книги / Остаточные напряжения в полимерных композиционных материалах

Из решения задачи на ячейке периодичности необходимо найти следующие величины: осредненные поперечные нормальные напряжения σ22 и осредненные деформации:

При этом непосредственно из решения должно следовать

σ11 = σ33 = σ12 = σ13 = σ23 = 0 .

Эффективные характеристики композита: модуль упругости E2 и коэффициент Пуассона ν23 определяются из следующих соотношений:

E2 = σ22 ε022 ; ν23 = ε33 ε022 ; ν21 = ε11ε022 .

В силу трансверсальной изотропии свойств непосредственно из решения должно получаться выполнение равенства ν21E2 = ν12 E1 .

3. Сдвиговая продольная деформация ячейки периодичности.

Для реализации условий чистого продольного сдвига на ячейке периодичности необходимо задать следующие граничные условия:

ui (x, y,0) = ui (x, y,c), i = 1, 2, 3;

171

При этом задается ненулевое перемещение на верхней грани St , равное U10 , а также условие одинаковости перемещений противоле-

жащих точек, принадлежащих передней и задней граням (см. рис. 6.4). Деформация сдвига композита в продольном направлении запишется следующим образом:

ε120 = ε12 = U3 / b.

Из решения задачи на ячейке периодичности необходимо найти следующие величины: осредненные касательные напряжения σ12

При этом непосредственно из решения должно следовать

σ11 = σ22 = σ33 = σ13 = σ23 = 0.

Эффективный модуль сдвига G12 определяется из соотношения

G12 = σ12 β1 .

Непосредственно благодаря решению должно получиться выполнение равенства U2 = U3 = 0, так как в силу трансверсальной

изотропии свойств отсутствуют связи между сдвиговыми и линейными деформациями.

4. Температурная деформация ячейки периодичности.

При температурном нагружении, в отличие от перечисленных выше схем, дополнительно задается температурная деформация

где T – заданное приращение температуры относительно базового уровня. Кроме того, необходимо реализовать следующие условия на границах ячейки периодичности:

172

Величины U1 , U2 и U3 – неизвестные параметры, получаемые

из решения задачи.

Деформация композита во всех направлениях в данной постановке постоянна, и ее компоненты определяются следующим образом:

При этом непосредственно из решения должно следовать

σ11 = σ22 = σ33 = σ12 = σ13 = σ23 = 0.

Эффективные коэффициенты температурного расширения композита αi вычисляются из соотношений

αi = εii T .

6.2.2. Конечно-элементная реализация

Описанные выше краевые задачи (6.31)–(6.44) решаются численно методом конечных элементов в пакете ANSYS. Для этого ячейка симметрии разбивается на конечные элементы (рис. 6.5). В дискретной модели используются гексагональные четырехузловые объемные элементы Solid45. Для моделирования граничных условий в перемещениях применялась команда D, а для совмещения степеней свободы в множествах узлов (coupled DOFs в терминологии ANSYS) – команда CP.

173

Термомеханические параметры армирующих материалов, необходимые для модели (6.3), приведены в табл. 6.1, 6.2. Характеристики эпоксидной смолы ЭДТ-10, используемой в качестве связующего, представлены в разделе 2.5. В расчетах принималась гипотеза о постоянстве модуля объемного сжатия ЭДТ-10.

Для анализа сходимости численного решения был проведен вычислительный

эксперимент, результаты которого пред- Рис. 6.5. Ячейка симметрии, ставлены на рис. 6.6. Из графиков видно,

разбитая на конечные элементы что для достижения приемлемой точности

расчета для всех представленных параметров достаточно сетки из приблизительно 100 конечных элементов, пример приведен для ψ = 0,5.

Таблица 6 . 1 Упругие характеристики компонентов композита [92]

Таблица 6 . 2 Коэффициенты линейного температурного расширения волокон [86]

174

В результате проведенного исследования выбрана конечно-эле- ментная сетка, представленная на рис. 6.5.

Далее проведен расчет механических характеристик композитов (стекло-, боро-, угле- и органопластика) и построены зависимости этих свойств от объемного содержания волокна в композите (рис. 6.7, 6.8). На рис. 6.7 представлены данные для композита со связующим в стеклообразном состоянии, на рис. 6.8 – в высокоэластическом. Из сравнения рисунков видно, что качественно характер зависимости практически всех параметров от коэффициента объемного содержания остается одинаковым. Снижение модуля связующего при T > Tg (см. рис. 6.8) приводит к уменьшению уровней по-

перечного модуля и модуля сдвига (рис. 6.8, б, д), а также к снижению влияния свойств волокон на данные характеристики.

Рис. 6.6. Зависимость результатов от количества конечных элементов:

а– модуль Юнга Е1; б – модуль Юнга Е2; в – коэффициент Пуассона

вплоскости 1–2; г – коэффициент Пуассона в плоскости 2–3

На рис. 6.9, 6.10 приведены результаты расчета коэффициентов температурного расширения для стекло-, угле- и органопластиков со свойствами волокон из табл. 6.2. Данные о температурном расширении

175

борного волокна в просмотренных литературных источниках отсутствуют.

Численная методика прогнозирования упругих характеристик композитов была проверена в сравнении с найденными в литературе экспериментальными данными. Результаты представлены в табл. 6.3.

Таблица 6 . 3

Упругие характеристики композитов. Сравнение с данными экспериментов

Погрешность численного прогнозирования определялась как относительная к среднестатистическому значению соответствующей экспериментальной характеристики:

где индексами «э» и «р» обозначены экспериментальные и расчетные параметры соответственно. Погрешность в таблице приведена только для случаев, когда результат расчета выходил за рамки доверительного интервала результатов эксперимента. Наблюдается достаточно хорошее соответствие экспериментальных и расчетных упругих характеристик за исключением коэффициента Пуассона

179

ν23 углепластика, что, возможно, связано с недостаточно точным

определением трансверсальных упругих характеристик углеродного волокна.

Численная методика расчета термомеханических параметров композита, наряду с достаточно высокой точностью, обладает тем недостатком, что требует больших затрат машинного времени. Альтернативный путь – определение эффективных характеристик по приближенным формулам. В частности, в работе [134] были получены аналитические выражения для механических параметров однонаправленного композита с анизотропным волокном.

В табл. 6.4 приведены значения относительной невязки расчета по численной и аналитической методикам δ(V ) = V num − V an V num 100 % ,

где V num , V an – параметры, определенные по численной (6.31)–(6.44) и аналитической (6.45) методикам соответственно. Характеристики рассчитаны для композита со связующим в застеклованном состоянии.

180