книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

531

Г93

УДК 539.3

В монографии изложена трехмерная теория упругой устойчивости при конечных деформациях сжимаемых и несжимаемых тел с произвольной формой упругого потенциала. Исследованы общие свой­ ства задач, сформулированы вариационные принци­ пы для статических и динамических линеаризиро­ ванных задач и построены общие решения. Развита теория устойчивости волокнистых и слоистых арми­ рованных сред. Изучены в трехмерной постановке устойчивость стержней, пластин и оболочек при конечных докритических деформациях.

Предназначена для специалистов по механике твердого деформируемого тела, преподавателей, ас­ пирантов и студентов вузов соответствующих специальностей.

О т в е т с т в е н н ы й р е д а к т о р

академик ЛН УССР Г. Н. С а в и н

Р е ц е н з е н т ы

член-кор. АН УССР А. С. К о с м о д а м и а н - с к и й, д-р техи. наук И. А. Ц у р п а л

Редакция технической литературы Зав. редакцией В. Д . Навроцкая

Г М22Ц04)—73 31-73

Издательство «Наукова думка», 1973 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теория упругой устойчивости в настоящее время представляет со­ бой весьма разветвленную область механики, имеющую многочисленные приложения, свои методы и подходы. Практически нет ни одной от­ расли промышленности и строительства, где бы не применялись методы и результаты теории упругой устойчивости.

Устойчивости упругих систем посвящены многочисленные моно­ графии и журнальные статьи. Подавляющее число исследователей, спиливая явление потери устойчивости с тонкостенными элементами конструкций и стремясь упростить решения задач, использовали дву­ мерные в одномерные прикладные теории, которые получаются при

|||1сдг11НИ вспомогательных гипотез. Таким образом, в теории упругой

устойчивости до последнего времени оставались почти неразработан­ ными следующие проблемы: 1) общие вопросы теории упругой устойчиiHicTii и трехмерной постановке; 2) методы решения задач устойчивости и трехмерной постановке.

Задачи механики армированных и полимерных материалов, расчет элементов конструкций из них, задачи математической тектоники и гирной механики, теория поверхностных явлений и т. д. потребовали решении указанных проблем. Появившиеся в последние два-три деся­ тилетии публикации, в которых исследуются эти проблемы, можно условно разделить на две группы. В первой группе принимается пред­

положение о малости докритических деформаций, что приемлемо для жестких материалои. Этим задачам посвящены монографии [13, 56], причем и |56] рассмотрены плоские, а в [13] — пространственные и плоские задачи. Во второй же группе публикаций никаких ограни­ чении на величину докритических деформаций не налагается — иснолы1уетея теория конечных деформаций. Это дает возможность, с

одной стороны, выполнить исследования для упругих тел, подвержен­ ных большим деформациям и, с другой стороны, при наличии строго увтннонленных уравнений состояния оценить в принципе погрешности ^наличных теорий.

11рсдлпгаемая монография — первая попытка изложения теории упругой устойчивости при конечных докритических деформациях для tluteru нелинейно упругого однородного тела. Монография состоит М трех частей. В первой части исследованы общие вопросы трехмерных 4вм«11|ш.тиропаниых задач теории упругости, являющиеся общими для

«Ирин устойчивости, теории распространения волн в телах с начальныill инпряжсииями и теории колебаний предварительно загруженных

3

С учетом выражений (1.1) соотношения (1.2) можно за­ писать в виде

В механике сплошной среды существует два способа описания движения среды; связывают их соответственно с именами Лагранжа и Эйлера. Первый заключается в том, что с каждой частицей среды связываются координаты хт, которые не изменяются в процессе движения и называют­ ся лангранжевыми координатами. Второй способ состоит

втом, что в каждой точке пространства с координатами описываются деформации движущихся частиц. Эти ко­

ординаты изменяются в процессе движения и называются эйлеровыми координатами. Заметим, что координатные ли­ нии хт и %т являются координатными линиями криволи­ нейной системы координат в теле соответственно после и до деформации.

§ 2. Описание деформирования сплошного тела. Тензоры деформаций Грина, Альманси и Генки

Для описания деформации в точке необходимо знать изменение длин произвольно направленных бесконечно малых отрезков, углов между ними и ориентированных площадок в этой точке. Поскольку тензоры деформаций Грина и Альманси дают возможность определить указан­ ные величины, перейдем к их вычислению. Предваритель­

но введем орты im и /„„ необходимые для дальнейшего

изложения. Орты im направим по координатным линиям

хт. Через jm обозначим орт нормали к площадке, которая

—►

до деформации была ортогональна im. Заметим, что до де-

формации орты ут и im совпадают.

Вычислим изменение расстояния между двумя бесконеч­

6

Найдем геометрические объекты через компоненты тен­ зора деформаций Альманси. С этой целью рассмотрим бес­ конечно малые отрезки, направленные после деформации

вдоль ортов ут. Удлинения их обозначим лт, изменение

ние объема V/V *, причем будем определять отношение величин до деформации к величинам после деформации. Выполнив аналогичные вычисления, получим

(1.18)

V/V* = 1 + Д = [d e t J l^ jr 1= Idet|6M + д Я |Г '. (И 9)

Таким образом, тензоры деформаций Грина и Альман­ си полностью определяют геометрические объекты и пред­ ставляют собой симметричные тензоры второго ранга, что видно из выражений (1.8) и (1.9). Следовательно, каждый из этих тензоров должен иметь хотя бы одну систему глав­ ных осей. Если принять эти главные оси в качестве коор­ динатных, то недиагональные элементы тензора деформа­ ций станут равными нулю. Таким образом, для каждой частицы тела имеем три оси, которые ортогональны до и

после деформации. Главные значения тензоров деформаций

>"ч

Грина и Альманси обозначим через ет и ет. Следовательно, если известны главные направления, то деформирование тела в точке характеризуется тремя главными значениями тензоров.

Имеются два способа описания деформирования тела в точке. Первый способ состоит в использовании шести ком­ понент тензора деформаций Грина или Альманси, так как по этим тензорам согласно выражениям (1.12) — (1.15) или (1.16) — (1.19) полностью определяются все геометри­ ческие объекты. Второй способ также заключается в приме­ нении шести величин, три из которых представляют собой

8

углы Эйлера, определяющие положение главных осей от­ носительно произвольной системы координат, а три. дру­ гие — главные значения тензоров деформаций.

Предположим, что уже осуществлен переход к главным («нм тензора деформаций Грина. В этом случае компонен­ ты тензора деформаций Генки — Грина (его главные зна­ чения) определяются по формуле

Кроме того, для главных значений тензора деформаций Генки — Грина (1.20) выполняются условия последователь­ ного суммирования удлинений, что не наблюдается для других тензоров. Последнее обстоятельство послужило причиной тому, что величины hm (1.20) называют истинны­ ми удлинениями. Поясним свойство последовательного сум­

Предположим, что осуществлен переход к главным Осям тензора деформаций Альманси. В этом случае компо­ ненты тензора деформаций Генки — Альманси (его главные апачения) определяются по формуле

Предположим, что произведен переход к главным осям i тензора деформаций Грина. Введем еще некоторые харак­ теристики деформации в точке, рассматривая процесс

9

деформирования в главных осях. Результирующим называ­ ют материальное волокно, которое одинаково наклонено к главным осям в недеформироваппом теле. После деформа­ ции результирующее материальное волокно относительно главных осей занимает новое положение, образуя угол 0 между двумя указанными положениями. Результирующим сдвигом называется величина у ■* sin 0. Легко можно по- -лучить

Рассмотрим плоскость, в которой находится результи­ рующее материальное волокно до и после деформации. Положение этой плоскости относительно главных осей в недеформироваппом состоянии определяет угол а [45], для которого из (1.26) можно получить следующее соотно­ шение:

/®[(/ — 2,5у2) ] / 1 — Y2 + 0,5]/2v3cos3a]= 1. (1.28)

Угол сс называют направляющим углом формоизменения. Соотношение (1.28) позволяет выразить одну из трех величин I, у и а через две другие. Результирующий сдвиг, главные удлинения формоизменения, удлинение формо­ изменения результирующего волокна и направляющий угол формоизменения не изменяются при чисто объемной дефор­ мации. В этом можно убедиться, если заменить кт на ikm в (1.24) — (1.28), так как указанные величины при такой за­ мене не будут зависеть от значения t. Заметим, что через

10