книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм

ношений (1)-(3). Целесообразность применения того или иного способа зависит от конкретной постановки задачи и от характера ее симметрии.

Для неоднородного участка цепи, на котором кроме ку­ лоновских сил действуют и сторонние силы, закон Ома запи­ сывают в виде

//? = ф1-cp2 +W,

где <р,-(р2=Д(р - разность потенциалов, % - электродви­

жущая сила (ЭДС).

Расчет разветвленных цепей значительно упрощается, если использовать правила Кирхгофа.

Первое правило: £ /* =0 - алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Это уравнение является следствием закона сохранения заряда.

Второе правило отражает закон сохранения энергии применительно к разветвленным цепям: = X ^ - а л ­

гебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротив­ ление равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре. При применении этих правил необходимо следить, чтобы ни одно из уравнений не являлось следствием других.

2.1.1. Опыт Толмена и Стюарта. Для определения удельного заряда носителей тока в металлах был проделан следующий опыт. Катушка радиуса г , содержащая I метров тонкого медного провода с полным сопротивлением R , при­ водилась во вращение с угловой скоростью to вокруг своей

оси. Затем катушка резко тормозилась, и с помощью балли­ стического гальванометра, подключенного через скользящие контакты, измерялся заряд q , протекавший в цепи за время торможения. Найти удельный заряд носителей тока в меди в условиях опыта при г = 25 см, / = 500 м, со = 300 рад/с,

R =21 Ом и g = 10нКл (удельный заряд равен отношению за­

ряда носителя тока е к его массе т ).

Будем полагать, что носители тока в металлах достаточ­ но свободны, и при торможении проводника с ускорением а они приобретают относительно проводника ускорение - а . Такое же ускорение им можно сообщить в неподвижном проводнике длиной I , если создать в нем электрическое поле

тqR

После подстановки числовых данных получаем e lm = = 1,8 10й Кл/кг, что соответствует удельному заряду элек­ трона. Наше первоначальное предположение о том, что носи­ тели тока в металлах (электроны) свободны, было подтвер­ ждено экспериментально. Существование в металлах свобод­

ных электронов является чисто квантовым эффектом и связа­ но с тем, что при образовании кристаллической решетки от атомов отщепляются слабее всего связанные (валентные) электроны, которые становятся «коллективной» собственно­ стью всего металла.

2.1.2. Соединение проводников.

1. Найти сопротивление проволочного каркаса, имею­ щего форму куба (рис. 2.1), при включении его между точка­ ми 1-7. Сопротивление каждого ребра каркаса равно R .

и токов в схеме. Значит, и ее сопротивление останется тем же. То же самое можно сказать и о точках 3, 6, 8. Но теперь мы получаем уже знакомое нам соединение (рис. 2.2) и его сопротивление

Найдите самостоятельно сопротивление каркаса между точками 1-4 и 1-3.

Указание. Учесть, что точки одинакового потенциала можно не только соединять, но и разъединять. (Ответ:

ти ее сопротивление между точка­ ми А и В.

Рис. 2.3

В данном случае разумно вос­ пользоваться тем, что цепочка образована бесконечным по­ вторением одно и того же звена, т.е. обладает трансляцион­ ной симметрией. И если это звено удалить, то оставшаяся часть (после вертикальной штриховой линии) ничем не будет

3. Имеется бесконечная сетка, состоящая из ячеек в виде правильных шестиугольников (рис. 2.5). Определить ее со­ противление между узлами А и В , ес­ ли сопротивление каждой стороны

ячейки равно R^.

Воспользоваться тем же приемом, что и в предыдущем пункте, нам не удастся, так как удаление любого эле­ мента бесконечной двухмерной сетки

нарушает трансляционную симметрию. Поэтому воспользу­ емся законом Ома, который фактически и является определе­ нием сопротивления проводника. Для этого подключим мыс­ ленно к точкам А и В напряжение U Тогда в подводящих проводах потечет ток / =U / R , где R - исходное сопротив­ ление всей сетки. Этот ток в силу симметрии распределяется одинаково по трем направлениям. Значит, по проводнику АВ течет «прямой» ток И З. Но через данный проводник к уз­ лу В течет не только «прямой» ток от узла А . Сюда же по­ ступают токи и от всех остальных элементов сетки. Опять же в силу симметрии токи, поступающие к узлу В от всех уда­ ленных элементов, должны быть одинаковыми во всех на­

Откуда сразу находим

4. Фигура, отображенная на рис. 2.6, сделана из прово­ локи постоянного сечения. Число вписанных друг в друга правильных треугольников очень велико. Сопротивление

стороны самого большого треугольника /?,. Найти сопротив­

ление фигуры между точками А и В .

£Один из вариантов решения этой за-

Адачи мог быть следующим. Вначале Ha-

пользуемся симметрией схемы и тем, что каждый дополни­ тельно вписанный треугольник является подобным преды­ дущему, причем его сторона каждый раз уменьшается в 2 ра­ за. Пусть все содержимое внутри треугольника А'В'С' имеет

между точками А' и В' сопротивление Rо. Это сопротивле­

ние нам не известно, но, очевидно, что оно в 2 раза меньше сопротивления исходного треугольника АВС со всем его со­ держимым (по своим линейным размерам треугольник АВС

а значение Л, задано. Осталось только найти сопротивление двух вписанных друг в друга треугольников. Так как в силу симметрии потенциалы точек С,С' и С" одинаковы, то эти точки можно объединить в одну. И тогда схема, отображен­ ная на рис. 2.8, может быть представлена как последователь­ ное соединение двух одинаковых участков (рис. 2.9). Из

рис. 2.9, используя правила расчета сопротивления парал­ лельного и последовательного соединений проводников, на­ ходим

Учитывая, что R ^ - 2R$ = 2RaC и ft = 3RQ/2 , для неиз­ вестного сопротивления R^ получаем квадратное уравнение

3 ^ 2 + ft,J^-ft,2/2 = 0.

Его решение имеет вид RQ = R ^ J l - l j / 6 . Таким обра­ зом, окончательно получаем

RAB=2R0 = ^ - ( J j - l ) .

2.13. Сопротивление цилиндрической банки. К цен­ трам противоположных торцов тонкостенной цилиндриче­ ской банки диаметром D и высотой h припаяны провода диаметром d (рис. 2.10). Определить сопротивление банки, если она сделана из фольги толщиной 5 « d с удельным со­ противлением р.

Сопротивление проводников, во­ обще говоря, зависит не только от их материала и геометрии, но и от харак­ тера пространственного распределе­ ния в них токов. Поэтому прежде чем находить сопротивление, необходимо выяснить, каково пространственное распределение токов. Для проводника в виде тонкой проволоки этот вопрос не возникает. В нашем же случае си­ туация не столь простая. Спасает то, что по условию толщина фольги го­

раздо меньше других размеров проводника. Это означает, что по основанию банки токи направлены радиально, а по ци­ линдрической образующей банки токи текут вдоль оси бан­ ки. Таким образом, полное сопротивление можно предста­ вить в виде

« - 2 ЙОСН + «бок »

где Лб,,,, - сопротивление боковой образующей банки; Яжн - сопротивление одного основания. Для расчета /?бС1К в соот­ ветствии с формулой R =pl/S можно сразу записать

h

«бок —Р nDb

Сложнее дело обстоит с сопротивлением оснований. Ра­ диальное течение тока нарушается в области перехода от подводящих проводов к основанию, но в силу условия b « d плотность тока здесь мала, и сопротивлением этой области можно пренебречь. Разобьем каждое основание на тонкие цилиндрические слои радиусом г и шириной dr. Тогда их сопротивление можно рассчитать как

и для сопротивления всей банки получаем

2.1.4. Сопротивление однородной среды. Найти сопро­ тивление однородной слабо проводящей среды, заполняю­ щей все пространство между двумя идеально проводящими оболочками произвольной формы. Удельное сопротивление среды р , диэлектрическая проницаемость Е, взаимная ем­ кость системы электродов-оболочек С

Воспользоваться, как и в предыдущей задаче, формулой R =p l/S мы сейчас не можем, так как неизвестна ни форма проводников, ни пространственное распределение токов. По­ этому обратимся к некоторым общим свойствам электриче­ ского поля. Подключим мысленно к электродам постоянную разность потенциалов U При этом проводники получают заряды +q и - q . В проводящей среде возникает движение зарядов, появляется некоторый ток. Так как разность потен­ циалов между проводниками поддерживается постоянной, то и токи в среде будут стационарными. При этом в каждой точке среды на место уходящих зарядов непрерывно посту­ пают такие же новые. Эти движущиеся заряды создают такое же кулоновское поле, что и неподвижные заряды той же конфигурации. Это означает, что электрическое поле стацио­ нарных токов является потенциальным, поверхности провод­ ников эквипотенциальны и конфигурация поля такая же, как и при отсутствии слабо проводящей среды. На этом, кстати, основано моделирование электростатических полей различ­ ной конфигурации при пропускании тока в слабо проводя­ щих средах.

Окружим один из проводников (например, с заря­ дом +q ) замкнутой поверхностью S , прилегающей к поверх­

ности проводника. В силу теоремы Гаусса: DndS = q , где s

D„ —e0e^i _ индукция электрического поля вблизи провод­ ника; Еп - напряженность электрического поля. Так как за­

ряд связан с емкостью системы проводников соотношени­ ем q = CU , то

Сопоставляя выражения (1) и (2), находим

R __еоеР

С

Этот результат можно получить и из других соображе­ ний, не обращаясь к теореме Гаусса. По близким эквипотен­ циальным поверхностям любую область пространства, за­ полненную проводящим диэлектриком, можно разбить на