийся пучок нерелятивистских заряженных частиц, уско­

Увеличивая последовательно значение поля до В = В2,

мы снова приходим к фокусировке, но пучок уже сделает на один оборот больше, т.е.

Тогда с учетом v=y]2qU 1т для удельного заряда по­

лучаем

д _ 8п2Ц

т~ 1Ц в ,-в ,)г '

43.5.Удаление электрона от провода. С поверхности цилиндрического провода радиусом а , по которому течет постоянный ток / , вылетает электрон с начальной скоростью v0, перпендикулярно поверхности провода. На какое макси­

мальное расстояние удалится электрон от оси провода, преж­ де чем повернуть обратно под действием магнитного поля тока?

Выберем систему координат, как показано на рис. 4.28. Очевидно, дви­ жение электрона происходит в плоско­ сти XZ и описывается вторым законом

Z Ньютона